第2章 有理数及其运算期末复习（知识清单）（学生版）-北师大版(2024)七上

第二章有理数及其运算1.大于0的数叫，在正数的前面加上负号“-”的数叫．2.数0既不是，又不是．3.在同一问题中，分别用正数和负数表示具有的意义．4.人们常用正负数来表示一对具有的量．5.有理数的分类：6.数轴：规定了、和的．7.相反数：只有的两个数互称为相反数，0的相反数是0．8.绝对值：（1)代数意义：一个的绝对值是它本身；一个的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．数a的绝对值记作．（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的．9.有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）；（2）：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3)．（4）；（5)．10.有理数的运算(一)运算法则：（1）加法法则：①两数相加，取符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的两数相加，取绝对值的加数的，并用较大的绝对值较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得．（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的．即a-b=a+(-b)．（3）乘法法则：①两数相乘，同号，异号，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都．（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的．即a÷b=a·(b≠0)．（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是，负数的偶次幂是；②正数的任何次幂都是，0的任何非零次幂都．(6)有理数的混合运算顺序：①先，再，最后；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．2．运算律：（1）交换律:①:a+b=b+a；②:ab=ba；（2）结合律:①：(a+b)+c=a+(b+c)；②：（ab）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac11.科学记数法、近似数（1）科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200000=．（2）近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.易错点1化简多重符号1.化简关键规则：核心是“奇负偶正”：数清负号个数，奇数个负号结果为负，偶数个则为正。正号可直接忽略，不影响结果。例如，-(-(-6))有3个负号（奇数），结果为-6；+(+(-2))实际只有1个负号，结果为-2。2.易错注意事项别漏数负号：多层括号易漏算，可逐层拆解，如-[-(-4)]先算内层-(-4)=4，再算外层-4。区分符号与数值：化简只变符号，数字大小不变，如-(-|-3|)，先得|-3|=3，再化简为3。例题1．化简：（1）；（2）；（3）；（4）．易错点2带“非”字的有理数的分类1.分类易错点总结混淆“非正”“非负”与“正负”：非正数包括负数和0，非负数包括正数和0，不可漏掉0。如“非正有理数”≠负数，还含0。误将“非整数”等同于分数：非整数是整数以外的有理数，即分数（包括正分数、负分数），注意不包含整数。2.注意事项总结明确“非”的范围：“非”表示“不”，如非负数是“不是负数”，即正数和0，需包含边界值0。分类不重不漏：按“非”字分类时，先确定对立面，再包含0，如非负整数=正整数+0，避免遗漏或重复。例题2．把下列各数填入相应的大括号里：，，，0，，，，，(1)整数集合：{_______________________________……}；(2)负分数集合：{_______________________________……}；(3)非负有理数集合：{___________________________……}．易错点3利用分类讨论数学思想化简绝对值1.易错点总结临界点遗漏：化简|a-b|时，未明确a=b这一临界点，只讨论a>b和a<b，忽略此时绝对值为0。分类条件错误：判断符号时逻辑颠倒，如|x+3|中，误将x>-3写成x≥-3，导致分类重叠。2.注意事项总结先找零点：令绝对值内表达式为0，求出所有临界点，以此划分区间，确保不重不漏。按区间定符号：在每个区间内确定表达式正负，再去绝对值，如x<-2时，|x+2|=-(x+2)，避免符号错误。例题3．请利用绝对值的性质，解决下面问题：(1)已知，是有理数，当时，则______；当时，则______．(2)已知，，是有理数，当时，的值为______．(3)已知，，是有理数，，，求的值．易错点4绝对值的几何意义1.易错点总结混淆距离与正负：误将|a-b|理解为a-b的正负，实际它表示数轴上a与b两点的距离，恒非负。如|3-5|是2，而非-2。忽略多解情况：|x|=3表示x到原点距离为3，解为±3，易漏写其中一个解。2.注意事项总结紧扣“距离”本质：任何数的绝对值是它到原点的距离，多个数时是两点间距离，与方向无关。明确解的完整性：绝对值方程或不等式需考虑所有满足距离条件的数，如|x-2|=1，解为x=3和x=1，避免漏解。例题4．（1）同学们知道，正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，在这一学习过程中，主要体现的数学思想有________________A．数形结合思想B．转化思想C．方程思想D．分类讨论思想回答下列问题：（2）若，求x的值．（3）若，求y的值．（4）当__________时，有最小值，最小值为__________．（5）当取最小值时，求x，y的值．易错点5含乘方的有理数的混合运算问题一、易错点总结1.

