天津市重点中学校2023-2024学年高二上学期数学12月月考试卷（含答案）

第第页天津市重点中学校2023-2024学年高二上学期数学12月月考试卷一、选择题（共10小题）1．已知三角形ABC的三个顶点分别为A1，0，B2，-3A．x-y=0 B．x+y-6=0 C．3x-y-6=0 D．3x+y-12=02．已知在等差数列an中，a4+A．4 B．6 C．8 D．103．离心率23A．x29+y2C．x236+y24．圆x2+yA．55 B．255 C．45．数列an满足a1A．-3 B．13 C．-16．已知空间四边形OABC，其对角线OB、AC，M、N分别是边OA、CB的中点，点G在线段MN上，且使MG=2GN，用向量OA，OB，OC，表示向量OGA．OG=OA+C．OG=167．若双曲线C：x2a2-A．2 B．3 C．2 D．28．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1010A．1010 B．1011 C．2020 D．20219．已知双曲线x2a2-y2b2=1a>0，b>0的右焦点F与抛物线y2=8x的焦点重合，过F作与一条渐近线平行的直线l，交另一条渐近线于点A．x212-y24=1 B．二、填空题(共6小题)10．两条平行直线3x+4y-12=0与ax+4y+13=0的距离是.11．在平面直角坐标系xOy中，若抛物线x2=4y上的点P到该抛物线焦点的距离为5，则点P的纵坐标为12．设等差数列an的前n项和为Sn，若S3=8，13．如果椭圆x23614．如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，设AD=1，DD1=3，点15．双曲线x2a2-y2b2a>0，b>0的左、右焦点分别为F1、F2三、解答题(共6小题)16．已知等差数列an的前n项和为Sn，且（1）求数列an（2）记bn=an，求数列bn17．已知抛物线C的顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点A4，2（1）求抛物线C的标准方程；（2）若B4，1，P为抛物线上一动点，求18．已知正项数列an的前n项和为Sn，且（1）求a1（2）求证：数列an19．在三棱台ABC-A1B1C1中，若A1（1）求证：A1N//平面（2）求平面C1MA与平面（3）求点C到平面C120．设椭圆x2a2，y2b（1）求椭圆的离心率e；（2）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆x+12

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：已知三角形ABC的三个顶点分别为A1，0，B2，-3，C3，3，

则AB边上的中点为D1+22，0+-32，即D32，-32，又直线CD的斜率为：kCD2．【答案】C【解析】【解答】解：在等差数列an中，a4+故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合等差数列的性质得出等差数列第5项的值。3．【答案】B【解析】【解答】解：因为离心率23，所以，e=ca=23,(1),因为长轴长为6，所以2a=6，(2)，

联立（1）和（2）得出a=3c=2，又因为b2=a故答案为：B.

【分析】利用已知条件结合椭圆的离心率公式和长轴长公式，从而联立方程得出a，c的值，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式得出b的值，但椭圆的焦点位置不确定，从而得出椭圆的标准方程。4．【答案】C【解析】【解答】解：联立两圆x2+y2+2x=0和x2+y2-4y=0得出两圆公共弦所在的直线的方程为：2x+4y=0，联立直线2x+4y=0和圆x故答案为：C.

【分析】利用已知条件，联立两圆方程得出公共弦所在的直线方程，再联立公共弦所在直线与其中一个圆的方程得出交点坐标，由两点距离公式得出圆x2+y5．【答案】C【解析】【解答】解：数列an满足a1=2，an+1=1+an1-an，则故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合递推公式得出数列前几项的值，再结合数列的周期性的定义找出数列的周期，再根据数列的周期性得出数列第2023项的值。6．【答案】C【解析】【解答】解：∵OG===∴OG故答案为：C．

【分析】根据题意由向量的线性运算以及向量的加减法运算即可得出答案。7．【答案】A【解析】【解答】解：因为双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0的一条渐近线为y=bax

被圆x-22+y2=4所截得的弦长为2，又因为圆x-22+y2=4的圆心为2，0，故答案为：A.

