高一数学（人教A版）教案必修二第七章复数

第七章复数7.1.1数系的扩充和复数的概念（教学方式：基本概念课——逐点理清式教学)[课时目标]

1.了解复数的概念,能类比有理数扩充到实数系的过程和方法,通过方程的解认识复数.2.能描述复数代数表示式的结构特征,正确判断复数的实部、虚部.3.知道复数集、实数集、虚数集与纯虚数集之间的关系.逐点清(一)复数的概念及复数集[多维理解]1.复数的定义及表示方法定义形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位,满足i2=1表示方法复数通常用字母z表示,即z=a+bi.其中a叫做复数的实部,b叫做复数的虚部2.复数集的定义及表示全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.通常用大写字母C表示.|微|点|助|解|(1)虚数单位i性质的关注点i2=1的理解:并没有规定i=±-1还是i=-1或i=-1,在今后的学习中,我们将知道-1=±i但不能说i=±-1.(2)复数集是最大的数集,任何一个数都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式,其中0=0+0i和实数之间能进行加法、乘法运算.(3)复数的虚部是实数b而非bi.(4)复数z=a+bi只有在a,b∈R时才是复数的代数形式,否则不是.

[微点练明]1.若复数z的实部和虚部之和为3,则复数z可以是()A.3i B.3+iC.1+4i D.1+3i答案:C2.已知复数z1=1+3i的实部与复数z2=1ai的虚部相等,则实数a等于()A.3 B.3 C.1 D.1解析:选C复数z1=1+3i的实部为1.复数z2=1ai的虚部为a,则a=1,解得a=1.3.以2+7i的虚部为实部,以7i+5i2的实部为虚部的复数是()A.75i B.2+7iC.5+i D.2+7i解析:选A设所求复数为z=a+bi(a,b∈R),由题意知复数2+7i的虚部为7,所以a=7.复数7i+5i2=5+7i的实部为5,所以b=5,故z=75i.4.若复数z=a23+2ai的实部与虚部互为相反数,则实数a的值为.

解析:由条件知a23+2a=0,∴a=1或a=3.答案:1或3逐点清(二)复数的分类[多维理解]1.复数的分类对于复数a+bi(a,b∈R)(1)z为实数⇔b=0;(2)z为虚数⇔b≠0;(3)z为纯虚数⇔a=0且b≠0.2.集合表示|微|点|助|解|(1)两个复数不一定能比较大小,当两个复数都是实数时,可以比较大小;两个虚数或一个虚数与一个实数不能比较大小,即两个复数除去都是实数外,没有大小关系.(2)复数分类问题的求解方法与步骤①化标准式:解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部.②定条件:复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为a+bi(a,b∈R)的形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可.③下结论:设所给复数为z=a+bi(a,b∈R),则:z为实数⇔b=0;z为虚数⇔b≠0;z为纯虚数⇔a=0且b≠0.a=0是z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的必要不充分条件.[微点练明]1.若复数(a23a+2)+(a1)i是纯虚数,则实数a的值为()A.1 B.2C.1或2 D.1或2解析:选B由a2-3a+2=0,a-1≠0,得2.复数z=a2b2+(a+|a|)i(a,b∈R)为实数的充要条件是()A.|a|=|b| B.a<0且a=bC.a>0且a≠b D.a≤0解析:选D复数z为实数的充要条件是a+|a|=0,故a≤0.3.已知z1=4a+1+(2a2+3a)i,z2=2a+(a2+a)i,其中a∈R,z1>z2,则a的值为.

解析:由z1>z2,得2即a=0或a=-3答案:04.当m为何实数时,复数z=m2-m-6m+3+(m22m15)i是:(1)虚数;(2)解:(1)当m即m≠5且m≠3时,z是虚数.(2)当m即m=3或m=2时,z是纯虚数.(3)当m+3≠0,m2-2m-15=0,即m逐点清(三)复数相等[多维理解]在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),我们规定:a+bi与c+di相等当且仅当a=c且b=d.|微|点|助|解|(1)在两个复数相等的条件中,注意前提条件是a,b,c,d∈R,即当a,b,c,d∈R时,a+bi=c+di⇔a=c且b=d.若忽略前提条件,则结论不能成立.(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来,达到“化虚为实”的目的,从而将复数问题转化为实数问题来求解.[微点练明]1.满足x3i=(8xy)i的实数x,y的值为()A.x=0且y=3 B.x=0且y=3C.x=5且y=3 D.x=3且y=0解析:选A依题意得x=0,-3=8x-y2.若复数(m2)+m(m2)i=0,则实数m=()A.2 B.3 C.0 D.1解析:选A因为复数(m2)+m(m2)i=0,则有m-2=0,m(m3.复数z1=a+|b|i,z2=c+|d|i(a,b,c,d∈R),则z1=z2的充要条件是.

