浙江省杭州外国语学校2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

杭州外国语学校高二年级期中考试数学试卷命题：高二数学备课组审核：高二数学备课组一、单选题：本题共有8小题，每题5分，共分．每题中只有一个选项符合题意．1.直线的倾斜角为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】将一般式方程转化为点斜式方程求出斜率，即可求倾斜角.【详解】直线化为点斜式得，，所以直线的斜率为，所以倾斜角为，故选：B.2.圆与圆的位置关系是（）A.外离B.相交C.外切D.内切【答案】B【解析】【分析】根据两圆圆心之间的距离与半径的关系判断即可.【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，所以两圆圆心之间的距离为，故，所以两圆相交.故选：B3.已知数列的前项和，则（）A6B.C.12D.2【答案】A【解析】第1页/共20页列求解第三项；【详解】方法1：．方法2：等差数列的前项和为，因为，所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列．于是．故选：A．4.已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则的离心率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由已知条件得出，再利用公式可求出椭圆的离心率.【详解】因为椭圆的长轴长是短轴长的倍，则，即，故椭圆的离心率为.故选：C.5.已知抛物线，过点作弦，弦恰被点平分，则弦所在直线的斜率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用点差法可求得直线的斜率.第2页/共20页【详解】设点、，因为点为线段的中点，则，，若直线轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，由题意可得，将这两个等式作差可得，即，所以，直线的斜率为.故选：D.6.设抛物线的焦点为，准线为，直线经过焦点，且与相交于两点，分别过作的垂线，垂足分别为，设的中点为，则（）A.2B.3C.D.【答案】C【解析】，，再利用两点间距离公式求解即可．【详解】直线过焦点，则，故抛物线的方程为，准线，设，联立方程消去得，故，由题设知的纵坐标与中点纵坐标相等，且在准线上，而，故，所以，第3页/共20页故选：C．7.双曲线的右焦点的直线与相交于PQ的面积为（）A.B.1C.D.2【答案】B【解析】，进而可得的面积．【详解】因为双曲线，所以，设左焦点为，由题意可知，关于原点对称，所以，由双曲线的对称性可得，由双曲线的定义可得，所以，可得，又，所以，所以的面积为．故选：B．第4页/共20页8.已知直线与抛物线C：交于A、B两点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，且，直线AB的倾斜角为，交AB于点，若为拋物线上任意一点，则的最小值为（）A.2B.4C.6D.10【答案】C【解析】AB义逐一判断即可.【详解】由题意，可设直线AB的方程为：，，，，则：，消可得：，由得，则，，又，所以，解得（舍）或，所以直线AB的方程为：，过定点，又，故点在以OT为直径的圆上，故点的轨迹方程为，，又点和点在直线AB上，且AB的倾斜角为，即直线AB的斜率，故，，如下图弧所示，过P，D分别作准线的垂线，垂足分别为H，I，根据抛物线的定义知：，当点为ID与抛物线的交点时取等号，第5页/共20页故的最小值为6．故选：C【点睛】关键点睛：本题的关键是利用抛物线的定义和一元二次方程根与系数的关系.二、多选题：本题共有3小题，每题6分，共分．每题中有多个选项符合题意．9.已知等差数列，则下列结论正确是（）A.