【分析】利用已知条件结合双曲线的渐近线方程，再结合点到直线的距离公式得出圆心到渐近线的距离，由勾股定理和双曲线中a，b，c三者的关系式，从而根据双曲线的离心率公式和离心率的取值范围，进而得出双曲线的离心率的值。8．【答案】C【解析】【解答】因为a1010<0，a1010+因为a1010<0，所以2a又a1010+a所以满足Sn>0的最小正整数n的值为故答案为：C【分析】根据等差数列的前n项和公式和等差数列下标和的性质可得S2019<0，S20209．【答案】D【解析】【解答】解：已知双曲线x2a2-y2b2=1a>0，b>0的右焦点F(c，0)与抛物线y2=8x的焦点F'2,0重合，所以c=2，所以a2+b2=c2=4，(1)，

因为双曲线的渐近线方程为y=±bax，过F且与一条渐近线平行的直线l为y=bax-2，

又因为直线l交另一条渐近线于点A，联立两直线方程，即y=bax-2y=-bax，所以A1,-ba，

又因为抛物线的准线为x=-2，直线l交抛物线y2=8x的准线于点B联立两直线方程，

即y=b故答案为：D.

【分析】利用已知条件结合双曲线的标准方程得出右焦点坐标和渐近线方程，再结合抛物线的焦点坐标，进而得出c的值，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式得出方程（1），再结合两直线平行斜率相等和抛物线求准线的方法，再联立两直线方程求交点坐标的方法，进而得出点A和点B的坐标，再结合点到直线的距离公式、两点距离公式和三角形的面积公式，进而得出方程（2），再联立（1）和（2）得出a，b的值，从而得出双曲线的标准方程。10．【答案】5【解析】【解答】解：因为两条平行直线分别为3x+4y-12=0与ax+4y+13=0，所以a=3，

所以两平行直线的距离是-12-133故答案为：5.

【分析】利用已知条件结合两直线平行斜率相等，进而得出a的值，再利用两平行直线的距离求解公式，进而得出两条平行直线3x+4y-12=0与ax+4y+13=0的距离。11．【答案】4【解析】【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，设Px,y，

因为抛物线x2=4y上的点P到该抛物线焦点F(0，1)的距离为5，

由抛物线的定义，则y+1=5，则y=4，则点P故答案为：4.

【分析】利用已知条件结合抛物线的定义，进而得出点P的纵坐标。12．【答案】36【解析】【解答】解：设等差数列an的前n项和为Sn，因为S3=8，S6=20故答案为：36.

【分析】利用已知条件结合等差数列前n项和公式，从而解方程组得出首项和公差的值，再结合等差数列前n项和公式得出等差数列前9项的和。13．【答案】x+2y﹣8=0【解析】【解答】解：设弦的端点为M（x1，y1）、N（x2，y2），代入椭圆方程x29x12+36y12=36×9①，9x22+36y22=36×9②；①-②，得9（x1+x2）（x1﹣x2）+36（y1+y2）（y1﹣y2）=0；由中点坐标x1+x36（x1﹣x2）+72（y1﹣y2）=0，∴直线斜率为k=y2−y所求弦的直线方程为：y﹣2=﹣12即x+2y﹣8=0．故答案为：x+2y﹣8=0．【分析】若设弦的端点为M（x1，y1）、N（x2，y2），代入椭圆方程得9x12+36y12=36×9①，9x22+36y22=36×9②；作差①﹣②，并由中点坐标公式，可得直线斜率k，从而求出弦所在的直线方程．14．【答案】2【解析】【解答】解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则A11,0,3,P0,1,1B1,1,0,D0,0,0,DP→=0,1,1,DB→=1，1，0故答案为：22