解析:由复数相等定义可得,z1=z2等价于a=c且|b|=|d|,所以z1=z2的充要条件为a=c且b2=d2.答案:a=c且b2=d24.关于x的方程3x2a2x1=(10x2x2)i有实根,则实数a的值为解析:设方程的实数根为x=m,则3m2a2m1=(10m2m2)i,∴解得a=11或a=715答案:11或71[课时跟踪检测] (满分80分,选填小题每题5分)1.以3i2的虚部为实部,以3i2+2i的实部为虚部的复数是()A.33i B.3+iC.2+2i D.2+2i解析:选A3i2的虚部为3,3i2+2i=3+2i的实部为3,故选A.2.下列说法正确的是()A.2+i大于2iB.若z1=z2,则z1,z2一定都是实数C.若复数z满足1<z<1,则z一定是实数D.若z1>z2,则z1z2不一定大于零解析:选C虚数不能比较大小,故A错误;两个虚数的实部和虚部相等,则这两个虚数相等,故B错误;若复数z满足1<z<1,则z一定是实数,故C正确;若z1>z2,则z1z2一定大于零,故D错误.3.复数z=1a-1+(a21)i(a∈R)是实数,则实数a的值为(A.1或1 B.1C.1 D.0或1解析:选C因为复数z=1a-1+(a21)i是实数,且a为实数,则a2-1=0,a-1≠0,解得a4.若x+(y2)i=3y(x2)i(x,y∈R),则xyi=()A.3i B.i3C.10 D.10解析:选A因为x+(y2)i=3y(x2)i,所以x=3y,y-2=-(5.设集合A={实数},B={纯虚数},C={复数},若全集S=C,则下列结论正确的是()A.A∪B=C B.A=BC.A∩(∁SB)=⌀ D.(∁SA)∪(∁SB)=C解析:选D集合A,B,C的关系如图所示,可知只有(∁SA)∪(∁SB)=C正确.故选D.6.若(x+y)i=x1(x,y∈R),则2x+y的值为()A.12 B.2 C.0 D.解析:选D由复数相等的充要条件知,x+y=0,x-1=0,解得x=1,∴2x+y=20=1.故选D.7.设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数a+bi为纯虚数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选B若ab=0,则a=0或b=0;当b=0时,a+bi为实数,此时复数a+bi不是纯虚数,充分性不成立;若复数a+bi为纯虚数,则a=0且b≠0,此时ab=0,必要性成立.所以“ab=0”是“复数a+bi为纯虚数”的必要不充分条件.8.若复数a2a2+(|a1|1)i(a∈R)不是纯虚数,则()A.a=1 B.a≠1且a≠2C.a≠1 D.a≠2解析:选C复数a2a2+(|a1|1)i(a∈R)不是纯虚数,则有a2a2≠0或|a1|1=0,解得a≠1.9.(多选)已知复数z=sinθicos2θ(0<θ<2π)的实部与虚部互为相反数,则θ的值可以为()A.π6 B.πC.5π6 解析:选ACD由条件知,sinθ=cos2θ,∴2sin2θ+sinθ1=0,解得sinθ=1或sinθ=12.∵0<θ<2π,∴θ=π6,θ=5π6或θ=3π2.故选10.已知复数z=a2+(2a+3)i(a∈R)的实部大于虚部,则实数a的取值范围是.

解析:由已知可得a2>2a+3,即a22a3>0,解得a>3或a<1.所以实数a的取值范围是{a|a>3或a<1}.答案:{a|a>3或a<1}11.若(m21)+(m22m)i>1,则实数m的值为.

解析:由题意得m2-2m=0,答案:212.已知集合P={5,(m22m)+(m2+m2)i},Q={4i,5},若P∩Q=P∪Q,则实数m=.

