16.8整式的乘法(几何图形问题十二类题型)2025-2026学年(人教版)八年级数学上学期答案

16.8整式的乘法(几何图形问题十二类题型)2025—2026学年(人教版)八年级数学上学期[答案]题型一：利用整式乘法求矩形面积在人教版八年级数学上学期关于整式乘法的几何图形问题中，求矩形面积是基础题型。例如，已知一个矩形的长为\((3x+2)\)，宽为\((2x1)\)，根据矩形面积公式\(S=长×宽\)，则该矩形面积\(S=(3x+2)(2x1)\)。利用多项式乘多项式法则，\((3x+2)(2x1)=3x\times(2x1)+2\times(2x1)=3x\times2x3x\times1+2\times2x2\times1=6x^{2}3x+4x2=6x^{2}+x2\)。题型二：求正方形面积若正方形的边长为\((2x+3)\)，根据正方形面积公式\(S=边长^{2}\)，则其面积\(S=(2x+3)^{2}\)。根据完全平方公式\((a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\)，这里\(a=2x\)，\(b=3\)，所以\(S=(2x)^{2}+2\times(2x)\times3+3^{2}=4x^{2}+12x+9\)。题型三：求组合图形面积（矩形与正方形组合）有一个组合图形，由一个边长为\((x+1)\)的正方形和一个长为\((2x+3)\)、宽为\((x2)\)的矩形组成。先分别求出正方形和矩形的面积，正方形面积\(S_{1}=(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1\)，矩形面积\(S_{2}=(2x+3)(x2)=2x\timesx2x\times2+3\timesx3\times2=2x^{2}4x+3x6=2x^{2}x6\)。那么组合图形的面积\(S=S_{1}+S_{2}=x^{2}+2x+1+2x^{2}x6=3x^{2}+x5\)。题型四：求阴影部分面积（整体图形减去空白部分）如图，大矩形的长为\((3x+4)\)，宽为\((2x+3)\)，里面有一个边长为\((x+1)\)的小正方形空白区域。先求大矩形面积\(S_{大}=(3x+4)(2x+3)=3x\times(2x+3)+4\times(2x+3)=6x^{2}+9x+8x+12=6x^{2}+17x+12\)，小正方形面积\(S_{小}=(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1\)。则阴影部分面积\(S=S_{大}S_{小}=6x^{2}+17x+12(x^{2}+2x+1)=6x^{2}+17x+12x^{2}2x1=5x^{2}+15x+11\)。题型五：通过面积关系列方程求解已知一个矩形的长比宽多\(3\)，设宽为\(x\)，则长为\(x+3\)，面积为\(28\)。根据矩形面积公式可得方程\(x(x+3)=28\)，展开式子得\(x^{2}+3x=28\)，移项化为标准的一元二次方程形式\(x^{2}+3x28=0\)，因式分解为\((x+7)(x4)=0\)，解得\(x_{1}=7\)（边长不能为负舍去），\(x_{2}=4\)，所以矩形的宽为\(4\)，长为\(4+3=7\)。题型六：拼接图形后求面积及边长将两个边长分别为\(x\)和\(y\)的正方形拼接在一起（无重叠），得到一个新的图形。若把它们拼接成一个大的长方形，长为\((x+y)\)，宽为\(x\)，则新长方形面积\(S=(x+y)x=x^{2}+xy\)。若拼接成一个类似阶梯状的图形，通过割补法可发现其面积依然是\(x^{2}+y^{2}\)。题型七：用整式乘法表示图形的周长与面积变化一个正方形的边长为\(x\)，若边长增加\(2\)，则新正方形边长为\(x+2\)。原正方形周长\(C_{1}=4x\)，面积\(S_{1}=x^{2}\)；新正方形周长\(C_{2}=4(x+2)=4x+8\)，面积\(S_{2}=(x+2)^{2}=x^{2}+4x+4\)。周长增加了\(C_{2}C_{1}=(4x+8)4x=8\)，面积增加了\(S_{2}S_{1}=x^{2}+4x+4x^{2}=4x+4\)。题型八：根据面积比求边长关系已知两个正方形，面积比为\(9:4\)，设它们的边长分别为\(a\)和\(b\)，根据正方形面积公式\(S=a^{2}\)和\(S=b^{2}\)，则\(\frac{a^{2}}{b^{2}}=\frac{9}{4}\)，开方可得\(\frac{a}{b}=\frac{3}{2}\)（边长为正），即两个正方形边长比为\(3:2\)。题型九：求不规则图形面积（分割法）一个不规则图形可以分割成三个矩形，第一个矩形长为\(2x\)，宽为\(x\)；第二个矩形长为\((x+1)\)，宽为\(2\)；第三个矩形长为\(3\)，宽为\((x1)\)。分别求出三个矩形面积，\(S_{1}=2x\timesx=2x^{2}\)，\(S_{2}=2(x+1)=2x+2\)，\(S_{3}=3(x1)=3x3\)。则不规则图形面积\(S=S_{1}+S_{2}+S_{3}=2x^{2}+2x+2+3x3=2x^{2}+5x1\)。题型十：根据图形变换求面积变化将一个长为\((2x+1)\)，宽为\((x1)\)的矩形，长扩大为原来的\(2\)倍，宽增加\(3\)。原矩形面积\(S_{1}=(2x+1)(x1)=2x^{2}2x+x1=2x^{2}x1\)。变化后长为\(2(2x+1)=4x+2\)，宽为\((x1)+3=x+2\)，新矩形面积\(S_{2}=(4x+2)(x+2)=4x\timesx+4x\times2+2\timesx+2\times2=4x^{2}+8x+2x+4=4x^{2}+10x+4\)。面积增加了\(S_{2}S_{1}=4x^{2}+10x+4(2x^{2}x1)=4x^{2}+10x+42x^{2}+x+1=2x^{2}+11x+5\)。题型十一：利用面积证明整式乘法公式通过图形来证明\((a+b)(ab)=a^{2}b^{2}\)。画一个边长为\(a\)的正方形，在一角减去一个边长为\(b\)的小正方形（\(b\lta\)）。剩余部分面积可以用大正方形面积减去小正方形面积表示为\(a^{2}b^{2}\)。也可以将剩余部分分割成两个矩形，然后拼接成一个新的矩形，长为\((a+b)\)，宽为\((ab)\)，其面积为\((a+b)(ab)\)，所以\((a+b)(ab)=a^{2}b^{2}\)。题型十二：综合图形问题中求最值已知一个矩形的周长为\(20\)，设长为\(x\)，则宽为\(\frac{202x}{2}=10x\)，面积\(S=x(10x)=x^{2}+10x\)。对于二次函数\(y=x^{2}+10x\)，其二次项系