2025年上海市曹杨二中高一上学期期中数学试卷及答案解析

上海市曹杨二中2025学年度第一学期高一年级期中考试数学试卷考生注意：1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚.2、本试卷共有20道试题，满分100分，考试时间90分钟.请考生用黑色水笔或钢笔将答案直接写在答题卷上.一、填空题（本大题共有12题，第1～6题每题3分，第7～12题每题4分，共42分）1.已知，则______．2.当时，式子的值是________.3.已知幂函数的图象不过原点，则实数m的值为__________.4.使不等式中等号成立的x的取值范围是__________.5.已知，若关于x的不等式的解集为，则m的取值范围是__________.6.已知，若关于x的方程有两个实根，，且，则a的值为__________.7.设，，用表示的结果为__________8.已知，幂函数在区间上的最大值与最小值之差为，则a的值为__________.9.已知函数，若，则的最小值为_____________.10.已知，若关于x的方程有负根，则a的取值范围是__________.11.集合有8个元素，设M的所有非空子集为（，2，…，255），每一个中所有元素乘积为，则__________.12.已知实数，满足，，其中为自然对数的底数，则___二、选择题（本大题共有4题，每题4分，共16分）13.若，则（）A. B.C. D.14.在同一坐标系中，函数与函数的图象可能为（）A. B.C. D.15.已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（）A B.C. D.16.已知，用表示非空集合A中元素个数，定义，集合，，若，则a可能的取值有（）个.A.2 B.3 C.4 D.5三、解答题（本大题共有4题，共42分）17.已知，，.（1）若，求；（2）若是的充分条件，求a的取值范围.18.美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.近年来，某公司已成功研发A、B两种芯片，研发芯片前期已经耗费资金3千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的净收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得净收入0.2千万元；生产B芯片的净收入y（千万元）是关于投入的资金x（千万元）的幂函数，其图象如图所示.（1）试分别求出生产A、B两种芯片的净收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系式；（2）现在公司准备投入5亿元资金同时生产A、B两种芯片.设投入x千万元生产B芯片，用表示公司所获利润，求公司最大利润及此时生产B芯片投入资金.（利润＝A芯片净收入＋B芯片净收入－研发耗费资金）19.已知，，设关于x不等式的解集为A.（1）若，求a的取值范围；（2）当时，若A中有且仅有两个整数，求a的取值范围；（3）若关于x的不等式的解集为，求a的取值范围.20.对于任意实数c，d（），定义区间，，，的长度均为.若集合I是若干个两两交集为空集的区间的并集，则把这些区间的长度的和称为I的长度，特别地，记正整数集，且，若对任意的，2，…，，区间的长度始终不小于恒成立，则称该集合为“称心集”.（1）若的解集为B，求集合B的区间长度；（2）若关于x的不等式组的解集构成的各区间长度之和为5，求实数t的取值范围；（3）求“称心集”中元素个数的最大值，并说明理由.参考答案及解析：上海市曹杨二中2025学年度第一学期高一年级期中考试数学试卷考生注意：1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚.2、本试卷共有20道试题，满分100分，考试时间90分钟.请考生用黑色水笔或钢笔将答案直接写在答题卷上.一、填空题（本大题共有12题，第1～6题每题3分，第7～12题每题4分，共42分）1.已知，则______．【答案】【解析】【分析】根据元素与集合的关系，即可求解.【详解】因为，所以或，解得.当时，，符合题意；当时，，不符合集合元素互异性，舍去，综上所述，，故答案为：2.当时，式子的值是________.【答案】0【解析】【分析】利用根式的运算性质化简即可.【详解】因为，所以.故答案为：0.3.已知幂函数的图象不过原点，则实数m的值为__________.【答案】【解析】【分析】根据幂函数的定义，系数为，不过原点指数小于等于即可得【详解】根据幂函数定义，系数，解得或，为使图象不过原点，指数，即，所以.故答案为：4.