解析:由题意知P=Q,所以(m22m)+(m2+m2)i=4i,所以m2-2m=0,答案:213.(10分)已知M={1,(m22m)+(m2+m2)i},P={1,1,4i},若M∪P=P,求实数m的值.解:∵M∪P=P,∴M⊆P.由(m22m)+(m2+m2)i=1,得m2-2m=-1,由(m22m)+(m2+m2)i=4i,得m解得m=2.综上可知,m=1或m=2.14.(10分)已知复数z1=4m2+(m2)i,z2=λ+sinθ+(cosθ2)i,其中i是虚数单位,m,λ,θ∈R.(1)若z1为纯虚数,求m的值;(2)若z1=z2,求λ的取值范围.解:(1)由z1为纯虚数,则4-m2=0,m-2≠0,(2)由z1=z2,得4-m2=λ+sinθ,m-2=cosθ-2,∴λ=4cos2θsinθ=sinθ-122+114.∵1≤sinθ≤1,∴当sinθ=12时,λmin=114,当sin7.1.2复数的几何意义(教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学)[课时目标]1.了解复平面的概念,理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系.2.理解共轭复数的概念,并会求一个复数的共轭复数.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法,会求复数的模,并能解决相关的问题.1.复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.2.复数的几何意义(1)复数z=a+bi(a,b∈R)复平面内的点Z(a,b).(2)复数z=a+bi(a,b∈R)平面向量OZ.|微|点|助|解|(1)实轴与复数的对应:实轴上的点都表示实数.(2)虚轴与复数的对应:除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z=0+0i=0,表示的是实数.3.复数的模(1)定义:向量OZ的模叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的模或绝对值.(2)记法:复数z=a+bi的模记作|z|或|a+bi|.(3)公式:|z|=|a+bi|=a2(4)模的几何意义:复数z的模就是复数z=a+bi(a,b∈R)所对应的点Z(a,b)到原点(0,0)的距离.4.共轭复数(1)定义:当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.(2)表示:复数z的共轭复数用z表示,即如果z=a+bi(a,b∈R),那么z=abi.(3)性质:①(z)②实数的共轭复数是它本身,即z=z⇔z∈R.基础落实训练1.已知复数z=i,则复平面内对应点Z的坐标为()A.(0,1) B.(1,0)C.(0,0) D.(1,1)解析:选A复数z=i的实部为0,虚部为1,故复平面内对应点Z的坐标为(0,1).故选A.2.已知复数z=23i,则复数的模|z|是()A.5 B.5C.6 D.11解析:选D|z|=(2)23.已知复数z=(m3)+(m1)i的模等于2,则实数m的值为()A.1或3 B.1C.3 D.2解析:选A依题意可得(m-3)2+(m-1)2=2,解得m4.若复数z=2+i,则复数z的共轭复数z等于()A.2+i B.2iC.2+i D.2i解析:选B因为复数z=2+i,所以复数z的共轭复数z=2i.题型(一)复数与复平面内点的关系[例1]实数a取什么值时,复平面内表示复数z=a2+a2+(a23a+2)i的点:(1)位于第二象限;(2)位于实轴上方;(3)位于直线y=x上.解:根据复数的几何意义可知,复平面内表示复数z=a2+a2+(a23a+2)i的点为Z(a2+a2,a23a+2).(1)由点Z位于第二象限得a2+a-2<0,a故满足条件的实数a的取值范围为(2,1).(2)由点Z位于实轴上方得a23a+2>0,解得a>2或a<1,故满足条件的实数a的取值范围为(∞,1)∪(2,+∞).(3)由点Z位于直线y=x上得a2+a2=a23a+2,解得a=1.故满足条件的实数a的值为1.|思|维|建|模|利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤(1)找对应关系:复数的几何表示法即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示,是解决此类问题的根据.(2)列出方程:此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解.[提醒]复数与复平面内的点是一一对应关系,因此复数可以用点来表示.[针对训练]1.复数z=12i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析:选Cz=12i在复平面内对应的点为(1,2),它位于第三象限.2.在复平面内,若表示复数z=m21+1mi的点在第四象限,则实数m的取值范围是()A.(∞,1) B.(1,+∞)C.(∞,1)∪(1,+∞) D.(1,1)解析:选A因为表示复数z=m21+1mi的点在第四象限,所以m2-1>0,1m<0,解得m题型(二)复数与复平面内向量的关系[例2](1)在复平面内,复数6+5i,2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是()A.4+80i B.8+2i C.2+4i D.4+i(2)向量OZ1对应的复数是54i,向量OZ2对应的复数是5+4i,则OZ1+A.10+8i B.108iC.0 D.10+8i解析:(1)两个复数对应的点分别为A(6,5),B(2,3),则C(2,4).故其对应的复数为2+4i.(2)由复数的几何意义,可得OZ1=(5,4),OZ2=(5,4),所以OZ1+OZ2=(5,4)+(5,4)=(0,0答案:(1)C(2)C|思|维|建|模|复数与向量的对应和转化对应复数z与向量OZ是一一对应关系转化复数的有关问题转化为向量问题求解[针对训练]3.在复平面内,把复数33i对应的向量按顺时针方向旋转π3,所得向量对应的复数是()A.23 B.23i C.33i D.3+3i解析:选B复数对应的点为(3,3),对应的向量按顺时针方向旋转π3,则对应的点为(0,23),所得向量对应的复数为23i.故选B4.已知O是原点,向量OA,OB对应的复数分别为23i,3+2i,那么向量BA对应的复数是()A.5+5i B.55i C.5+5i D.55i解析:选D由复数的几何意义,得OA=(2,3),OB=(3,2),BA=OAOB=(2,3)(3,2)=(5,5),所以BA对应的复数是55i.题型(三)复数的模[例3](1)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=()A.1 B.2 C.3 D.2(2)复数z满足关系式2|z|27|z|+3=0,则复数在复平面内对应点的轨迹是()A.两条直线 B.一条直线和一个圆C.两个圆 D.一个圆解析:(1)因为(1+i)x=x+xi=1+yi,所以x=y=1,|x+yi|=|1+i|=12+12=2(2)由2|z|27|z|+3=0,解得|z|=12或|z|=3.当|z|=12时,复数在复平面内对应点的轨迹表示以原点为圆心,半径为12的圆.当|z|=3时,复数在复平面内对应点的轨迹表示以原点为圆心,半径为答案:(1)B(2)C|思|维|建|模|(1)复数z=a+bi模的计算:|z|=a2(2)复数模的几何意义:复数的模的几何意义是复数所对应的点到原点的距离.(3)转化思想:利用模的定义将复数模的条件转化为其实、虚部满足的条件,是一种复数问题实数化思想[针对训练]5.已知z1=5+3i,z2=5+4i,下列选项正确的是()A.z1>z2 B.z1<z2C.|z1|>|z2| D.|z1|<|z2|解析:选D|z1|=|5+3i|=52+32=34,|z2|=|5+4i|=52+42=41.因为34<41,所以6.设z∈C,则在复平面内3≤|z|≤5所表示的区域的面积是()A.5π B.9πC.16π D.25π解析:选C满足条件|z|=3的复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心,半径为3的圆.满足条件|z|=5的复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心,半径为5的圆,则在复平面内3≤|z|≤5所表示的区域为圆环,如图中阴影部分区域所示,在复平面内3≤|z|≤5所表示的区域的面积是π×(5232)=16π.故选C.[课时跟踪检测](满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)A级——达标评价1.(多选)下列命题正确的是()A.若z是实数,则z=zB.若z=z,则z是实数C.若z=z,则z是纯虚数D.若z是纯虚数,则z=z答案:ABD2.(2024·新课标Ⅱ卷)已知z=1i,则|z|=()A.0 B.1C.2 D.2解析:选C由z=1i,得|z|=(-1)2+(-1)3.设z=3+2i,则在复平面内z对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析:选C由已知可得,z=32i,故z对应的点为(3,2),位于第三象限.4.在复平面内,O是原点,向量OA对应的复数为5+3i,OB与OA关于y轴对称,则点B对应的复数是()A.53i B.53iC.5+3i D.5+3i解析:选D设向量OB对应的复数为a+bi(a,b∈R),对应复平面的坐标为(a,b).因为向量OA对应的复数为5+3i,所以OA对应复平面的坐标为(5,3).因为OB与OA关于y轴对称,所以a=5,b=3.即向量OB对应的复数为5+3i.因为点O为坐标原点,所以点B对应的复数是5+3i.5.(多选)已知复数z=1+i(其中i为虚数单位),则以下说法正确的是()A.复数z的虚部为iB.|z|=2C.复数z的共轭复数z=1iD.复数z在复平面内对应的点在第一象限解析:选BCD因为复数z=1+i,所以其虚部为1,故A错误;|z|=12+12=2,故B正确;复数z的共轭复数z=1i,故C正确;复数z在复平面内对应的点为(1,1),显然位于第一象限,故D正确.故选B、6.已知复数z=a21+(a+1)i(a∈R)是纯虚数,则a=,|z|=.

解析:∵复数z=a21+(a+1)i是纯虚数,∴a2-1=0,a+1≠0,解得a=1.∴z=2i.答案:127.若复数z在复平面内对应的点位于第二象限,且|z|=2,则z=.(写出一个即可)

解析:设z=a+bi,a,b∈R,因为复数z在复平面内对应的点在第二象限,所以a<0,b>0.又因为|z|=2,所以a2+b2=4.显然当a=1,b=3时,符合题意.答案:1+3i(答案不唯一)8.在复平面内,O是坐标原点,向量OA对应的复数是2+i,若点A关于实轴的对称点为点B,则向量OB对应的复数的模为.