【分析】利用已知条件结合空间建系的方法得出点的坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，进而得出平面PBD的法向量，再由数量积求向量夹角的余弦值公式和诱导公式，进而得出直线A1P与平面15．【答案】x【解析】【解答】解：双曲线x2a2-y2b2a>0，b>0的左、右焦点分别为F1-c,0,F2c,0,渐近线方程为

y=±bax，所以与其中一条渐近线y=bax垂直的直线且过点F2的斜率为-ab，

所以，过F2作其中一条渐近线的垂线为y=-abx-c，又因为垂足为P，联立y=bax故答案为：x2

【分析】利用已知条件结合双曲线的标准方程得出焦点坐标和渐近线方程，再结合两直线垂直斜率之积等于-1，联立两直线方程得出点P的坐标，再结合两点距离公式和两点求斜率公式，进而解方程组得出a，b，c的值，从而得出双曲线的标准方程。16．【答案】（1）解：设数列an的公差为d由S7得7a解得a1∴a（2）解：由an=13-2n>0，得n<132，∴当此时T=当n>6时，an此时T=2=2×12×6-∴T【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式，进而解方程组得出首项和公差的值，再利用等差数列的通项公式，进而得出数列an的通项公式。

（2）利用（1）中数列an的通项公式结合bn=an，进而得出数列bn的通项公式，再结合分类讨论的方法和绝对值的定义以及等差数列前n项和公式和分组求和的方法，进而17．【答案】（1）解：由题意可设抛物线的标准方程为y2=2px或x2=2pyp>0.

当y2=2px时，可得22=2p×4，解得2p=1，此时抛物线的标准方程为：y2=x；

当x2=2py（2）解：当抛物线方程为y2=x时，如图，设M为P在准线上(准线方程：x=-1依题意可得PB+PF=PM+当抛物线方程为x2=8y时，如图，当F，P，B三点共线时，PF+【解析】【分析】（1）利用抛物线过点A结合代入法以及分类讨论的方法得出p的值，从而得出抛物线标准方程。

（2）利用（1）求出的抛物线的标准方程得出焦点F的坐标，再利用抛物线的定义结合几何法求最值的方法，进而得出PF+18．【答案】（1）解：∵正项数列an的前n项和为Sn，且Sn=1再令n=2，可得1+a2=即a2（2）证明：∵a1=1，Sn=1∴S化简得an∵a∴a∴a【解析】【分析】（1）利用已知条件结合Sn，an的关系式，再利用代入法得出a1，a219．【答案】（1）证明：连接MN，可得MN为△AC的中位线，可得MN//AC，且MN=1而A1则MN//A1C1，MN=而A1N⊄平面C1MA，C1M⊂（2）解：取AC的中点H，连接MH，由AB⊥AC，MH//AB，可得MH⊥AC.

由A1A⊥平面ABC，MH⊂平面ABC，可得A1A⊥MH，可得MH⊥平面A1ACC1.

过H作HD⊥AC1，垂足为D，连接DM，由三垂线定理可得DM⊥AC1，可得∠MDH所以cos∠MDH=（3）解：设C到平面C1MA的距离为在△C1MA则S△由VC-C解得d=4【解析】【分析】（1）连接MN，利用中位线的性质判断出线线平行，再利用A1C1=1，AC//A（2）取AC的中点H，连接MH，由AB⊥AC，MH//AB结合中点的性质，可得MH⊥AC，由A1A⊥平面ABC结合线面垂直的定义证出线线垂直，再利用线线垂直证出线面垂直，过H作HD⊥AC1，垂足为D，连接DM，由三垂线定理可得DM⊥AC1，可得（3）设C到平面C1MA的距离为d，在△C1MA中结合中点的性质和勾股定理以及三角形的面积公式得出三角形△C1MA20．【答案】（1）解：设F1由题得PF2=F1F2，即a所以e=1（2）解：由(1)知a=2c，b=3c，可得椭圆方程