2025年高考备课教案数学第十章计数原理概率随机变量及其分布突破1概率、统计中的开放性与决策问题

突破1概率.统计中的开放性与决策问题

0学生用书P248

命题点1概率中的开放性与决策问题

例1[2023重庆二模]近期，某网络平台开展了一项有奖闯关活动，并根据难度对每一关进

行赋分，闯关活动共五关，规定：上一关不通过则不能进入下一关；本关第一次未通过有

再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败.每次闯关相斗虫立.已知甲、乙、丙三人都

参加了该项活动.

(1)若甲第一关、第二关通过的概率分别为，彳，求甲可以进入第三关的概率.

(2)已知该闯关活动参赛者的累计得分服从正态分布，目满分为450分，现要根据得分给

2500名参赛者中得分前400名发放奖励.

①«设该闯关活动平均分数为⑺分，351分以上共有57人，三知甲的得分为270分，问

甲能否获得奖励.并说明理由.

②丙得知他的分数为430分，乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上

共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.

附：若随机变量X〜N(",『)，则P(〃-GWX&N+a)=0.6827,P(〃-2oWXW"+

2a)弋0.9545,P("-+3。)々0.9973.

解析(1)设A为第i次通过第一关，所为第i次通过第二关,其中i=l,2,甲可以进

入第三关的概率为P.

由题意知尸二"(AIBI)+P(否4田)+P(4瓦&)+P(公42瓦%)=P(Ai)P(Bi)

+P(否)P(A2)P(BI)+P(A,)P(瓦)P(&)+P(而P(A2)P(瓦)P(&)

=-X-+(I--)X-X-+-X(I--)X-+(I-x-x(1--)x-=-.

4344343344336

(2)设此次闯关活动参赛者的累计得分为X,X〜N(〃，O2).

①由题意可知"=】71,因为急=0.0228,且。(X>"+2°)=

l-P2a<X<n-¥2a)1-0.9S45…八”.351-171“

-----------------70.0228,所以〃+2“弋351,则。=---=90.

_400c/r、1-P(u-a<X<u^a)1-0.6827公

而*=0.16,且/'(X>261：=P(X>p+a)=———-------------------=0.1587<

2500r22

0.16,所以前400名参赛者的最低得分低于261分，

又甲的得分为270分，所以甲能够获得奖励.

②假设乙所说信息为其，则〃=201,尸(X>"+2°)=

1-PtH-2ff<X<n+2ff)1-0.9545―57八c”,351-201_

-----------------2——-——七0.0228,而--=0.0228,所以。=——-——=75,从而〃+

2225002f

3f7=201+3X75=426<430,

一，、l-P(n-3y<X<n+3a)1-0.9973八”八”

而P(X>〃+3(7)=———----七一--^O.(X)14<0(X)5,

所以X>〃+3。为小概率事件，即丙的分数为430分是小概率事件，可认为其不可能发生，

但却发生了，所以可认为乙所说信息为假.

训练1[2023湖南长沙雅礼中学模拟]某学校为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一

次减压游戏.班主任把8个小球(只是颜色不同，其他无任何区别)放入一个袋子里，其中

白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各I个.现甲、乙两位司学进行摸球得分比赛，摸

到白色球每个记1分，黄色球每个记2分，红色球每个记3分，绿色球每个记4分，摸球

人得分不低于8分为胜，否则为负.并规定如下：

①一人摸球，另一人不摸球.

②摸出的球不放回.

③摸球的人先从袋子中摸出1个球，若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸

出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，摸球人的得分为两次摸出的球的记分之和.

(I)若由甲摸球，甲先摸出了绿色球，求该局甲获胜的概率；

(2)若由乙摸球，乙先摸出了红色球，求该局乙得分d的分布列和数学期望E(c)；

(3)有同学提出比赛不公平，提出你的看法，并说明理由.

解析(1)记''甲第一次摸出了绿色球，甲获胜”为事件A,

则P(A)=华旦54

C7217

(2)如果乙第一次摸出红色球，则可以再从袋子里摸出3个球，得分情况有：6分，7

分，8分，9分，10分，II分

P&=6)爷P「7)=署喘，

4

P（门8）=箸噎PH=9)学+*正，

P&二10）=年捍二3

套P(^=ll)普,

C7-35?

所以^的分布列为

。67891011

199493

P一

353535353535

所以的数学期望EQ）=6X-+7X-+8X—+9X—+10X—+11X—=—.