解析:∵向量OA对应的复数是2+i,∴A(2,1).又点A关于实轴的对称点为点B,∴B(2,1).∴向量OB对应的复数为2i,该复数的模为|2i|=(-2)2+(-1)答案:59.(8分)在复平面内画出下列复数对应的向量,并求出各复数的模.z1=1i;z2=12+32i;z3=2;z4解:在复平面内分别画出点Z1(1,1),Z2-12,32,Z3(2,0),Z4则向量OZ1,OZ2,OZ3,OZ4分别为复数z1,z2,z3,z4对应的向量,如图所示.各复数的模分别为|z1|=12+(-1)2=2;|z2|=-122+310.(10分)已知复数z=(m2+m6)+(m2+m2)i(m∈R)在复平面内所对应的点为A.(1)若点A在第二象限,求实数m的取值范围;(2)求|z|的最小值及此时实数m的值.解:(1)由m2+m-6<0,m2+m-2>0,解得3<m<2或1<m<2.故实数m的取值范围为(3,(2)|z|2=(m2+令m2+m2=t,∵t=m+1∴t∈-94,+∞,则|z|2=2t28t+16=2(t2)2+8,所以当t=2,即m=-1±172时,|B级——重点培优11.已知复平面内A,B,C三点所对应的复数为2i,1+i,2i,若ABCD为平行四边形,则|BD|=()A.13 B.13C.17 D.17解析:选DA,B,C三点对应的复数分别是2i,1+i,2i,则复平面内A,B,C三点对应点的坐标为A(2,1),B(1,1),C(0,2).设复平面内点D的坐标为D(x,y),则AB=(3,2),DC=(x,2y),又ABCD是复平面内的平行四边形,则AB=DC,则-x=3,2-y=2,解得x=-3,y=0,则D(3,0),则BD=(4,112.(多选)已知复数z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位),且a+b=1,下列命题正确的是()A.z不可能为纯虚数B.若z的共轭复数为z,且z=z,则z是实数C.若z=|z|,则z是实数D.|z|可以等于1解析:选BC当a=0时,b=1,此时z=i,为纯虚数,A错误;若z的共轭复数为z,且z=z,则a+bi=abi,所以b=0,B正确;由|z|是实数,且z=|z|知,z是实数,C正确;由|z|=12得a2+b2=14.又a+b=1,即b=1a,因此8a28a+3=0,Δ=644×8×3=32<0,所以方程无实数解,即|z|不可以等于12.D错误.故选B13.复数z1与z2在复平面上对应的向量分别为OZ1与OZ2,已知z1=3+i,OZ1⊥OZ2,且|OZ1解析:由题意得OZ1=(3,1),设OZ2=(x,y),由OZ1⊥OZ2得OZ1·OZ2=3x+y=0,由|OZ1|=|OZ2|得x2+y2=4,联立解得x=1,y=-3或x=-1,y=3,即OZ2=答案:13i或1+3i14.(12分)在复平面内,A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,1+2i.(1)求向量AB,AC,BC对应的复数;(2)判定△ABC的形状.解:(1)由复数的几何意义知,OA=(1,0),OB=(2,1),OC=(1,2),所以AB=OBOA=(1,1),AC=OCOA=(2,2),BC=OCOB=(3,1).所以AB,AC,BC对应的复数分别为1+i,2+2i,3+i.(2)因为|AB|=2,|AC|=22,|BC|=10,所以|AB|2+|AC|2=|BC|2,所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形.15.(12分)已知复平面内的点A,B对应的复数分别是z1=sin2θ+i,z2=cos2θ+icos2θ,其中θ∈(0,π).设AB对应的复数是z.(1)求复数z;(2)若复数z对应的点P在直线y=12x上,求θ的值解:(1)因为点A,B对应的复数分别是z1=sin2θ+i,z2=cos2θ+icos2θ,所以点A,B的坐标分别是A(sin2θ,1),B(cos2θ,cos2θ).所以AB=(cos2θ,cos2θ)(sin2θ,1)=(cos2θsin2θ,cos2θ1)=(1,2sin2θ),所以AB对应的复数z=1+(2sin2θ)i.(2)由(1)知点P的坐标是(1,2sin2θ),代入y=12x,得2sin2θ=12,即sin2θ=所以sinθ=±12.又因为θ∈(0,π所以sinθ=12,所以θ=π6或θ=7.2.1复数的加、减运算及其几何意义(教学方式:基本概念课逐点理清式教学)[课时目标]1.结合实数的加、减运算法则,熟练掌握复数代数表示式的加、减运算法则.2.理解复数加法、减法运算的几何意义,能够利用“数形结合”的思想解题.逐点清(一)复数加、减法运算[多维理解]1.复数加法、减法的运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,则(1)z1+z2=(a+c)+(b+d)i.(2)z1z2=(ac)+(bd)i.2.复数的加法运算律对任意z1,z2,z3∈C,有(1)z1+z2=z2+z1.(2)(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).|微|点|助|解|对复数的加法、减法运算应注意以下几点(1)一种规定:复数代数形式的加法法则是一种规定,减法是加法的逆运算;特殊情形:当复数的虚部为零时,与实数的加法、减法法则一致.(2)运算律:实数加法的交换律、结合律在复数中仍成立.实数的移项法则在复数中仍然成立.(3)运算结果:两个复数的和(差)是唯一确定的复数.[微点练明]1.已知复数z1=3+4i,z2=34i,则z1+z2=()A.8i B.6C.6+8i D.68i解析:选Bz1+z2=3+4i+34i=(3+3)+(44)i=6.2.已知复数z+3i3=33i,则z=()A.0 B.6i C.6 D.66i解析:选D∵z+3i3=33i,∴z=(33i)(3i3)=66i.3.复数(1i)(2+i)+3i等于()A.1+i B.1iC.i D.i解析:选A(1i)(2+i)+3i=(12)+(ii+3i)=1+i.故选A.4.已知复数z1=a23i,z2=2a+a2i,若z1+z2是纯虚数,则实数a=.