等差数列的公差为B.等差数列的通项公式为C.等差数列是一个单调递增的数列D.若，则【答案】AC【解析】【分析】选项A，利用等差数列性质求出，进而求出公差；选项B，根据通项公式求出；选项C，根据公差的正负判断数列单调性；选项D，利用通项公式求解特定项的项数.【详解】选项A，，则，所以，所以A正确；选项B，，则通项公式为，所以B错误；选项C，由选项A知，所以C正确；选项D，由选项B知，则当时，解得，而，所以D错误.第6页/共20页故选：AC10.在平面直角坐标系中，已知，直线，动点满足，则（）A.原点O到直线的距离的最大值为12B.面积的最大值为8C.点到距离的最大值为17D.的最大值为【答案】ABC【解析】【分析】先根据题设求出点的轨迹方程为，可得点的轨迹是圆，且圆心为，半径，再利用直线恒过定点，当直线与过点O和的直线垂直时，原点O到直线的距离最大即可求解A；根据面积公式即可求解B；利用直线恒过定点，当直线与过和的直线垂直时，点到直线的距离最大即可求解C；对于D，根据直线PM与圆C相切时，最大，此时，在直角三角形中计算．【详解】设，由，得，即，则点的轨迹是圆，且圆心为，半径.对于A，由于恒过定点，而原点O和之间距离为12，当直线与过点O和的直线垂直时，原点O到直线的距离最大，最大值为12，故A正确；对于B，在圆上运动，其圆心在轴上，则面积的最大值为，故B正确；对于C，由于恒过定点，和之间的距离为13，当直线与过点和的直线垂直时，点到直线的距离最大，最大距离为，故C正确；对于D，当直线与圆C相切时，最大，此时，易知，，则，故D错误．第7页/共20页故选：ABC.抛物线的光学性质是指平行于抛物线对称轴的光线通过反射后经过抛物线的焦点.且光线反射遵循反射基本定理，反射点处的切线与入射光线反射光线所成夹角的角平分线垂直.如图，已知抛物线点出发平行于轴，设反射点分别为，，为坐标原点，过，分别作，的角平分线交于点，已知的最小值为2，则下列说法正确的是（）A.B.若，则直线的斜率为C.存在直线，使得，，，四点共圆D.面积的最小值为1【答案】ABD【解析】【分析】A选项，设直线，联立直线与抛物线方程，根据焦点弦长公式得，从而得到A正确；B选项，，从而解得，故B正确；C选项，先得到，若点，，，四点共圆，则，利用向量数量积公式得到因为，故C错误，D选项，作出辅助线，得到轴，第8页/共20页【详解】A选项，由题意得直线过焦点，设直线，联立直线与抛物线方程可得设，则，所以，则，当且仅当时，等号成立，故，，故A正确；B选项，由A知，，则，解得，故B正确；C选项，，，所以，如果点，，，四点共圆，则，，，因为，故C错误，D选项，过点分别作⊥于点，⊥于点，⊥于点，因为，的角平分线交于点，所以，，故，设为的中点，连接，则轴，因为，所以，第9页/共20页，显然，当时，取得最小值，最小值为1，D正确，故选：ABD三、填空题：本题共有3小题，每题5分，共分．12.已知点、，则线段的垂直平分线方程为_______．【答案】【解析】的斜率可计算出线段的中点是线段的垂直平分线经过的一个点，使用点斜式即可得到线段的垂直平分线方程.【详解】线段的斜率为，故线段的垂直平分线的斜率为，线段的中点为，故线段的垂直平分线经过，由点斜式知，线段的垂直平分线方程为：，即.故答案为：.13.已知直线将圆作圆C的切线，切点为N，则__________________.【答案】【解析】第10页/共20页【分析】先求出圆的圆心和半径，由于直线将圆的面积平分，所以可得直线过圆心，从而可求出的值，再利用勾股定理求出的值.【详解】由圆，即，则圆心，半径为，因为直线将圆的面积平分，所以圆心在直线上，则，解得，故，则，所以．故答案为：.14.已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点（其中点与内切，半径为，则的取值范围是___________．