使不等式中等号成立的x的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】就、、分类讨论后可得x的取值范围.【详解】当时，等号成立即为，故；当时，等号成立即为，故；当时，等号成立即为，故；综上，使得不等式等号成立的x的取值范围是.故答案为：.5.已知，若关于x的不等式的解集为，则m的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】根据二次函数的图像和性质求解一元二次不等式即可.【详解】因为不等式的解集为，根据二次函数的图像和性质可得，，解得.故答案为：.6.已知，若关于x的方程有两个实根，，且，则a的值为__________.【答案】【解析】【分析】由韦达定理得到和，代入解出的值，根据判别式判断是否符合题意.【详解】因为，是的两个实根，由韦达定理得，所以，即，解得或，判别式，当时，，方程无实根，舍去，当时，，有两个实根，符合条件，故答案为：.7.设，，用表示的结果为__________【答案】【解析】【分析】由对数的运算性质即可得解.【详解】，故答案为：8.已知，幂函数在区间上的最大值与最小值之差为，则a的值为__________.【答案】或【解析】【分析】对进行讨论，通过函数的单调性进行求解即可.【详解】①当时，单调递增，所以函数的最大值为，最小值为，所以差为，解得；②当时，单调递减，所以函数的最大值为，最小值为，所以差为，解得；③当时，差为（舍去）0.故答案：或9.已知函数，若，则的最小值为_____________.【答案】4【解析】【分析】根据题意结合图象可得，且，结合基本不等式运算求解.【详解】作出函数的图象，如图所示，因为，且，所以，所以，则，可得，即，且，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为4.故答案为：4.10.已知，若关于x的方程有负根，则a的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】根据方程解与函数零点的关系，结合函数零点存在性定理解不等式即可求解.【详解】因为关于x的方程有负根，所以有负根.根据单调性的性质可知：函数的定义域为，且在和上单调递增.当时，在上单调递增，当时，，，，根据零点存在性定理可得：要使有负根，则，解得；当时，，若时，，，则恒成立，函数在上无零点；当时，在和上单调递增，当时，，，，故函数在上无零点；当时，时，，，，根据零点存在性定理可得：要使有负根，则，解得.综上，a的取值范围是.故答案为：.11.集合有8个元素，设M的所有非空子集为（，2，…，255），每一个中所有元素乘积为，则__________.【答案】【解析】【分析】将的所有非空子集进行分类，含0的，不含0却含，既不含0，也不含，只含的，进而求出答案.【详解】的所有非空子集为分为以下几种情况，①含0的子集个，这些子集均满足乘积为0，②不含0，不含，但含有其他元素的子集，有（去掉空集）个，③不含0，含有且含有其他元素子集，有个，④只含的子集一个，此时乘积为，其中②③中的集合是一一对应的，且为相反数，其乘积之和为0，综上，.故答案为：12.已知实数，满足，，其中为自然对数的底数，则___【答案】e4【解析】分析】对等式两边取为底的对数，变形可得，，从而可知所以和是方程的根，结合方程有唯一根可得，再结合，即可得，即可求出.【详解】实数，满足，，，所以，，即，，所以和是方程的根，由于方程的根唯一，所以，所以，整理得，所以．故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是等式两边取为底的对数，得到和是方程的根及方程的根唯一得到.二、选择题（本大题共有4题，每题4分，共16分）13.若，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用不等式的性质一一分析选项即可.【详解】因为，所以，所以A、B错误；易知，所以，则，即，所以C错误；而根据同向同正可乘性知，即D正确.故选：D14.在同一坐标系中，函数与函数的图象可能为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】判断b的范围，结合二次函数的开口方向，判断函数的图象即可．【详解】解：函数的是指数函数，且，排除选项C，如果，二次函数的开口方向向上，二次函数的图象经过原点，并且有另一个零点：，所以B正确；对称轴在x轴左侧，C不正确；如果，二次函数有一个零点，所以D不正确．故选：B．15.已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，从而得到，解得即可.