解析:由条件知z1+z2=a22a3+(a21)i,又z1+z2是纯虚数,所以a2-2a-3=0,答案:35.设z1=x+2i,z2=3yi(x,y∈R),且z1+z2=56i,则z1z2=.

解析:因为z1=x+2i,z2=3yi,z1+z2=56i,所以(3+x)+(2y)i=56i,所以3+x=5,所以z1z2=(2+2i)(38i)=(23)+[2(8)]i=1+10i.答案:1+10i逐点清(二)复数加、减法的几何意义[多维理解]复数加法的几何意义复数z1+z2是以OZ1,OZ2复数减法的几何意义复数z1z2是从向量OZ2的终点指向向量OZ1的|微|点|助|解|关于复数加、减法的几何意义的两点说明(1)复数的加(减)法可以按照向量的加(减)法来进行.(2)复数减法的几何意义也可叙述为连接表示两个复数对应的向量的有向线段的终点,方向指向表示被减向量的有向线段的终点的向量,就是这两个复数的差对应的向量.[微点练明]1.已知向量OZ1对应的复数为23i,向量OZ2对应的复数为34i,则向量解析:Z1Z2=OZ2OZ1=(34i)答案:1i2.复平面上有A,B,C三点,点A对应的复数为2+i,BA对应的复数为1+2i,BC对应的复数为3i,则点C的坐标为.

解析:因为BA对应的复数是1+2i,BC对应的复数为3i,又AC=BCBA,所以AC对应的复数为(3i)(1+2i)=23i.又OC=OA+AC,所以点C对应的复数为(2+i)+(23i)=42i,所以点C的坐标为(4,2).答案:(4,2)3.如图,平行四边形OABC的顶点O,A,C对应复数分别为0,3+2i,2+4i,试求:(1)AO所表示的复数,BC所表示的复数;(2)对角线CA所表示的复数;(3)对角线OB所表示的复数及OB的长度.解:(1)∵AO=OA,∴AO所表示的复数为32i.∵BC=AO,∴BC所表示的复数为32i.(2)∵CA=OAOC,∴CA所表示的复数为(3+2i)(2+4i)=52i.(3)对角线OB=OA+OC,它所对应的复数z=(3+2i)+(2+4i)=1+6i,|OB|=12+6逐点清(三)复数加、减运算几何意义的应用[典例](1)非零复数z1,z2分别对应复平面内的向量OA,OB,若|z1+z2|=|z1z2|,则()A.=OAOB B.|OA|=|OB|C.OA⊥OB D.OA,OB共线(2)如果复数z满足|z+i|+|zi|=2,那么|z+i+1|的最小值是()C.2 D.5解析:(1)如图,由向量的加法及减法法则可知,OC=OA+OB,BA=OAOB.由复数加法及减法的几何意义可知,|z1+z2|对应OC的模,|z1z2|对应BA的模.又|z1+z2|=|z1z2|,所以四边形OACB是矩形,则OA⊥OB.(2)设复数z,i,i,1i在复平面内对应的点分别为Z,Z1,Z2,Z3,因为|z+i|+|zi|=2,|Z1Z2|=2,所以点Z的集合为线段Z1Z2.所以Z点在线段Z1Z2上移动,|Z1Z3|min=1,所以|z+i+1|min=1.答案:(1)C(2)A|思|维|建|模|常见结论在复平面内,z1,z2对应的点分别为A,B(O,A,B不共线),z1+z2对应的点为C,O为坐标原点,则四边形OACB为平行四边形;若|z1+z2|=|z1z2|,则四边形OACB为矩形;若|z1|=|z2|,则四边形OACB为菱形;若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1z2|,则四边形OACB为正方形.[针对训练]1.已知△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,复数z满足|zz1|=|zz2|=|zz3|,则z对应的点P是△ABC的()A.外心 B.内心C.重心 D.垂心解析:选A由复数模及复数减法运算的几何意义,结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A,B,C的距离相等,所以P为△ABC的外心.2.设z∈C,且|z+1||zi|=0,则|z+i|的最小值为()A.0 B.1C.22 D.解析:选C∵由|z+1||zi|=0,得|z+1|=|zi|,∴复数z表示以A(1,0),B(0,1)为端点的线段的垂直平分线OM,设复数i对应点C(0,1),|z+i|表示点M到点C(0,1)的距离.当CM⊥OM时,|z+i|取到最小值|CM|.又|CM|=|OC|sin45°=22,∴|z+i|的最小值为2[课时跟踪检测](满分80分,选填小题每题5分)1.若复数z满足z+(34i)=1,则z的虚部是()A.2 B.4 C.3 D.4解析:选Bz=1(34i)=2+4i,故选B.2.已知z1=2+i,z2=1+2i,则复数z=z2z1对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析:选Bz=z2z1=(1+2i)(2+i)=1+i,实部小于零,虚部大于零,故位于第二象限.3.已知复数z对应的向量如图所示,则复数z+1所对应的向量正确的是()解析:选A由题图可知z=2+i,所以z+1=1+i,则复数z+1所对应的向量的坐标为(1,1),故选A.4.已知复数z满足z+2i5=7i,则|z|=()A.12 B.3 C.317 D.9解析:选C由题意知z=7i(2i5)=123i,∴|z|=122+(-3)2=3175.若z1=2+2i,z2=5+ai(a∈R),且z1+z2所对应的点在实轴上,则a的值为()A.2 B.2 C.1 D.1解析:选Bz1+z2=2+2i+5+ai=(2+5)+(2+a)i=7+(2+a)i.∵z1+z2所对应的点在实轴上,∴2+a=0,∴a=2.6.已知复平面上三点A,B,C分别对应复数1,2i,5+2i,则由A,B,C所构成的三角形是()A.直角三角形 B.等腰三角形C.锐角三角形 D.钝角三角形解析:选A∵|AB|=|2i1|=5,|AC|=|4+2i|=20,|BC|=5,∴|BC|2=|AB|2+|AC|2.故选A.7.复数z1=1+icosθ,z2=sinθi,则|z1z2|的最大值为()A.322 B.21 C.3+22 D.2+1解析:选D∵|z1z2|=|(1sinθ)+(cosθ+1)i|=(1-sinθ)2+(1+cosθ)2=3+2(cosθ-sinθ)=3+22cos8.(多选)设复数z1=2i,z2=2i(i为虚数单位),则下列结论正确的为()A.z2是纯虚数B.z1z2对应的点位于第二象限C.|z1+z2|=3D.=z1解析:选ADz2=2i,其实部为零,虚部不为零,是纯虚数,A正确;z1z2=23i,其在复平面上对应的点为(2,3),在第四象限,B错误;z1+z2=2+i,则|z1+z2|=4+1=5,C错误;z1=2i,则z1=2+i,D正确.故选A、D9.已知复数z满足|z+i|=|zi|,则|z+1+2i|的最小值为()A.1 B.2 C.3 D.5解析:选B设复数z在复平面内对应的点为Z,因为复数z满足|z+i|=|zi|,所以由复数的几何意义可知,点Z到点(0,1)和(0,1)的距离相等,所以在复平面内点Z的轨迹为x轴.又|z+1+2i|表示点Z到点(1,2)的距离,所以问题转化为x轴上的动点Z到定点(1,2)距离的最小值,所以|z+1+2i|的最小值为2.10.若z1=2i,z2=12+2i,z1,z2在复平面上所对应的点为Z1,Z2,则这两点之间的距离为解析:|Z1Z2|=2+答案:6111.已知复数z=ai(a∈R),若z+z=8,则复数z=.

