北京市重点中学2023-2024学年高二上学期数学12月月考试卷（含答案）

第第页北京市重点中学2023-2024学年高二上学期数学12月月考试卷一、选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．直线x2A．30° B．45° C．120° D．135°2．已知a=(2，3，−1A．−1 B．0 C．1 D．23．在等差数列{an}中，a1=1，公差d≠0，如果a1，A．3 B．2 C．−2 D．2或−24．已知圆C的圆心在直线y=x上，且圆C经过坐标原点，则圆C的方程可以为（）A．(x+1)2C．(x−1)25．化简方程|(A．x24−C．x225−6．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块7．已知数列{an}的前n项和Sn=26n−A．6 B．7 C．6或7 D．88．已知正三棱锥P−ABC的底面ABC的边长为2，M是空间中任意一点，则MA⋅A．−32 B．−1 C．−3二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.9．双曲线C：x23−y26=1的渐近线方程为；若抛物线10．设数列{an}的首项a1=111．若等比数列{an}满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q=；前n项和Sn=．12．过点(1，1)且被圆C：x213．已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，O为原点，点M是抛物线C准线上的一动点，点A在抛物线C上，且|AF|=214．心脏线，也称心形线，是一个圆上的固定一点在该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周滚动时所形成的轨迹，因其形状像心形而得名.心脏线的平面直角坐标方程可以表示为x2+y①曲线关于x轴对称；②当a=1时，曲线上有4个整点（横纵坐标均为整数的点）；③a越大，曲线围成的封闭图形的面积越大；④与圆(x+a其中，所有正确结论的序号是.三、解答题：本题共2小题，共30分.15．已知{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{（1）求数列{an}（2）求数列{bn}16．已知椭圆x2（1）求椭圆的离心率e；（2）直线l过点N(0，2)且与椭圆有唯一公共点M

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：直线x2+y−2=1，即y=x-2故答案为：B.

【分析】根据直线方程可知斜率，进而可知倾斜角.2．【答案】A【解析】【解答】解：因为a⊥b，则2t+3t+1故答案为：A.【分析】根据空间向量垂直的坐标表示列式求解.3．【答案】B【解析】【解答】解：因为a1，a2，a5成等比数列，则a22=a1a5，

即1+d故答案为：B.【分析】根据等比中项可得a24．【答案】C【解析】【解答】解：对于A：(0+1)2+(0+1)2=2≠1，即圆(x+1)2+(y+1)2=1不经过坐标原点，故A错误；

对于B：02+02+2×0−2×0+1=1≠0，即圆x2+y2+2x−2y+1=0不经过坐标原点，故B错误；

对于C：故答案为：C.【分析】对于AB：代入原点判断即可；对于C：求圆心，并结合题意检验即可；对于D：求圆心即可判断.5．【答案】D【解析】【解答】解：设Px，y,F1-5,0,F25,0，

则|PF1|=(x+5)2+y2,|PF故答案为：D.

【分析】设Px，y6．【答案】C【解析】【解答】设第n环天石心块数为an则{an}设Sn为{别为Sn所以S3n即3n(9+27n)即9n2=729所以S3n故答案为：C【分析】第n环天石心块数为an，第一层共有n环，则{an}是以9为首项，9为公差的等差数列，设Sn为{7．【答案】B【解析】【解答】当n=1时，a1=26−1=25，当n⩾2时，an=Sn−Sn−1=26n−故答案为：B

【分析】根据题意，求出数列{an}8．【答案】A【解析】【解答】解：设BC中点为O，AO中点为H，连接MH，则|因为MA=2(当|MH|=0，即M与H重合时，MA故答案为：A.【分析】设BC中点为O，AO中点为H，连接MO,AH，根据空间向量的线性运算结合数量积的运算律可得9．【答案】y=±2【解析】【解答】解：由题意可知a=3,b=6,c=a2+b2=3，且焦点在x轴上，

可知双曲线C的渐近线方程为y=±2x故答案为：y=±2

【分析】根据双曲线方程可得a,b,c，结合双曲线的性质求渐近线方程，且抛物线y2=2px(p>0)10．【答案】1【解析】【解答】解：由题意可知：a2故答案为：12

【分析】根据题中递推公式运算求解即可.11．【答案】2；2n+1﹣2【解析】【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a2+a4=20，a3+a5=40，∴a1q+a∴Sn=a1(故答案为：2，2n+1﹣2．【分析】利用等比数列的通项公式和已知即可得出a1q+a1q12．【答案】y=x【解析】【解答】解：记点(1，1)为A，

可知圆C：x2+(y−2)2=5的圆心为C0,2，半径为r=5，

因为CA=2<5，可知点A(1，1)在圆C内，直线l与圆C必相交，故答案为：y=x.

【分析】根据题意可知点A(1，1)在圆C内，由圆的性质可知：当CA⊥l13．【答案】13【解析】【解答】解：由题意可知：抛物线的焦点F(0,因为|AF|=2，则yA+不妨取A(作A关于准线的对称点B，则B(则|MA当且仅当O,所以|MA|+故答案为：13.

【分析】根据题意求点A的坐标，作A关于准线的对称点B，根据对称性结合几何性质分析求解.14．【答案】②③④【解析】【解答】解：对于①：根据曲线方程，可画图像，结合图形可知，曲线不关于x轴对称，故①错误；对于②：当a=1时，曲线方程可写为x2x=0时，y=0或y=令t=x2结合上图得，y的整数取值为−2,y=0时，x=±1或x=0；y=−1时，上述曲线方程写为x2+1−1=x2+1y=−2所以a=1时，曲线上有4个整点分别为(0,0对于③：由图像可知曲线围成的封闭图形面积随a(a>0)对于④：由圆的方程可知，圆心坐标为(−a,0)，半径为所以曲线与圆(x+a)2故答案为：②③④.【分析】对于①③：结合图象分析判断；对于②：x=0时，y=0或y=−2，结合上图得，y的整数取值为−215．【答案】（1）解：设等差数列{an}d=所以an设等比数列{bn−q3=b所以bn从而bn（2）解：由（1）知bn数列{3n}的前n项和为32n(n+1)所以，数列{bn}的前n【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项和性质求数列{an}的通项公式，根据等比数列的通项和性质求数列{bn−a16．【答案】（1）解：依题意2a=2×2b，即ba所以离心率e=（2）解：由（1）可得椭圆方程