2024年艺术生高考数学专题讲义考点23二元一次不等式组与简单的线性规划

考点二十三二元一次不等式(组)与简单的线性规划

知识梳理

1.二元一次不等式(组)表示的平面区域

(1)直线1：创+U0把直角坐标平面内的所有点分成三类：

在直线力x+故+小=0上的点；

在直线力＞+"+仆()上方区域内的点；

在直线力彳+如十a0下方区域内的点.

(2)二元一次不等式组表示的平面区域：不等式组中各个不等式表示平面区域的公共区域.

2.确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法

(1)基本方法：“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组.若满足不等

式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧

的平面区域.

(2)关于边界问题：当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取

原点.

3.线性规划中的基本概念

名称定义

约束条件变量小y满足的一次不等式组

目标函数欲求最大值或最小值所涉及i勺变量才、y的线性函数

可行域约束条件所表示的平面区域称为可行域

最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解

线性规

在线性约束条件下，求线性FI标函数的最大值或最小值问题

划问题

4.利用线性规划求最值的基本步骤

(1)在平面直角坐标系内作出可行域.

(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形.

(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解.

(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.

典例剖析

题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域

例1(D已知点以3,—1)和月(一1,2)在直线ax+2y—l=0的两侧，则实数a的取值范围为

(2)不等式组.xr—+32y+＜62。0表示的平面区域是------------.(填序号)

①②

④

答案(1)(一8,1)U(3,+8)(2)②

解析(1)VA力在直线ax+2y—l=0的两侧，,(3&-3)1+3)<0,得分3或水1.

(2)把(0,0)代入第一条宜线，满足不等式，所以在x—3y+6=0的下方区域(含边界)，把(0,0)代

入第二条直线，不满足x-y+2<0,所以在直线x-y+2=()的上方区域(不含边界)，取二者公共

区域，答案为②.

2x+j-6W0,

变式训练求不等式组,>+9一320,表示的平面区域的面积.

「2

2x+y—6WC,

解析不等式组，才+y—320,表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△力优的面积即为所求.

J<2

求出点力，B,。的坐标分别为力(1,2),6(2,2),。(3,0),贝!△力比、的面积为S=^X(2—1)X2=1.

解题要点判断在直线哪一侧，一般取特殊点，如果直线不过原点，就取原点判断；若直线过原点,

就另取点(1,0)或(0,1)等判断.

题型二求线性目标函数最值问题

V一启1,

例2若x,y满足约束条件,x+yW3,则z=x+3y的最大值为______.

」21,

答案7

解析不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示・・・・z=x+3y,

1y-x=1,

将直线y=一可十向上平行移动，当经过点C时，z取得最大值，由方程组

J[x+y=3,

>=1,

得。・・・。(1,2),

ly=2.

・・・z的最大值为^=14-3X2=7.

x+y—2W0,

变式训练若*,y满足约束条件r—2y+lW0,则z=3x+y的最大值为.

,2x—y+220,

答案4

解析满足条件的可行域如图所示的阴影部分，当z=3Hy过力(1,1)时有最大值，z=4.

解题要点求znax+AygArO)的最值方法

将函数z=a>+"转化为直线的斜截式：y=-3+£通过求直线的截距[的最值间接求出z的

bub

最值.

(1)当力0时，截距今取最大值时，z也取最大值；截距'取最小值时，z也取最小值；

(2)当从0时，截距宗取最大值时，z取最小值；截距a取最小值时，z取最大值.

准确做出可行域，是解决此类问题的关键.

题型三利用线性规划求解非线性问题最值

x—4y+3W0,

例3变量x,y满足，3x+5y—25W0,

121.

(1)设Z=-,求Z的最小值;

X

(2)设2=『+"，求Z的取值范围.

x-4y+3<0,

解析由约束条件，3x+5y—25K0,作出鱼，力的可行域如图阴影部分所示.

x=l,

由解得《1，

3%+5y—25=0,YJ

x=l,

由解得。(1,1).

X—4p+3=0,

x-4y+3=0,

由解得8(5,2).

3x+5y—25=0,

y_y-o

(1)Vz=

xx-O'

・・・z的值即是可行域中的点与原点。连线的斜率.

2

观察图形可知^,n=^W=7.