解析:由题意,得z=ai(a∈R),z=a+i,所以ai+a+i=8,解得a=4,故z=4i.答案:4i12.已知z1=(3x+y)+(y4x)i,z2=(4y2x)(5x+3y)i(x,y∈R).若z=z1z2,且z=132i,则z1=,z2=.

解析:z=z1z2=[(3x+y)+(y4x)i][(4y2x)(5x+3y)i]=(5x3y)+(x+4y)i,又z=132i,所以5x-3y=13,x+4y=-2,解得x=2,y=-1.所以z1=(3×21)+(14×2)i=59i,z2=(答案:59i87i13.在平行四边形OABC中,各顶点对应的复数分别为zO=0,zA=2+a2i,zB=2a+3i,zC=b+ai(a,b∈R),则ab=解析:因为OA+OC=OB,所以2+a2i+(b+ai)=2a+3i,所以2-b=-2a,a2+答案:414.(15分)已知A(1,2),B(a,1),C(2,3),D(1,b)(a,b∈R)是复平面上的四个点,且向量AB,CD对应的复数分别为z1,z2.(1)若z1+z2=1+i,求z1,z2;(2)若|z1+z2|=2,z1z2为实数,求a,b的值.解:(1)∵AB=(a,1)(1,2)=(a1,1),CD=(1,b)(2,3)=(3,b3),∴z1=(a1)i,z2=3+(b3)i.∴z1+z2=(a4)+(b4)i.又z1+z2=1+i,∴a-4=1,b∴z1=4i,z2=3+2i.(2)由(1)得z1+z2=(a4)+(b4)i,z1z2=(a+2)+(2b)i.∵|z1+z2|=2,z1z2为实数,∴(a-4)7.2.2复数的乘、除运算（教学方式：基本概念课——逐点理清式教学）[课时目标]

1.掌握复数的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.掌握在复数范围内解方程的方法.逐点清(一)复数乘法的运算法则[多维理解]1.复数的乘法法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(acbd)+(ad+bc)i.2.复数乘法的运算律对于任意z1,z2,z3∈C,有交换律z1z2=z2z1结合律(z1z2)z3=z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2+z3)=z1z2+z1z3|微|点|助|解|对复数乘法的三点说明(1)类比多项式运算:复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似,可仿多项式乘法进行,但结果要将实部、虚部分开(i2换成1).(2)运算律:多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立,乘法公式也适用.(3)常用结论①(a±bi)2=a2±2abib2(a,b∈R);②(a+bi)(abi)=a2+b2(a,b∈R);③(1±i)2=±2i.[微点练明]1.(2024·全国甲卷)设z=2i,则z·z=()A.2 B.2C.2 D.2解析:选D因为z=2i,所以z=2i,z·z=2,故选D.2.(2024·北京高考)若复数z满足zi=1i,则z=()A.1i B.1+iC.1i D.1+i解析:选C由题意得,z=i(1i)=1i.3.(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内,(1+3i)(3i)对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析:选A因为(1+3i)(3i)=3i+9i3i2=6+8i,所以该复数在复平面内对应的点为(6,8),位于第一象限,故选A.4.若复数(1i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是()A.(∞,1) B.(∞,1)C.(1,+∞) D.(1,+∞)解析:选B由题意,得z=(1i)(a+i)=(a+1)+(1a)i,因为z在复平面内对应的点在第二象限,所以a+1<0,1-a>0,解得a<15.已知复数z1=12i,z2=1+bi,若z1·z2=7i,则实数b=A.1 B.2C.3 D.1解析:选C因为z1·z2=z1·z2=(1+2i)(1bi)=1+2b+(2b)i=7i,所以1+2b=7,2b=1,解得逐点清(二)复数除法的运算法则[多维理解]设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R,且c+di≠0),则z1z2=a+bi复数的除法的实质是分母“实数化”.若分母为a+bi型,则分子、分母同乘abi;若分母为abi型,则分子、分母同乘a+bi,即分子与分母都乘分母的共轭复数.|微|点|助|解|(1)对复数除法的两点说明①实数化:分子、分母都乘分母的共轭复数cdi,化简后即得结果,这个过程实际上就是把分母实数化,这与根式除法的分母“有理化”很类似.②代数式:注意最后结果要将实部、虚部分开.特别提醒:复数的除法类似于根式的分母有理化.(2)常用公式①1i=i;②1+i1-i=i;③1-i1+i[微点练明]1.(2023·新课标Ⅰ卷)已知z=1-i2+2i,则zz=()A.i B.i C.0 D.1解析:选A因为z=1-i2+2i=(1-i)22(1+i)(1-i)=i2,所以z=i2,所以zz=i2i2.若复数z满足z(2i)=11+7i(i是虚数单位),则z=()A.3+5i B.35iC.3+5i D.35i解析:选A∵z(2i)=11+7i,∴z=11+7i2-i=(11+7i)(2+i)(2-i)(2+i)=15+25i3.(2023·全国甲卷)5(1+i3)(2+i)(2-i)=A.1 B.1C.1i D.1+i解析:选C由题意知,5(1+i3)(2+i)(2-i)=5(1-i)22-i4.(多选)已知复数z满足z-2iz=2+i,则(A.z的虚部为1B.|z|=2C.z在复平面内对应的点在第四象限D.z6=8i解析:选ABD因为z-2iz=2+i,所以12iz=2+i,所以z=-2i1+i=-2i(1-i)(1+i)(1-i)=-2i+2i22=1i,z的虚部为1,故A正确;|z|=(-1)2+(-1)2=2,故B正确;z在复平面内对应的点的坐标为(1,1),在第三象限,故C错误;因为z2=(1i)2=1+2i+i2=2i,所以z6=(5.已知复数z满足z(3+i)=3+i2023,则z的共轭复数z的虚部为()A.i35 B.i3C.35 D.解析:选D由z(3+i)=3+i2023,得z=3+i33+i=(3-i)(3-i)(3+i)(3-i)=9-6i+i210=4535i,所以z=45+逐点清(三)复数范围内方程根的问题[典例]已知1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b,c为实数).(1)求b,c的值;(2)试判断1i是不是方程的根.解:(1)∵1+i是方程x2+bx+c=0的根,∴(1+i)2+b(1+i)+c=0,即(b+c)+(2+b)i=0.∴b+c=0,2+b=0,解得b(2)由(1)知方程为x22x+2=0,把1i代入方程左边得x22x+2=(1i)22(1i)+2=0,显然方程成立,∴1i也是方程的一个根.|思|维|建|模|1.复数范围内,实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为(1)当Δ≥0时,x=-b(2)当Δ<0时,x=-b2.利用复数相等的定义求解,设方程的根为x=m+ni(m,n∈R),将其代入方程ax2+bx+c=0(a≠0),化简后利用复数相等的定义求解.[针对训练]1.已知2i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根,则实数p,q分别为()A.p=4,q=11 B.p=4,q=3C.p=4,q=3 D.p=4,q=5解析:选D因为2i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根,所以(2i)2+p(2i)+q=0,即(3+2p+q)(4+p)i=0.所以3+2p+2.在复数范围内,写出方程z24z+21=0的一个解:z=.

