初三竞赛真题试卷(含答案)（2025年）

初三竞赛练习题试卷(含答案)（2025年）一、选择题（每题4分，共40分）

1.下列选项中，有理数a、b满足a+b=0，且a×b=1，则a的值是（）

A.1

B.1

C.√2

D.√2

答案：C

2.若两个数的和为5，它们的积为4，这两个数分别是（）

A.1和4

B.2和3

C.1和4

D.2和3

答案：C

3.已知a、b是方程x²2x+1=0的两个实数根，那么a²+b²的值为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：D

4.下列关于x的不等式中，有解的是（）

A.x²<0

B.x²>0

C.x²≥0

D.x²≠0

答案：C

5.已知a、b、c为三角形的三边，且a+b+c=10，a²+b²+c²=58，则这个三角形的周长是（）

A.6

B.8

C.10

D.12

答案：C

6.下列关于函数y=f(x)的图像中，符合f(x+1)=f(x)的是（）

A.一次函数

B.二次函数

C.幂函数

D.三角函数

答案：D

7.已知函数f(x)=x²2x+c，当x=1时，f(x)取最小值，则c的值为（）

A.1

B.0

C.1

D.2

答案：A

8.下列关于x的方程中，有两个相等实数根的是（）

A.x²4x+4=0

B.x²4x+3=0

C.x²+4x+4=0

D.x²+4x+3=0

答案：A

9.若函数f(x)=kx+b在x=1时取得最大值，且f(0)=0，则k的取值为（）

A.正数

B.负数

C.零

D.无法确定

答案：B

10.在一个长为a，宽为b的矩形中，有一个长为a，宽为b/2的矩形EFGH，若矩形EFGH的面积为S，则矩形ABCD的面积为（）

A.2S

B.4S

C.8S

D.16S

答案：B

二、填空题（每题4分，共40分）

11.若两个数的和为3，它们的积为2，这两个数分别是________和________。

答案：1和2

12.若函数f(x)=2x²+3x+1在x=1时取得最小值，则a的取值为________。

答案：3

13.若a、b是方程x²+2x1=0的两个实数根，那么a+b的值为________，a×b的值为________。

答案：2，1

14.已知a、b、c为三角形的三边，且a+b+c=12，a²+b²+c²=36，则这个三角形的周长是________。

答案：10

15.若函数f(x)=kx²+bx+c在x=2时取得最大值，且f(0)=4，则k的取值为________。

答案：负数

三、解答题（共20分）

16.（10分）已知函数f(x)=ax²+bx+c，其中a、b、c为实数，且a≠0。若函数f(x)在x=1时取得最小值，求a、b、c的取值范围。

解答：由题意知，函数f(x)在x=1时取得最小值，因此f'(1)=0，f''(1)>0。

由f'(x)=2ax+b，得f'(1)=2a+b=0，解得b=2a。

由f''(x)=2a，得f''(1)=2a>0，解得a>0。

因此，a>0，b=2a，c的取值范围不受限制。

17.（10分）已知三角形ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a+b+c=10，a²+b²+c²=58。求三角形ABC的面积。

解答：由余弦定理得cosC=(a²+b²c²)/(2ab)。

由a+b+c=10，得c=10ab。

代入a²+b²+c²=58，得a²+b²+(10ab)²=58。

化简得2ab=32，即ab=16。

由海伦公式，三角形ABC的面积S=√[p(pa)(pb)(pc)]，其中p=(a+b+c)/2=5。

代入ab=16，得S=√[5(5a)(5b)(5c)]=√[5(5a)(5b)(10ab)]。

由a+b+c=10，得(10ab)²=10020(a+b)+a²+2ab+b²=10020(a+b)+2ab。

代入ab=16，得(10ab)²=10020(a+b)+32。

化简得a+b=8。

代入S=√[5(5a)(5b)(10ab)]，得S=√[5(5a)(5b)(2ab)]。

代入a+b=8，得S=√[5(5a)(5b)(28)]=√[5(5a)(5b)(6)]。

化简得S=√[5(5a)(5b)(6)]=√[150(5a)(5b)]。

由a+b=8，得a=8b。

代入S=√[150(5a)(5b)]，得S=√[150(5(8b))(5b)]。

化简得S=√[