□

(2)z=x?+/的几何意义是可行域上的点到原点。的距离的平方.

结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，

d.n=\OC\=y[2,〃=|网=小.

・・・2WzW29.

ri

产后1,

变式训练若实数X,y满足《>.,则匕U的取值范围是

y》一x十1,x-

jWx+1,

答案[b5]

解析由题可知工~下一，即为求不等式所表示的平面区域内的点与(0,—1)的连线斜率

x0

A的取值范围，由图可知AY[1,5].

解题要点解决此类问题，关键是弄清楚FI标函数的几何意义，然后利川数形结合思想求解。常见

的0标函数及其几何意义如下：

(1)斜率型：廉示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率值；

X

T表示点J,0与点(a,6)连线的斜率值.

x—a

(2)距离型：47不7表示点(刈力与原点(0,0)的距离；

7(x—a)”+(y—b)2表示点(x,y)与点(a,力的距离：

题型四利用线性规划求解实际问题

例4某旅行社租用力，切两种型号的客车安排900名客人旅行，力，6两种车辆的载客量分别为36

人和60人，租金分别为1600元/辆和240()元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且/，型车

不多于4型车7辆，则租金最少为.

答案36800元

’36叶60介900,

y-xW7,

解析设租用力型车，辆，4型车〃柄，则约束条件为《,―

y十xW21,

、x,HN,

目标函数为z=l600x4-2400y,

作出可行域，如图中阴影部分所示，

由图可知目标函数过点(5,12)时，有最小值为加=36800(元).

解题要点利用线性规划求解应用题时，应仔细审题，可借助表格来分析数据间联系，从而正确列

出约束条件。解题时还应注意所求解是否为整数解。对于整点问题，通常是在可行解附近寻求距直

线最近的整点，或者用调整优值法寻求最优解。

当堂练习

才一y20,

1.已知x,y满足约束条件,才+y—4W0,则z=—2x+y的最大值是.

户1，

答案-1

解析约束条件下的可行域如图所示，由z=—2x+y可知尸2x+z,当直线尸2x+z过点A(\,1)

时，截距最大，此时z最大为-1.

4x+5y28,

2.若变量筋y满足约束条件则z=3x+2y的最小值为

答案¥

解析不等式组所表示的可行域如下图所示,

由z=3x+2y得尸一［+,依题当目标函数直线/：尸一白+羡经过/1，时，z取得最小值即

x+y<4,

3.设变量x,y满足约束条件一一Z2,则3x+y的最大值为—

.3x—y20,

答案10

解析作出约束条件表示的可行域如图所示:

易知可行域边界三角形的三个顶点坐标分别是(3,1),(1,3),(-1,-3),将三个点的坐标依次代

入3x+y,求得的值分别为10,6,-6,比较可得3x+y的最大值为】().

L2W0,

4.设变量刈y满足约束条件x—2y<0,则目标函数z=3x+y的最大值为

、x+2y—8W0,

答案9

解析作出约束条件对应的可行域，如图中阴影部分，作直线/：3x+y=0,平移直线/可知，经

x-2=0,

过点力时，z=3x+y取得最大值，由

x+2y—8=0,

得4(2,3),故z皿=3X2+3=9.

\v—1>0,

5.若x,y满足约束条件x一昨0,则上的最大值为

.x+y—4W0,

答案3

解析由约束条件可画出可行域，利用」的几何意义求解.

v

•・•《表示过点(x,p)与原点(0,0)的直线的斜率，

X

[x=1,fx=l,

••・点(X,。在点力处时v上最大.由।八得

XU+y-4=0,[y=3.

・F(1,3).・•・1的最大值为3.

X

课后作业

一、填空题

x+2y20,

1.若变量x,y满足约束条件卜一内，则z=2a—y的最小值等于.

/—2y+220,

答案一5

解析如图，可行域为阴影部分，线性目标函数z=2x-y可化为尸2x-z,由图形可知当y=2x

一Z过点(一1,时Z最小，^in=2X(—1)—1=—1.

x+y-5W0,

2.若x,y满足约束条件,2x-y—120,则z=2x+y的最大值为________.