353535357

（3）由第（I）问知，若先摸出了绿色球，则摸球人获胜的概率为pi=意

由第（2）问知，若先摸出了红色球，则摸球人获胜的概■率为o=9+曹+3=*

若先摸出了黄色球，则摸球人获胜的概率为〃3=0

誓怨C75。；=等35.

若先摸出了白色球，则摸球人获胜的概率为“4=。"”：厂阚*

故摸球人获胜的概率为p=lx-+lx-+-x-+-x-=—.

8787835835280

因为摸球人获胜的概率P=隈＞；,所以比赛不公平.

2802

命题点2统计中的开放性与决策问题

例2［全国卷H］下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的

折线图.

M

m

2

图

*m

;

斯

。

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量，的两个线性回归模

型.根据2000年至2016年的数据（时间变量/的值依次为1,2,-,17）建立模型①：

y=-30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量，的值依次为1,2,…，7）

建立模型②：9=99+17.5/.

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.

解析(1)利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资颔的预测值为夕;-30.4+

13.5X19=226.1(亿元).

利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为9=99+17.5X9=256.5(亿

元).

(2)利用模型②得到的预测值更可靠.

理由如下：

(i)从折线图可以看出，200。年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=

-30.4+13.5C上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描

述环境基础设施投资额的趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，

2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设

施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型夕=

99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型

②得到的预测值更可第.

(ii)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预

测值226.1亿元的增幅明显偏依，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用

模型②得到的预测值更可靠.

说明：以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.

训练2某医生计划购买某种品牌的电动牙刷，预计使用寿命为5年，该电动牙刷的刷头在

使用过程中需要更换.若购买该品牌电动牙刷的同时购买刷头，则每个刷头20元；若单独

购买刷头，则每个刷头30元某经销商随机调查了使用该品牌电动牙刷的10()名医生在5

年使用期内更换刷头的个数，得到下表：

更换刷头的个数14151617181920

频数881024281210

用〃(“EN)表示I个该品牌电动牙刷在5年使用期内需更换刷头的个数，y表示购买刷头

的费用(单位：元).

(1)求这100名医生在5年使用期内更换刷头的个数的中位数；

(2)若购买I个该品牌电动牙刷的同时购买了18个刷头，求y关于〃的函数解析式；

(3)假设这100名医生购买I个该品牌电动牙刷的同时都购买了17个刷头或18个刷头，

分别计算这100名医生购买月性费用的平均数，以此作为决策依据，判断购买1个该品牌

电动牙刷的同时应购买17个刷头还是18个刷头.

解析(1)由题可知8+8+10+24=50,

所以这100名医生在5年使用期内更换刷头的个数的中位数为二登二17.5.

(2)当“WI8时，y=360,

当n>18时，>'=360+30(n-18)=30/1-180,

360,n<18,

所以)，关于”的函数解析式为y=(〃£N.

30n-180,n>18,

(3)若100名医生购买1个该品牌电动牙刷的同时都购买了17个刷头，

则其中有50名医生购买刷头的费用均为340元，

28名医生购买刷头的费用均为370元，

12名医生购买剃头的费用均为400兀，

10名医生购买刷头的费用均为430元，

因此这100名医生购买剃头的费用的平均数为击X(50X340+28X370+12X400+

10X430)=364.6(元).

若这100名医生购买1个该品牌电动牙刷的同时都购买了18个刷头，

则其中有78名医生购买剃头的费用均为360元,

12名医生购买刷头的费用均为390元,

10名医生购买刷头的费用均为420元,

因此这10()名医生购买刷头的费用的平均数为2-X(78X360412X390+10X420)=

100

369.6(元).

因为364.6<369.6,

所以购买1个该品牌电动牙刷的同时应购买17个刷头.

(教师尊享•备课题组:

［命题点1/2023安徽十校联考］国庆节期间，某大型服装店举办了一次“你消费我促销”活

动，顾客消费满300元(含300元)可抽奖一次，抽奖方案有两种(顾客只能选择其中的

一种).

方案一：从装有5个形状、大小完全相同的小球(其中红球1个，黑球4个)的抽奖盒

中，有放回地摸出3个球，每摸出1次红球，立减100元

方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)

的抽奖盒中，不放回地摸出3个球，中奖规则为若摸出2个红球，1个白球，则享受免单

优惠，若摸出2个红球,1个黑球，则打5折，若摸出I个红球，I个白球和1个黑球，则

打7.5折，其余情况不打折.

