拓展拔高练(拓展拔高0球与几何体的切、接问题)

拓展拔高练(时间:45分钟分值:60分)1.(5分)已知一个棱长为2的正方体的顶点都在某球面上,则该球体的体积为()A.823π B.43π C.8π D【解析】选B.因为正方体的体对角线等于其外接球的直径,且正方体的棱长为2,故该球体的直径2R=22+22+22=23,所以R=3,故该球体的体积V=42.(5分)在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=2,AB=22,AC=4,∠BAC=45°,则三棱锥P-ABC外接球的表面积是()A.14π B.16π C.18π D.20π【解析】选D.在△BAC中,∠BAC=45°,AB=22,AC=4,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos45°=8+16-2×22×4×22=8,则BC2+AB2=AC2所以BC⊥AB,由PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,得PA⊥BC.又PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB,所以BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB,所以△PBC为直角三角形.又△PAC为直角三角形,所以PC是三棱锥P-ABC外接球的直径.设O是PC的中点,即为球心,因为AC=4,PA=2,所以PC=AC2+PA2=42+22=25,所以外接球半径为53.(5分)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为 ()A.3172 B.210 C.132 D【解析】选C.由题意作图如图,过球O作平面ABC的垂线,则垂足为BC的中点M.因为AB=3,AC=4,AB⊥AC,所以BC=5.又AM=12BC=52,OM=12所以球O的半径R=OA=(52)4.(5分)(2024·湖州调研)已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的等边三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为()A.6π B.6π C.24π D.86π【解析】选A.设PA=PB=PC=2x,因为E,F分别为PA,AB的中点,所以EF∥PB,EF=12PB=x,AE=12PA连接CF,因为△ABC是边长为2的等边三角形,所以CF=3.又∠CEF=90°,所以CE=3-在△AEC中,由余弦定理得cos∠EAC=x2+4-(过点P作PD⊥AC于点D,因为PA=PC,所以D为AC的中点,所以cos∠EAC=ADPA=1所以2x2+14x=12x,解得x=22(负值已舍去),所以又AB=BC=AC=2,所以PA,PB,PC两两垂直,即三棱锥P-ABC是以PA,PB,PC为棱的正方体的一部分,所以球O的直径2R=2+2+2=6,解得R=62,则球O的体积V=43πR3=43π×665.(5分)(2024·聊城模拟)“阿基米德多面体”也称半正多面体,是由边数不全相同的正多边形围成的多面体,它体现了数学的对称美.如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体,这是一个有八个面为正三角形,六个面为正方形的“阿基米德多面体”.若该多面体的棱长为1,则该多面体外接球的体积为()A.4π3 B.82π3 C.4π 【解析】选A.将该多面体放入正方体中,如图所示.由于多面体的棱长为1,所以正方体的棱长为2.因为该多面体是由棱长为2的正方体连接各棱中点所得,所以该多面体外接球的球心为正方体体对角线的中点,其外接球直径等于正方体的面对角线长,即2R=(2)2+所以该多面体外接球的体积V=43πR3=4π6.(5分)(多选题)已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M,N,若线段MN的最小值为3-1,则下列说法中正确的是()A.正方体的外接球的表面积为12πB.正方体的内切球的体积为43C.正方体的棱长为2D.线段MN的最大值为23【解析】选ABC.设正方体的棱长为a,则正方体外接球的半径为体对角线长的一半,即32a,内切球的半径为棱长的一半,即1因为M,N分别为外接球和内切球上的动点,所以MNmin=32a-12a=3-1解得a=2,即正方体的棱长为2,所以正方体外接球的表面积为4π×(3)2=12π,内切球的体积为43π,故A,B,C正确线段MN的最大值为3+1,故D错误.7.(5分)(多选题)传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等.“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现,如图是一个圆柱容球,O1,O2分别为圆柱下、上底面的圆心,O为球心,EF为底面圆O1的一条直径,若球的半径r=2,则()A.球与圆柱的表面积之比为1∶2B.平面DEF截得球的截面面积的最小值为165C.四面体CDEF的体积的取值范围为(0,323D.若P为球面和圆柱侧面的交线上一点,则PE+PF的取值范围为[2+25,43]【解析】选BCD.由球的半径为r,可知圆柱的底面半径为r,圆柱的高为2r,则球的表面积为4πr2,圆柱的表面积为2πr2+2πr·2r=6πr2,所以球与圆柱的表面积之比为2∶3,故A错误;ABCD所在截面如图所示,过点O作OG⊥DO1于点G,则由题可得OG=12×2×425设点O到平面DEF的距离为d1,平面DEF截得球的截面圆的半径为r1,则d1≤OG,r12=r2-d12=4-d1所以平面DEF截得球的截面面积的最小值为165π,故B正确由题可知,四面体CDEF的体积等于2VE-DCO1,点E到平面DCO又S△DCO所以2VE-DCO1=23×8d=16d3∈(由题可知,点P在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上,设P在底面的射影为P',则PP'=2,PE=22+P'E2,PF=22+设t=P'E2,则t∈[0,42],PE+PF=22+t所以(PE+PF)2=(22+t+22=24+2-(t-8)2+144∈[24+85,48],所以PE+PF∈[2+25,48.(5分)已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为___________.

