贵州省桐梓县荣兴高级中学2023-2024学年高二上学期第四次月考数学试卷（含答案）

第第页贵州省桐梓县荣兴高级中学2023-2024学年高二上学期第四次月考数学试卷一、单选题1．若(1+2i)A．2−i B．2+i C．−2+i2．直线x=tanA．60∘ B．90∘ C．3．函数f(A． B．C． D．4．已知抛物线y2=2px(p>0)A．1 B．2 C．3 D．45．已知偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0A．f(π)C．f(π)6．“a=−13”是“直线ax+(A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件7．两条不同直线l1，lA．平行 B．垂直 C．异面 D．相交或异面8．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次向上的点数是2”为事件A，“第二次向上的点数是奇数”为事件B，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件C，则下列说法正确的是（）A．事件A与事件B互为对立事件 B．PC．P(BC)=16二、多选题9．设函数f(A．f(x)的最小正周期为π B．fC．f(x)的一个零点为x=−π10．已知圆C：x2+y2=21A．无论a取何值，直线l与圆C相交B．直线l被圆C截得的最短弦长为4C．若a=1，则圆C关于直线l对称的圆的方程为(D．直线l的方程能表示过点(111．已知F1，F2分别是双曲线C：x2−yA．双曲线C的离心率为2B．△PFC．F1到双曲线的一条渐近线的距离为D．以F1F12．对于抛物线y=1A．开口向上，焦点为(0，4C．准线方程为x=−4 D．准线方程为y=−4三、填空题13．已知点A(−3，1)，a=(14．若角α的终边经过点P(−12，5)，则15．已知实数a≠0，函数f(x)=2x+a16．下列四个幂函数：①y=x−3；②y=x−2；③y=x−四、问答题17．某中学高三年级统计学生的最近20次数学周测成绩（满分150分），现有甲、乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示：（1）根据茎叶图求甲、乙两位同学成绩的中位数，并将乙同学的成绩的频率分布直方图填充完整；（2）根据茎叶图比较甲、乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）.18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b（1）求角A的大小；（2）若b=2，c=3，求a的值；（3）若a2=bc，判断19．圆P的圆心坐标为(0，（1）求圆P的方程；（2）判断直线x+2y+9=0与圆P的位置关系，说明理由.如果相交，则求弦长．20．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形（1）求证：AA1⊥（2）求平面A1C121．在平面直角坐标系中，椭圆C：x2a2+y（1）求椭圆C的方程.（2）若过椭圆C的左焦点，倾斜角为60°的直线与椭圆交于A，B两点，求△AOB22．在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G为（1）证明：BF//平面（2）求点G到平面BCE的距离.

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：由题意可知：z=4+3i1+2i=4+3i1-2i1+2i1-2i故答案为：B.【分析】根据题意利用复数的除法运算求z，进而可得z.2．【答案】B【解析】【解答】解：因为直线x=tan60∘=故答案为：B.【分析】根据题意结合倾斜角的定义分析求解.3．【答案】A【解析】【解答】解：函数f(x)=x2−4xex的定义域为R，

当f(x)<0时，即当x→+∞时，f(故答案为：A.【分析】分别求f(x)>0、f(x)4．【答案】D【解析】【解答】解：由题意可得：4p=2pmm+p2故答案为：D.【分析】根据题意结合抛物线的方程和定义列式求解即可.5．【答案】C【解析】【解答】解：因为f(x)为偶函数，则f(−2)=f2，f(−3)=f3，

由题意可知：f故答案为：C.【分析】根据偶函数的定义可得f(−2)6．【答案】C【解析】【解答】解：因为直线ax+(a+1)y=0和直线2ax+(1−a)y+1=0平行，

则a1-a=2aa+1，解得a=−13或a=0，

若a=−13，则两直线分别为x-2y=0,2x-4y-3=0，两直线平行，符合题意；

若a=0，则两直线分别为y=0,y=-1，两直线平行，符合题意；

综上所述：直线ax+(a+1)y=0和直线2ax+(1−a)y+1=0故答案为：C.【分析】根据直线平行求a的值，再利用包含关系结合充分、必要条件分析判断.7．【答案】D【解析】【解答】解：因为21≠11≠-21，可知m→故答案为：D.【分析】根据空间向量平行的坐标表示分析可知m→8．【答案】C【解析】【解答】解：抛掷一枚质地均匀的骰子两次，

设“第一次向上的点数是2”为事件A，“第二次向上的点数是奇数”为事件B，

事件A与事件B可以同时发生，故不互为对立事件，A错误；抛掷一枚质地均匀的骰子两次的样本点数共6×6=36种，事件B的样本点为(1，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件C，

事件C的样本点为(1，2事件BC的样本点为(2所以P(因为P(BC)=P(故答案为：C.