解析:由z24z+21=(z2)2+17=0,得(z2)2=17,则z2=±17i,所以z=2±17i.答案:2+17i(答案不唯一)[课时跟踪检测](满分100分,选填小题每题5分)1.下列各式的运算结果为纯虚数的是()A.i(1+i)2 B.i2(1i)C.(1+i)2 D.i(1+i)解析:选CA项,i(1+i)2=i·2i=2,不是纯虚数;B项,i2(1i)=(1i)=1+i,不是纯虚数;C项,(1+i)2=2i,2i是纯虚数;D项,i(1+i)=i+i2=1+i,不是纯虚数.故选C.2.i(3i)的共轭复数为()A.3+i B.3i C.1+3i D.13i解析:选D由题意得z=i·(3i)=1+3i,所以z=13i,故选D.3.(2024·新课标Ⅰ卷)若zz-1=1+i,则z=(A.1i B.1+iC.1i D.1+i解析:选C因为zz-1=z-1+1z-1=1+1z-1=1+i,所以z=1+4.若复数z满足(1+i)z=|1+i|,则z的虚部为()A.i22 B.2C.2 D.2解析:选B由(1+i)z=|1+i|=2,得z=21+i=2(1-i)(1+i)(1-i)=2222i,所以z的虚部为5.(多选)若复数z满足(2+i)z+5i=0,则()A.z的虚部为2B.=z1+2iC.z在复平面内对应的点位于第二象限D.|z4|=25解析:选AD由题意,得z=-5i2+i=12i,虚部为2,故A正确;z=1+2i,故B错误;z在复平面内对应的点为(1,2),位于第三象限,故C错误;|z4|=|z|4=(5)4=25,故D正确6.如图,若向量OZ对应的复数为z,且|z|=5,则1z=()A.15+25i B.i1C.i1525 D.15解析:选D由题意,设z=1+bi(b>0),则|z|=1+b2=5,解得b=2,即z=1+2i,所以1z=1-1-2i=-1+2i(-1-2i)(-1+2i)=-1+2i57.(多选)在复数范围内关于x的实系数一元二次方程x2+px+2=0的两根为x1,x2,其中x1=1+i,则()A.p=2 B.x2=1iC.x1·x2=2i D.=i解析:选BD因为实系数一元二次方程x2+px+2=0的两根为x1,x2且x1=1+i,所以x1x2=2,可得x2=2x1=21+i=1i,故B正确;又x1+x2=1+i+1i=2=p,所以p=2,故A错误;由x2=1+i,所以x1·x2=(1+i)2=2i≠2i,故C错误;x1x2=1+i1-i=(1+i)22=2i8.已知a为实数,若复数z=(a21)+(a+1)i为纯虚数,则a+i20231+i=A.i B.iC.1 D.1解析:选B因为复数z=(a21)+(a+1)i为纯虚数,则a2-1=0,a+1≠0,解得a=1.所以a+i20231+i=1-i1+i=9.(多选)已知复数z=41+3i,则(A.z的虚部是3iB.=z1+3iC.z·z=|z|2=4D.z是方程x22x+4=0的一个根解析:选BCD因为z=41+3i=4(1-3i)(1+3i)(1-3i)=13i.则z的虚部是3,故A错误;z=1+3i,故B正确;因为z·z=(13i)(1+3i)=4,|z|=12+(-3)2=2,所以z·z=|z|2=4,故C正确;因为x22x+4=0,即(x1)2=3,解得x=1±3i,所以方程x22x+4=0的复数根为1±310.(多选)若复数z满足(2+i)z=43i(其中i为虚数单位),则下列说法正确的是()A.z在复平面内对应的点位于第四象限B.z·z=5(z是z的共轭复数)C.z2=54iD.若|z1|=2,则|z1z|的最大值为5+2解析:选ABDz=4-3i2+i=(4-3i)(2-i)(2+i)(2-i)=5-10i5=12i,在复平面内z所对应的点坐标为(1,2),在第四象限,故A正确;z·z=(12i)·(1+2i)=1+4=5,故B正确;z2=(12i)2=144i=34i,故C错误;对于D,|z1|=2,则表示复数z1的点P的集合是以(0,0)为圆心,2为半径的圆,而|z1z|=|z1(12i)|,即为点P到点M(1,2)之间的距离,所以|z1z|的最大值为12+(-2)2+2=11.(2024·天津高考)已知i是虚数单位,复数(5+i)·(52i)=.

