2024-2025版高中数学第三章不等式3321简单的线性规划问题素养评价检测含解析新人教A版必修5

简洁的线性规划问题

基础通关》

（20分钟35分）

x+2y<4

2x+y<4

1.已知x,y满意约束条件x>l，则z=2x-y的最小值为（）

y>o

c.12

A.2B.4D.-

25

x+2y<4

2%+y44

【解析】选C.作出x,y满意约束条件x>1所表示的平面区域，如图所示:

>0

由于z=2x-y可得y=2x-z,则-z表示目标函数在y轴上的载距，截距越大，z越小,

作直线/:y=2x,然后把直线/向下平移，由题意可得，直线平移过A时，z最小，

噂普二i（l为此呜

（x-y+l<0

2.已知实数x,y满意｛4+y—3>0,则Z=x?+y2的取值范围是（）

U-3<0

A.[5,9]B.[5,13]

C.[V5,3]

D.[V5,V13]

x-y+1<0

【解析】选B.实数x,y满恚«x+y-3>0的可行域如图所示,

{y-3<o

其中A(1,2),B(2,3),

则目标函数z=x?+y2的几何意义是可行域内的点到坐标原点距离的平方.

由图形可知在点B(2,3)取得最大值,ZB8.=4+9=13.A到原点距离最小，ZG=1+4=5.

则z=x?+y2的取值范围为[5,13].

pr-y>0

3.已知x,y满意条件|x+y-[>O若z=x+2y的最小值为0,则m=()

Vx<m

A.1B.2C.3D.4

2x-y>0

【解析】选B.由x,y满意条件x+y-1>0

x<m

作出可行域,

1z

又目标函数z=x+2y表示直线y=一XL在y轴上的截距的二倍，因此截距越小，z就越小;

22

1N

由图象可得，当直线y二二-x一过点A时，

22

X=m,

(X+y_]_0解得A(m,1-m),

所以zBin=m+2(1-m)=2-m,

又z=x+2y的最小值为0,所以2-m=0,解得m=2.

t2x+3y-6>0,

4.（2024•全国II卷）若变量x,y满意约束条件（X+y一3<0,则7.=3x-y的最大值

[y-2<o9

是.

【解析】由约束条件求出可行域(图略)，令z=0,可得直线3x-y=0,结合图象可得当直线过点

(3,0)时达到最大值,即zw9.

答案:9

【补偿训练】

x+y>2

（2X-yW4,则2x+y的最小值是,最大值是.

x-y>0

x+y>2

2x~y<4的平面区域,

(x-y>0

得到如图所示阴影部分及其边界，

其中A(4,4),B(1,1)；

设z=F(x,y)=2x+y,将直线f:z=2x+y进行平移，观察y轴上的微距的改变,

当/经过点B时，目标函数z达到最小值，

且ZM、YFF(1,1)=2X1+1=3.

当/经过点A时，目标函数z达到最大值，

且z*大产F(4,4)=2X4+4=12.

答案：312

x+y-4<0,

X-2y+2>0,若z=ax+y的最小值为-8,则实数

Ix>0,y>0,

x+y-4<0,

【解析】由约束条件

x—2y+2N0,作出可行域，

x>0,y>0,

若a>0,可得当直线y=-ax+z过0(0,0)时，z有最小值为0,不合题意;

若a<0,可得当直线y=-ax+z过C(4,0)时，z有最小值为4a,

由4a=-8,得a=-2.

答案:-2

【补偿训练】

x+y-3>0t

2x~y+mW0,若3x+y的最大值为7,则m=,

(y<4,

x+y-3>0,

2xy+mwo,对应的平面区域如图：(阴影部分).

{y<4,

令z=3x+y得y=-3x+z,平移直线y=-3x+z,

由图象可知当3x+y=7时，

即B(1,4),同时B也在2x-y+m=0上,

解得m=-2x+y=-2X1+4=2.

答案：2

x+y-2>0

6.若变量x,y满意约束条件3x-y<6，求:

x-y>0

(Dz乃'的取值范围;

x+3

(2)z=x-2y+3的最大值.

【解析】作出可行域，如图所示,

x+y~2=0

由'，解得点A(2,0)；

=6

x+y-2=0

由，，解得点B(1,1)；

.x-y=0

3xy=6

由，解得点C(3,3).

X-y=0

y+2

(1)z=----的取值范围，可看作可行域内的点P(x,y)

x+3

与定点MQ3「2)连线的斜率的范围，

可知在点A(2,0),C⑶3)处取得最优解，

0+223+25

则Znin=--二,ZM二一一二一,

24-353+36

\251

所以z£|一,一|.

Is61

(2)可知z=x-2y+3在点A(2,0)处取得最大值,

则z«a*=2-0+3=5.