【解析】圆锥内半径最大的球为该圆锥的内切球,如图,圆锥母线长BS=3,底面半径BC=1,其高SC=BS2-不妨设该内切球与母线BS切于点D,令OD=OC=r,由△SOD∽△SBC,得ODOS=BC即r22-r=13,解得r=22,V=4答案:29.(5分)某建筑的形状可视为内外两个同轴圆柱,某爱好者制作了一个实心模型,已知模型内层圆柱底面直径为12cm,外层圆柱底面直径为16cm,且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为20cm的球面上,则此模型的体积为________cm3.

【解析】由题意,设球心为O,模型内层圆柱底面的圆心为O1,模型外层圆柱底面的圆心为O2,点A,B分别在圆O1,O2上,如图,连接AO,BO,AO1,BO2,OO1,则O2在OO1上.因为AO=BO=10cm,AO1=6cm,BO2=8cm,在Rt△AO1O中,由勾股定理得,OO1=AO在Rt△BO2O中,由勾股定理得,OO2=BO所以内层圆柱的高h1=16cm,外层圆柱的高h2=12cm,所以此模型的体积V=π×82×12+π×62×(16-12)=912π(cm3).答案:912π10.(5分)(2023·全国甲卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,O为AC1的中点,若该正方体的棱与球O的球面有公共点,则球O的半径的取值范围是________.

【解析】设球的半径为R.当球是正方体的外接球时,恰好经过正方体的每个顶点,所求的球的半径最大,若半径变得更大,球会包含正方体,导致球面和棱没有公共点,正方体的外接球直径2R'为体对角线长AC1=42+42+42=43,即R'=23,故Rmax=23.分别取侧棱AA1,BB1,CC1,DD1的中点M,H,G,N,显然四边形MNGH是边长为4的正方形,且O为正方形MNGH的对角线交点,连接MG,则MG=42,当球的一个大圆恰好是四边形MNGH的外接圆时,球的半径达到最小,即R的最小值为22.综上,R答案:[22,23]11.(5分)(2023·全国乙卷)已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上,△ABC是边长为3的等边三角形,SA⊥平面ABC,则SA=________.

【解析】如图,将三棱锥S-ABC转化为直三棱柱SMN-ABC,设△ABC的外接圆圆心为O1,半径为r,则2r=ABsin∠ACB=332=23,可得设三棱锥S-ABC的外接球球心为O,连接OA,OO1,AO1,则OA=2,OO1=12因为OA2=OO12+O1A2,所以4=14SA2+3,解得答案:212.(5分)在多面体PABCQ中,PA=PB=PC=AB=AC=BC=2,QA=QB=QC且QA,QB,QC两两垂直,则该多面体的外接球半径为___________,内切球半径为___________.

【解题指南】先根据题意得出该多面体PABCQ可看作是棱长为2的正方体的一部分,再求出正方体外接球的半径即可求出该多面体的外接球半径,最后利用分割法求几何体的体积,列出关系式V多面体PABCQ=V三棱锥P-ABC+V三棱锥A-QBC=13r·S多面体PABCQ,即可求解出该多面体的内切球半径【解析】由AB=AC=BC=2,QA=QB=QC且QA,QB,QC两两垂直可得QA=QB=QC=AB×sin45°=2.又因为PA=PB=PC=2,所以该多面体PABCQ可看作是棱长为2的正方体的一部分,如图所示,则该多面体的外接球半径与棱长为2的正方体外接球的半径相同,故外接球的半径为12×(2)设△ABC的中心为O,内切球半径为r,连接AO,PO.由PA=PB=PC=AB=AC=BC=2及正方体的性质,可得PO⊥平面ABC.由AB=AC=BC=2,可得AO=23AB·sin60°=2由PA=PB=PC=2,可得PO=PA2-AO2=22-(233)

2=263V三棱锥P-A