(1)某顾客恰好消费30()元.选择抽奖方案一，求他实付金额的分布列和数学期望；

(2)若顾客消费500元，试从实付金额的期望值分析顾客选择网附抽奖方案更合理？

解析(1)设顾客实付金额为X元，X所有可能的取值为0,100,200,300,

则P(X=0)=0)3咱,P(X=100)=CjX(1)2X^=^,P(X=200)=cjx|x

◎2啥，P(X=300)=(”啥,

故X的分布列为

X0100200300

1124864

/P

125125125125

所以E(X)=0X娱+100X^+200X^+300X^=240.

故该顾客实付金额的数学期望为240元.

(2)若选择方案一，设摸到红球的个数为匕实付金额为0元，0'|^=500-loor,

由题意可得丫〜8(3,1),所以E(y)=3X1=|,

所以E(S)=E(500-lOOK：=500-I00E(K)=500-60=440.

若选择方案二，设实付金额为“元，4所有可能的取值为0,250,375,500,

则P(〃=0)=萼=2_,P5=250)=萼=工，P(//=375)=噜虫=工，P(z/=

1111

1120'1120'C?o60'

500)=1--——

1201206060

故，/的分布列为

40250375500

p7749

1201205060

所以B5)=0x4;+250X4;+375X+500X^^466.67.

因为E(8)<E(〃)，

所以从实付金额的期望值分析，顾客选择万案一史合理.

(------------------------------:练习帮)练透好.精准分层-----------------------------

C学生用书练习帮P396

1.[2024河南名校模拟]在实施乡村振兴的进程中，某地政府引领广大农户发展特色农业，

种植优良品种柑橘.现在实验基地中种植了相同数量的A，"两种柑橘.为了比较4,8两种

柑橘品种的优劣，在柑橘成熟后随机选取A,B两种柑橘各100株，并根据株产量X(单

位：kg)绘制了如图所示的撅率分布直方图(数据分组为165,70),[70,75),[75,

80),[80,85),[85z90),[90,95]).

(1)求“，b的值；

(2)将频率当作概率，在所有柑橘中随机抽取一株，求其株产量不低于80kg的概率；

(3)求两种柑橘株产量平均数的估计值(同一组数据中的平均数用该组区间的中点值作为

代表)，并从产量角度分析，哪个品种的柑橘更好？说明理由.

解析Q)由题中A品种柑橘的频率分布直方图可知，(0.01x2+0.03+a+0.06+

005)x5=1,解得a=0.04.

由题中8品种柑橘的频率分布直方图可知，(0.05+0,06+〃+0.03+0.01X2)X5=I,解

得b=0.04.

(2)4品种柑橘株产量不低于80kg的频率为(0.04+0.06+0.05)X5=0.75,

8品种柑橘株产量不低于80kg的频率为(0.03+0.01+0.01)X5=0.25,

故200株柑橘中株产量不低于80kg的频率为丝B器需任=0.5,

所以在所有柑橘中随机抽取一株，其株产量不低于80kg的概率为0.5.

(3)设A品种柑橘株产量平均数的估计值为MA,则

MA=(0.01X67.5+0.01X72.5+0.03X77.5+0.04X82.5+0.06X87.5+0.05X92.5)X5=

84.5.

设8品种柑橘株产量平均数的估计值为MH,则

MB=(0.05X67.5+0.06X72.5+0.04X77.5+0.03X82.5+0.01X87.5+0.01X92.5)X5=

75.5.

A品种的柑橘更好.

理由一A品种柑橘的株产量平均数的估计值大于3品种柑橘的株产量平均数的估计值，

故4品种的柑橘更好.

理由二由(2)可知，A品种柑橘株产量不低于80kg的占比为75%,8品种柑橘株产量

不低于80kg的占比为25%,故A品种的柑橘更好.(注：答案不唯一，有道理的答案均给

分)

2.[2023广东一模]某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个

大4湘同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每

次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同为中奖，两

个小球颜色不同为不中奖.

(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数X的分布列和

数学期望.

(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数丫的分布

列和数学期望.

(3)如果你是商场老板，如何在上述两问的两种抽奖方式中遂行选择？请写出你的选择及

简要理由.