解析:(5+i)(52i)=(5)225i+5i2i2=75i.答案:75i12.已知复数z=i+i2+i31+i,z是z的共轭复数,则解析:因为z=i+i2+i31+i=-11+i=-1+i(1+i)(1-i)=12+12i,所以z·答案:113.写出一个同时具有下列两个性质的复数z=.

性质1:|zz|=2性质2:z·z=4解析:设z=a+bi,a,b∈R,则z=abi,从而zz=(a+bi)(abi)=2bi,因为|zz|=2,所以|2b|=2,解得b=±1.因为z·z=4,所以(a+bi)·(abi)=a2+b2=4,解得a=±3,所以z=±3±i.答案:±3±i(写出其中一个即可)14.(17分)已知复数z=(1-i)2(1)计算复数z,并求|z|;(2)若复数z满足z(z+a)=b8i,求实数a,b的值.解:(1)因为z=(1-i)2+2(5+i)2+i=1-2i+i2+10+2i2+i=102+i=10(2-i)(2+i)(2-i)=42i(2)由z(z+a)=b8i,得(42i)(4+a2i)=b8i,16+4a8i8i2ai+4i2=b8i,12+4a(16+2a)i=b8i,所以12+4a=b,16+2a=8,解得a15.(18分)已知关于x的实系数一元二次方程x22x+k=0.(1)若方程有一个根1+2i(i是虚数单位),求k的值;(2)若方程有两虚根x1,x2,且|x1x2|=3,求k的值.解:(1)由题意可知12i是方程的另一复数根,所以(12i)(1+2i)=1(2i)2=1+2=3=k,所以k=3.(2)设x1=a+bi,x2=abi,a,b∈R,则由题意x1+x2=2a=2,x1x2=a2b2i2=a2+b2=k且Δ=44k<0,所以a=1,b2=k1,k>1,所以|x1x2|=|2bi|=(2b)2=4b2=4(k-1)[阶段质量评价]第七章复数 (时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.=1-1i2(A.2i B.2+iC.2i D.2i解析:选D1-1i2=1-i-12=(1+i)2.若(z+i)i=47i,则复数z的虚部为()A.5 B.5C.7 D.7解析:选A依题意,z=4-7iii=4i7i=75i,故z的虚部为5.故选A3.以5+2i的虚部为实部,以5i+2i2的实部为虚部的新复数是()A.22i B.5+5iC.2+i D.5+5i解析:选A设所求新复数z=a+bi(a,b∈R),由题意知,复数5+2i的虚部为2;复数5i+2i2=5i+2×(1)=2+5i的实部为2,则所求的z=22i.故选A.4.复数z=2i20231+2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析:选Cz=2i20231+2i=2i505×4+31+2i=(-2i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=-2i-45=4525i5.已知复数z1,z2是关于x的方程x22x+3=0的两根,则z1z2的值为()A.3 B.2C.2 D.3解析:选D法一:由x22x+3=0,得z1=1+2i,z2=12i,所以z1z2=(1+2i)(12i)=3;法二:方程x22x+3=0,由根与系数的关系可得z1z2=31=3.故选D6.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是OA,OB,则z1+z2i·A.i3212 B.32C.i3212 D.32解析:选C由题图知,z1=12i,z2=1+i,所以z1+z2i·z2=2-ii·(1+i)=7.定义复数的一种运算z1*z2=|z1|+|z2|2(等式右边为普通运算),若复数z=a+bi,z为z的共轭复数,且正实数a,b满足a+b=3A.92 B.322 C.32解析:选Bz*z=z+z2=2a2+b22=a2+b2=(a+b)2-2ab.∵ab≤a+b22=94,8.瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式:eix=cosx+isinx,其中e是自然对数的底数,i是虚数单位,该公式将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数函数的关联,在复变函数论中占有非常重要的地位,被推举为“数学中的天桥”.依据欧拉公式,下列选项正确的是()A.eπ2B.复数eπC.sinx=eD.若z1=eπ3i,z2=eθi在复平面内分别对应点Z1,Z2,则△OZ1Z解析:选Deπ2i=cosπ2+isinπ2=i,其虚部为1,A错误;eπ4i=cosπ4+isinπ4=22+22=cosx+isinx-(cosx-isinx)2=isinx,C错误;z1=eπ3i=cosπ3+isinπ3=12+32i,z2=eθi=cosθ+isinθ,|OZ1|=122+322=1,|OZ2|=cos2θ+sin2θ=1,因此△OZ1二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)9.已知复数z=3+i1-i,则下列结论正确的是()A.z对应的点位于第一象限B.z的虚部为2C.|z|=5D.z=z5解析:选ACDz=3+i1-i=(3+i)(1+i)(1-i)(1+i)=2+4i2=1+2i,z对应的点(1,2)位于第一象限,A正确;z=12i的虚部为2,B错误;|z|=1+4=5,C正确;zz=(1+2i)(12i)=1+4=5,D正确.故选A、C10.下列有关复数z的叙述正确的是()A.若z=i3,则z=iB.若z=1+1i,则z的虚部为C.若z=a+ai(a∈R),则z不可能为纯虚数D.若复数z满足1z∈R,则z∈解析:选ACDz=i3=i,所以z=i,A正确;z=1+1i=1i,虚部是1,B错误;z=a+ai(a∈R),若a=0,则z=0是