【详解】因为，，且，则，当且仅当，即，时取等号，可得，因为恒成立，即恒成立，可得，解得，所以实数的取值范围是.故选：D.16.已知，用表示非空集合A中元素个数，定义，集合，，若，则a的可能的取值有（）个.A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】由已知条件求得，可得出或，然后对实数的取值进行分类讨论，确定方程的解的个数，由此可求得实数的所有可能取值.【详解】由题意可知，，故，由题中定义可得，或.由题意可知，为关于方程的一根.当时，则，则方程只有一个实根，可得，此时，方程无实根，则满足条件；当时，则关于的方程有三个根，必有，此时，关于的方程的两根分别为，，分以下两种情况讨论：①若是方程的一根时，则，解得.当时，则，合乎题意；当时，则，合乎题意；②当方程有两个相等的实根，则，解得.当时，，合乎题意；当时，，合乎题意.综上，a的可能的取值为故选：D.三、解答题（本大题共有4题，共42分）17.已知，，.（1）若，求；（2）若是的充分条件，求a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)求出集合，根据补集的定义即可求出；(2)明确,结合集合的区间表示即可确定a的取值范围【小问1详解】解不等式，得，所以【小问2详解】解不等式，得，因为是的充分条件，所以,因为恒成立，所以，所以或，即或，解得或，故18.美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.近年来，某公司已成功研发A、B两种芯片，研发芯片前期已经耗费资金3千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的净收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得净收入0.2千万元；生产B芯片的净收入y（千万元）是关于投入的资金x（千万元）的幂函数，其图象如图所示.（1）试分别求出生产A、B两种芯片的净收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系式；（2）现在公司准备投入5亿元资金同时生产A、B两种芯片.设投入x千万元生产B芯片，用表示公司所获利润，求公司最大利润及此时生产B芯片投入的资金.（利润＝A芯片净收入＋B芯片净收入－研发耗费资金）【答案】（1），（2）最大利润，生产B投入【解析】【分析】（1）结合已知条件和图像分别求解即可；（2）根据已知条件写出的解析式，并利用二次函数性质求解即可.【小问1详解】不妨设生产芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式为：，从而，故；芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式，由图像可知，的图像过点，即，解得，故所求函数关系式为.【小问2详解】由题意可知，，，由二次函数性质可知，当时，即时，有最大值.即投入千万时，利润最大，最大值为千万.19.已知，，设关于x的不等式的解集为A.（1）若，求a的取值范围；（2）当时，若A中有且仅有两个整数，求a的取值范围；（3）若关于x的不等式的解集为，求a的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由题设有，故可求；（2）就、、分类讨论后可求的取值范围；（3）原不等式等价于，从而在上恒成立，参变分离后可求的取值范围.【小问1详解】因为，故，故，故.【小问2详解】即为，故，若，则，故不等式的解为，因为不等式有且仅有两个整数，故即；若，不等式的解集为空集，不合题意，舍；若，则，故不等式的解为，此时无整数解，舍；综上，.【小问3详解】即为或者，也就是，而时，恒成立，故时，需恒成立，也就是在上恒成立，故，故在上恒成立，而当时，恒成立，故，当时，设，则，由双勾函数的单调性可得在为增函数，故，故，故.20.对于任意实数c，d（），定义区间，，，的长度均为.若集合I是若干个两两交集为空集的区间的并集，则把这些区间的长度的和称为I的长度，特别地，记正整数集，且，若对任意的，2，…，，区间的长度始终不小于恒成立，则称该集合为“称心集”.（1）若的解集为B，求集合B的区间长度；（2）若关于x的不等式组的解集构成的各区间长度之和为5，求实数t的取值范围；（3）求“称心集”中元素个数的最大值，并说明理由.【答案】（1）2（2）（3）9，理由见解析【解析】【分析】（1）先去绝对值，然后求出不等式解集，进而可得到集合的区间长度.（2）先求出不等式的解集，然后根据不等式组解集的长度求出区间范围为，然后求出的