【分析】根据列举法、对立事件的定义以及独立事件对各个选项进行判断即可.9．【答案】B,D【解析】【解答】解：对于A：f(x)的最小正周期为T=2π2=π，故A正确；

对于B：fπ6=2sinπ3+π3=2sin2π3=3，不是最值，

所以直线x=π故答案为：BD.【分析】对于A：根据周期公式运算求解；对于B：代入，结合对称轴与最值之间的关系分析判断；对于C：代入运算即可；对于D：结合正弦函数的最值分析判断.10．【答案】A,C【解析】【解答】解：对于A：将直线l：ax+(1−2a)令x−2y+3=0y−2=0，解得x=1可知直线l过定点P(因为12+22<21所有无论a取何值，直线l与圆C相交，故A对；对于B：圆C:x2+y当PC⊥l时，点C到直线l的距离取最大值，且其最大值为|PC此时，直线l被圆C截得的弦长最短，且最短弦长为221−5对于C：当a=1时，直线l的方程为x−y+1=0，设圆心C(0,0)则m2−n2+1=0若a=1，则圆C关于直线l对称的圆的方程为(x+1对于D：若直线l表示直线x−2y+3=0，则a1且直线x−2y+3=0过点(1,2)，故直线故答案为：AC.【分析】对于A：可知直线l过定点P(1,2)11．【答案】A,B【解析】【解答】解：由双曲线方程可得a=1,即F1(−对于A：双曲线的离心率e=c对于C：F1(−2,对于D：可知以F1F2为直径的圆的圆心为(所以圆的方程为x2对于B：设|P由题意可知：PF1⊥P则mn=1所以△PF1故答案为：AB.【分析】根据题意列式求a,b,c，进而判断ACD；对于B：根据题意结合双曲线的定义分析求解.12．【答案】B,C【解析】【解答】解：抛物线y=116x2即x2=16y，

可知p=8，且焦点在y轴正半轴上，即p2=4，

所有抛物线的故答案为：BC.【分析】根据题意可知p=8，且焦点在y轴正半轴上，进而可得焦点坐标和准线方程，即可判断.13．【答案】(5，【解析】【解答】解：因为AB//a，且a→≠0→，

设AB→=λa→=-2λ，2λ，λ∈R，

又因为|AB|=82，即4λ2+4λ2=82，解得λ=±4，

若λ=4，则故答案为：(5，−7【分析】根据向量共线可设AB→=λa14．【答案】−【解析】【解答】r=52+(−12)2=【分析】根据题意结合任意角的三角函数值的定义sinα=15．【答案】±【解析】【解答】解：因为f(a)=−3，

若a<1，则2a+a=3a=-3，解得a=-1；

若a≥1综上所述：a的值为±1.

故答案为：±【分析】分a<1和a≥1两种情况，结合题中所给的分段函数解析式分析求解.16．【答案】②③【解析】【解答】解：对于①：因为y=x−3=对于②：因为y=x−2=对于③：因为y=x−2对于④：因为y=x32综上所述：值域为同一区间的是②③.故答案为：②③.【分析】根据分数指数幂的运算结合函数值域分析求解.17．【答案】（1）解：甲的成绩的中位数是116+1222乙同学的成绩的频率分布直方图如下：（2）解：从茎叶图可以看出，乙同学的成绩的平均分比甲同学的成绩的平均分高，乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定.【解析】【分析】(1)根据茎叶图求中位数以及相应的频率，进而补全频率分布直方图；

(2)根据茎叶图以及平均数和方差的性质分析判断.18．【答案】（1）解：在△ABC中，由a2=b2所以A=π（2）解：由b=2，c=3及a2=b所以a=（3）解：由a2=b2+c2−bc及所以△ABC【解析】【分析】(1)利用余弦定理边化角即可得结果；

(2)将b=2，c=3代入题中关系式运算求解即可；

(3)将a2=bc，代入题中关系式得19．【答案】（1）解：圆P的半径r=|PA|=（2）解：圆心P(0，−2)到直线x+2y+9=0的距离d=|【解析】【分析】(1)根据两点间距离公式可得半径，即可得圆的方程；

(2)结合点到直线的距离公式判断直线与圆的位置关系，再根据垂径定理求弦长.20．【答案】（1）解：∵四边形AA∴AA又∵平面ABC⊥平面AA1C1且AA1∴AA1⊥（2）解：由AC=4，BC=5，∴AB⊥建立如图所示的空间直角坐标系，则A1∴BC1=(4设平面A1C1B的一个法向量为n1则n1⋅BC1∴n1n2⋅BC1∴n2∴|cos∴平面A1C1B与平面【解析】【分析】(1)由四边形AA1C1C是正方形，可得AA1⊥AC.由平面ABC⊥平面AA1C1C结合面面垂直的性质可证得AA1⊥平面ABC；21．【答案】（1）由题意可得e=33=可得b2所以椭圆方程为x2（2）由（1）可知：椭圆方程x29+因为直线AB倾斜角为60°，则斜率为k=tan所以直线AB：y=3(x+3)联立方程组x29+所以x1+x可得|x所以S△【解析】【分析】(1)根据题意列式求a,b,c，即可得椭圆方程；

(2)由题意可得直线AB：y=322．【答案】（1）证明：以D点为原点建立如图所示的空间直角坐标