能力进阶》

(30分钟60分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

(2x-y>0,

1.已知实数X,y满意约束条件(X+2y<2,则z=x+3y的最大值为()

lx+y>0,

A.4B.2C.—D.0

S

【解析】选c.如图，作出可行域,

当直线/:x+3y=0平移至经过点A时，z=x+3y取得最大值一.

x-2y+1>0,

2.已知实数x,y满意<％<2,则z=2x-2y-l的取值范围是（）

x+y-1>0,

A.P5B.[0,5]

喟,5）【).京5）

【解析】选D.不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）.

14-Z1+Z

由z=2x-2y-1得y二x,平移有线y=x

22

1+21+Z

由平移可知当直线y=x-----经过点C时，直线y=x-----6勺截距最小，此时z取得最大值,

22

x=2,x=2,

由,<解得‘.即C(2,T),

x+y-1=n0,y=T,

1+Z

此时z-2x-2y-1-4+2-1~5,也可知当直线y-x-----经过点A时，直线y_x-----的截距最大，此时

22

z取得最小值,

x-2y+1=0,X="

由

lx+y-1=0,(

/I2\125

即A［一，-I，代入Z=2x-2y-1得z=2X-2X--1=--

\33/333

故ze

x>0,

y>o,*+2y+33

3.已知实数x,y满意约束条件若目标函数z=---的最小值为一,则正

二+二<1,“I2

3a4a

实数a的值为()

A.4B.3C.2D.1

x+2y+3xilf2(y+l)

［解析］选D.目标函数z=--------------------——

x+lX+1

y+i

,设k=

x+l

则k的几何意义是可行域内的点与定点D(T,7)的斜率,

x+2y+33

若目标函数Z=---------的最小值为一,

X4-12

即z=1+2k的最小值是一,

311

由1+2k=—,得k-即k的［小值是一,

244

作出不等式组对应的平面区域如图：

由斜率的意义知过D的直线经过B(3a,0)时,

0+11

直线的斜率最小，此时k=---------

30+14,

得3a+1=4,得a二1.

x+y-6<0

x-l

4.已知变量x,y满意约束条件则目标函数z二-------的最大值为

x-y-2<0,x+y-1

x>3,

2323

A."B."C.一D.-

34

【解析】选C.由约束条件作出可行域如图,

目标函数z=y

x-l

（X=3,

联立，rc解得C（3,1）,

（x-y-2=0,

12

由图可知，点c与定点P（I,O）的连线斜率最小，则z的最大值为—p=-.

1+—3

1-1

5.如图所示，目标函数z=mx-y的可行域为四边形0ACD（含边界），若存在唯一的点C

使目标函数z取得最小值,则实数m的取值范围是（）

A.加一”s）

RS'

I).

I+0°)

【解析】选C.由ZFIX-y知m代表直线的斜率,

8f8

582--2

又k.二一二—―,kco二一二一―,

1-25015

又存在唯一的点C，使目标函数z取得最小值.

82

所以—<m<一.

S5

二、填空题（每小题5分，共15分）

2x+y~2<0,

6.（2024•全国【卷）若x,y满意约束条件X—y~l>0,则z=x+7y的最大值

y+1>0,

为

【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示,

y

目标函数z=x+7y,即：y=;x+二z,

其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的致距最大,

据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，

2x+y-2=0

联立直线方程：，，可得点A的坐标为：A（l,0）

、尸广1=0

据此可知目标画数的最大伍为：Zmax=1+7X0=1.

答案：1

xy>0,

7.（2024•浙江高考）若x,y满意约束条件2X+y&6,则z=x+3y的最小值是

x+y>2.

最大值是

【解析】由线性约束条件得可行域如图所示,

求得A点坐标为（4,-2）,B点坐标为（2,2）,所以ZM=4+3X（-2）=-2,

Zrrox=2+3X2-8.

答案：-28

x-y-1<0,

-X+2y-2<0,若目标函数z=ax+y(a>0)的最大值为5,且取到

{2x+y-2>0,

最大值时的最优解是唯一的，则a的取值是.

x-y-1<0,

-x+2y-2<0,作出可行域如图:

2x+y-2>0

(9

目标函数z=ax+y可化为y=-ax+z,

因为y=-ax+z表示斜率为-a的直线,，且-a<0,

x-2y+2=0,

由图象可知，当y=ax+z经过点C时，z取到最大值，点C坐标满意，解得

x-y-1=0,

C点坐标为(4,3),代入z=ax+y,得到a=-.

2

答案已

2

三、解答题(每小题10分，共20分)

x-4y+3<0,

9.变量x,y满意3x+Sy-25<0,

x>1.

(D设z/y■，求z的最小值；

X

(2)设z=x?+y2,求z的取值范围.

rx-4y+3<0,

【解析】由约束条件,3x+5y-25工0,

Vx>1,

作出(x,y)的可行域如图所示.

成八n解得

+5y-25=0,\s/

(X=1,

由jC解得

lx-4y+Q3=0,

x-4y+3=0,

由，解得B(5,2).

、3x+5y-25=0,

yy°

(1)因为z1