乘方符号易出错，如(-2)2=4，但-22=-4，要区分底数是否带符号。2.

混合运算顺序易乱，未先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号也未先算括号内。二、注意事项1.

明确乘方符号规则，看准底数与指数关系。2.

严格遵循“先乘方，后乘除，再加减，有括号先算括号内”顺序运算。例题5．计算：(1)(2)易错点6程序流程图与有理数的混合运算一、易错点总结1.

对程序流程理解不清，未按顺序执行步骤，漏掉循环、判断环节，致运算逻辑错误。2.

有理数运算时，符号、乘方及运算顺序易出错，像乘方底数符号、混合运算步骤混乱。二、注意事项1.

梳理程序流程，明确输入、运算、输出及条件判断顺序，分步分析。2.

强化有理数运算规则，关注符号、乘方意义，严格依“先乘方，后乘除，再加减”运算。例题6．小鹏做了一个如图所示的程序图，按要求完成下列各小题．(1)当小鹏输入的数为6时，求输出的结果n；(2)若小鹏某次输入数m后，输出的结果n为．请你写出m可能的2个值．易错点7有理数的加减混合运算中的实际应用问题一、易错点总结1.

实际情境理解偏差，如工程、行程问题中，对工作量、路程等数量关系分析错误，导致列式出错。2.

运算顺序与符号失误，乘方、乘除、加减混合时，顺序搞错或符号处理不当，使结果偏离实际。二、注意事项1.

精读题目，梳理实际问题里的数量关系，明确各量间运算逻辑。2.

严格遵循有理数混合运算顺序，细致处理符号，运算后结合实际检验结果合理性。例题7．苍溪雪梨是四川省苍溪县特产，中国国家地理标志产品．某水果超市以每千克4元的价格购进50筐雪梨，因水果超市与批发商长期合作，所以购进时以每筐30千克的标准质量付款．到店后称了每筐的质量，将超出标准质量的部分记为“”，不足标准质量的部分记为“”，记录如下表：与标准质量偏差/千克012筐数1598711(1)这50筐雪梨中，最重的一筐与最轻的一筐相差多少千克？(2)水果超市这次购进50筐雪梨的实际总质量是多少？多（或少）付了多少元？易错点8有理数的混合运算中的新定义型问题一、易错点总结1.

定义理解偏差：未能准确领会新定义的运算规则，比如对符号含义、运算优先级判断错误，导致后续列式和计算失误。2.

运算习惯干扰：受常规有理数运算顺序和法则影响，在新定义运算中，仍按固有习惯计算，忽略新规则。二、注意事项1.

精准解读定义：仔细研读新定义，明确运算规则、涉及的符号意义，可通过简单示例加深理解。2.

区分新旧运算：遇到新定义型问题，先将其与常规运算区分，严格依据新规则进行列式和计算。例题8．我们定义一种新运算：．例如：．(1)则______；(2)求的值；(3)若，求x的值．一、单选题1．下列计算正确的是（

）A． B．C． D．2．有一个数值转换器，其工作原理如图．若输入的值为23，则输出的结果是（

）A．8 B．6 C．－4 D．103．定义新运算“*”，规定（其中）．例如，．则的值为（

）A． B． C．4 D．64二、填空题4．化简：．．比较大小：．5．如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为时，最后输出的结果y是．6．对于非零有理数a、b，定义运算，例如，则．三、解答题7．计算(1)(2)8．对于任意有理数定义一种新运算：，例：．根据这个新的运算方法求的值．9．把下列各数序号填在相应的集合中：①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨(1)负数集合：__________________________________________(2)分数集合：__________________________________________(3)非正整数集合：_________________________________________(4)有理数集合：__________________________________________10．某校七年级一个综合实践小组今天到食堂进行实践活动，帮助食堂管理人员记账，食堂今天购进了筐萝卜，以每筐千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下：与标准质量的差值（单位：千克）筐数(1)这筐萝卜中，最重的一筐比最轻的一筐多重多少千克？(2)与标准重量比较，筐萝卜总计超过或不足多少千克？(3)若萝卜每千克元，购买这筐萝卜总共应付款多少元？（结果保留整数）11．（1）已知是最小的正整数，且、满足，则__________，__________，__________．（2）【阅读】点、在数轴上分别表示实数、，则、两点之间的距离可以表示为．【应用】数轴上表示和的两点和之间的距离是__________，如果，那么__________；若点为一动点，其对应的数为，则的最小值为__________．当代数式取最小值时，相应的的值是__________．12．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思