解析(I)若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率为

C1+C|_4

Go―片

因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数X服从二项分布，即X〜8(2,g),

所以X的所有可能,取值为0,I,2,

p(X=O)=cjx(I)°x(|)2嗜

P(X=I)=QX◎'x。T

P(X=2)=C2X(i)2x0)含，

所以X的分布列为

X012

254016

818181

X的数学期望E（x）=2X?=g.

99

（2）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数丫的所有可能取

值为01,2,

则p(y=o)=a常嚓

5o^8

PQ=D二等x詈+新等W

ci*cici+c§

p(r=2)x_13

一63

所以丫的分布列为

Y012

201013

P

632163

所以y的数学期望（r）=OX3+1XU+2X竺=&.

E6321639

（3）由上面分析可知，（I）（2）两问中奖次数的数学期望相等，第（I）问抽奖方式中

两次奖的概率比第（2）问小，即蔡〈氏，第（1）问抽奖方式不中奖的概率比第（2）问

小.，即如2一5＜,一20.

8163

回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第（2）问方式进行

抽奖.

回答二：若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第Q）间方式进行抽奖.

（注：答案不唯一，选择符合商场老板的预期即可）

3.甲、乙、丙三位重剑爱好者决定进行一场比赛，每局两人对我，没有平局.已知每局比赛

甲赢乙的概率为3甲赢内的概率为:，丙赢乙的概率为:•因为甲是最弱的，所以让他决定第

一局的两个比赛者，每局获胜者与此局未比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先

获胜两局就成为整个比赛的冠军，比赛结束.

（1）若甲指定第一局由乙丙比赛，求“只进行三局甲就成为冠军”的概率；

（2）请帮助甲进行第一局的决策（甲乙、甲丙或乙丙比赛），使得甲最终获得冠军的概率

最大.

解析（1）若甲指定第一局由乙丙比赛，”只进行三局甲就成为冠军”共有两种情况：

①乙丙比乙胜，甲乙比甲胜，甲丙比甲胜，其概率为京已二二上：

35430

②乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，其概,率为=

34560

所以“只进行三局甲就成为冠军”的概率为上+上=乙.

306020

(2)若第一局由甲乙比赛，则甲获得冠军的情况有三种：

甲乙比甲胜，甲丙比甲胜；甲乙比甲胜，甲丙比丙胜，乙丙比乙胜，甲乙比甲胜；甲乙比

乙胜，乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜.

所以第一局由甲乙比赛时，甲获得危军的概率为=

S45435S34512

若第一局由甲丙比赛，则思路同上，可得甲获得疆军的概率为！x2+2x±x2x2+

454534

若第一局由乙丙比赛，则甲获得冠军只能是甲在第二、三局连嬴两局，则甲获得过军的概

率即第(1)问的结果白.

所以第一局甲应指定自己和丙比赛，使得甲最终获得冠军的概率最大.

4.[2024山东枣庄模拟]某企业拥有甲、乙两条零件生产线，为了解零件质量情况，采用随

机抽样的方法从两条生产线上共抽取180个零件，测量其尺寸(单位：mm)，得到如下统

计表，其中尺寸位于[55,58)内的零件为一等品，位于[54,55)内和[58,59)内的零件

为二等品，否则为三等品.

生产线[53,54)[54,55)[55,56)[56,57)[57,58)[58,59)[59,60]

甲49232824102

乙214151716151

(1)完成下列2X2列联表，依据小概率值a=0.05的独立性检验，能否认为零件为T

品与生产线有关联？

单位：个

一等品非一等品合计

甲

乙

等十

(2)将样本的频率视为概率，从甲、乙两条生产线中分别随机抽取2个零件，每次抽取零

件互不影响，以4表示这4个零件中一等品的数量，求j的分右列和数学期望E(^).

(3)已知该企业生产的零件随机装箱出售，每箱60个.产品出厂前，该企业可自愿选择是

否对每箱零件进行检验.若执行检验，则每个零件的检验费用为5元，并将检验出的三等品

更换为一等品或二等品；若不执行检验，则对卖出的每个三等品零件支付120元赔偿费用.

现对一箱零件随机检验了10个，检出了1个三等品.将从两条生产线抽取的所有样本数据

的频率视为概率，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望作为决策依据，是否需要对该箱

余下的所有零件进行检验？请说明理由.

2

附：了？二-----")------------,其中n=a+b+c+d；xo.os=3.841.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

解析(1)由题意得列联表如下：

单位：个

一等品非一等品合计