【答案】【解析】【分析】设圆与分别切于，利用圆的切线性质和双曲线定义可求得，同时知为的角平分线，设直线的倾斜角为，可求得，结合双曲线渐近线的倾斜角可确定的范围，由此可确定的范围.【详解】由双曲线方程知：实半轴长，虚半轴长，且，设圆与分别切于，如下图所示：第11页/共20页由双曲线定义知：，即，设，则，解得：，由切线性质可知：与横坐标都为，由三角形内切圆的性质知：为的角平分线，设直线的倾斜角为，则，，，双曲线渐近线为：，其倾斜角分别为和，又直线与双曲线的右支交于两点，直线的倾斜角范围为，则，，.故答案为：.表示为关于直线倾斜角的函数的形式，根据的范围，结合正切函数值域的求解方法可求得范围.四、解答题：本题共有5小题，共分．第12页/共20页15.数列满足，．（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】1）根据等差数列的定义即可得证；（2）根据等差数列的通项求出数列的通项，即可得解.【小问1详解】由，可得，数列是以为首项，2为公差的等差数列；【小问2详解】由（1）知，．16.已知圆C经过三点（1）求圆C的标准方程；（2）若过点的直线l与圆C交于A，B两点，且，求直线l的方程.【答案】（1）（2）或【解析】1）设圆的一般方程，将三点的坐标代入可得参数的值，即求出圆的方程，化简为标准方程即可；（2C到直线的距离d的方程，由点到直线的距离公式，可得参数的值，即求出直线的方程．第13页/共20页【小问1详解】设圆C的方程为：，将代入圆的方程得，解得，，，所以圆的方程为：，即圆C的标准方程为：.【小问2详解】由（1）可得圆心，半径，设圆心C到直线l的距离为d，由题意可得，可得，即，当直线l的斜率不存在时，则过点的直线，此时圆心C到直线距离为，符合题意；当直线l的斜率存在时，设过点的直线l的方程为，即，则圆心C到直线l的距离，解得，即直线l的方程为，即综上所述，直线的方程为：或17.已知双曲线在双曲线上，且.（1）求双曲线的标准方程；（2）若直线交于两点，若的面积为，求正实数的值.第14页/共20页【答案】（1）（2）【解析】1）利用双曲线的定义和渐近线方程即可求得双曲线的标准方程.（2）联立双曲线和直线方程，利用韦达定理表示出弦长，即可得出答案.【小问1详解】由条件知，，故.即双曲线标准方程为.【小问2详解】设，到直线的距离为，联立得，由，解得，又，故，而又由，故弦长，，又，解得，，又，故.18.拋物线焦点为，第一象限内点在上，A的纵坐标是.第15页/共20页（1）若到焦点的距离为3，求；（2）若，在上，且的重心恰为，求直线的方程；（3是第一象限上异于交于是在满足“对于任意都有”，求的取值范围.【答案】（1）（2）直线的方程为（3）的取值范围为【解析】1）先求出抛物线的准线，再根据抛物线的定义求出，进而求出；（2）先求出点的坐标，设点，根据重心公式，求得，再利用点差法求得，又线段中点在直线上，由点斜式即可得到直线的方程；（3）设点，求得直线的方程，再与直线联立得到点坐标，则可得得表达式，转化为不等式恒成立问题，即可解出的取值范围.【小问1详解】根据题意作图如下：由已知，得拋物线，则准线为，焦点，且点在第一象限内，设点.所以，解得，代入抛物线方程，解得，所以.第16页/共20页【小问2详解】根据题意作图如下：由已知，代入抛物线方程，解得.设点，又的重心为，则，解得，又在上，则，两式相减，得，即，则直线的斜率.又线段的中点，即也在直线上，由点斜式，得，即，所以直线的方程为.【小问3详解】根据题意作图如下：由已知设且与不重合，第17页/共20页由两点式，得直线的方程，即，因为直线交于，联立，得点.又为在上的投影，所以，所以，化简得，即对于任意恒成立，则当时，不等式左边取到最小值，得，结合，解得，综上，的取值范围为.19.已知椭圆经过点，长轴长是短轴长的2倍.（1）求椭圆的方程；（2）设垂直于轴的直线交椭圆于两点，试求面积的最大值；（3作两条斜率分别为的直线交椭圆于另两点恒过定点．【答案】（1）（2）1（3）证明见解析【解