2y+1W0,

答案8

解析

x+y-5W0,

画出约束条件2x—y—120,表示的可行域，为如图所示的阴影三角形力必作直线b2x+y

x-2y+l<0

=0,平移1。到过点力的直线/时，可使直线z=x+y在y轴上的截距最大，即z最大，解

x+y—5=0,k=3,

,八得.即月(3,2),故z於大=2X3+2=8.

x-n274-1=0(y=2

3.某企业生产甲、乙两种产品均需用48两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料

的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可

获得最大利润为—

甲乙原料限额

力（吨）3212

夙吨）128

答案18万元

'3x-2j<12,

x+2jW8,

解析设甲、乙的产量分别为x吨，y吨，由已知可得〈、八

*1（）,

、介0,

目标函数z=3x+4y,线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示:

可得目标函数在点力处取到最大值.

卜+2y=8,

由3x+2y=12,得4(2,3).

则­=3X2+4X3=18(万元).

大一y20,

4.已知筋y满足约束条件+Z2,若z=ax+y的最大值为4,则a=

户0，

答案2

解析不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.易知加2,0），

8/x-"0

-2-yV)12\X

/x+y=2

[-2

x—y=0,

得庾1,1).由z=ax+y,得y=—ax+z.

x+y=2,

・・.当a=-2或a=—3时，z=ax+y在0(0,0)处取得最大值，最大值为z丽=0,当a=2或3时,

=ax+y在力(2,0)处取得最大值，

.*.2a=4,，a=2.

/+2yW2,

5.若变量x,y满足约束条件*+y20，则z=2x+3y的最大值为.

答案5

解析如图，过点(4,1)时，z有最大值z*=2X43=5.

2：+3y»O

\x+y=O

x+y21,

6.若变量My满足约束条件＜y—xW1,则z=2x—y的最小值为

,：W1»

答案一1

解析作出表示的平面区域如图：平移直线y=2x-z知，过点以0,1)时,

/W1

2堀小=-1.

卜+220,

7.设变量x,y满足约束条件|x—p+320,则目标函数z=x+6y的最大值为

i2x+y-3W0,

答案18

解析画出约束条件的可行域如图阴影，作直线/：x+6尸0,平移直线/可知，直线/过点力时,

目标函数z=x+6y取得最大值，易得力(0,3),所以-0+6X3=18.

，+卢0,

8.变量必y满足约束条件＞—2y+220,若z=2x-y的最大值为2,则实数〃，等于

答案1

解析当m=-2时，可行域如图(1),直线y=2x—z的截距可以无限小，z不存在最大值.

当〃?=—1时，/〃x一工0等同于x+y20,可行域如图(2),直线y=2x—z的截距可以无限小，z不

存在最大值.

当加=1时可行域如图(3),当直线/=2彳-2过点/1(2,2)时我距最小，z最大为2.

当位=2时，可行域如图(4),直线尸2x—z与直线仍平行，截距最小值为0,z最大为0.

x—y-\-120,

9.若x,y满足约束条件,x—2j<0,则z=*+y的最大值为

.x+2y—2W0,

3

答案

解析画出约束条件

x-y+l=O

x—y-\-120,

x~2y^0,表示的可行域为如图所示的阴影三角形力优作直线/。：x+y=0,平移/。到过

.x+2y-2W0

l2y=0,

点力的直线/时，可使直线夕=->+/在y轴上的截距最大，即z最大，解

[x+(2y-2=0

x=1,

得，厂！即/(1,3).故/最牝=1

,>+介3,

设变量满足约束条件：一

10.x,yJx—yN1,则目标函数z=2p—+1的最小值为

12犬一彩3,

答案1

解析不等式组所表示的平面区域如图中的△4％；目标函数的几何意义是区域内的点与点P(0,

x+y=3,

1)连线的斜率，显然图中//的斜率最小.由°°解得点力的坐

2x—y=3,

故目标函数2=也的最小值为中=1.

标为⑵1),

入乙

x+Z10,

11.已知不和y是实数，且满足约束条件，)一;<2,则z=2x+3y的最小值是

、2心7,

~23

答案T

2z2

解析做出不等式对应的可行域如图所示，由z=2x+3y得旷=一耳才+不做直线尸一三品平移直

JJJ

线尸一|人由图象可知当直线经过C点时，宜线