2025年上海市实验中学高一上学期期中数学试卷及答案解析

上实验2025-2026学年第一学期高一年级数学期中2025.11一、填空题（本大题共10小题，每小题4分，答案正确得4分，否则不得分）1.已知集合，若，则实数的值是__________2.用反证法证明“若，则或”这个命题时，可以先假设该命题的结论不成立，即________．3.不等式的解集是_________.4.如图是四个幂函数的部分图像，已知取、2、、这四个值，则与对应的曲线为________．（从、、、中选择一个填写）5.已知实数满足，则________．6.已知，，则用、表示________．7.已知集合，记，若集合有且仅有8个子集，那么的取值范围是________．8.设集合，并定义集合，集合，那么满足但的元素的个数为________．9.已知，，若对任意和任意，都有恒成立，则实数的取值范围是________．10.、为正实数，若，，则的最小值为________．二、选择题（本大题共4小题，每小题4分）11.若，则“”是“”的（）条件A.充分非必要 B.必要非充分C.充要 D.既非充分也非必要12.维恩（Venn）图是辅助研究复杂集合关系的重要工具．已知全集，集合、为的子集，满足，，，则下列判断正确的是（）A.， B.， C.，D.，13.中国的5G技术领先世界，在5G技术中，最大数据传输速率取决于信道带宽，与满足，其中称为信噪比（单位：）．若不改变带宽，初始信噪比为1000，那么为了使增加，需要将信噪比从1000提升至大约（）A.5000 B.6000 C.7000 D.800012.维恩（Venn）图是辅助研究复杂集合关系的重要工具．已知全集，集合、为的子集，满足，，，则下列判断正确的是（）A.， B.， C.， D.，13.中国的5G技术领先世界，在5G技术中，最大数据传输速率取决于信道带宽，与满足，其中称为信噪比（单位：）．若不改变带宽，初始信噪比为1000，那么为了使增加，需要将信噪比从1000提升至大约（）A.5000 B.6000 C.7000 D.800014.设a、b、c、p为实数，若同时满足不等式、与全体实数x所组成的集合等于.则关于结论：①a、b、c至少有一个为0；②.下列判断中正确的是（）A.①和②都正确 B.①和②都错误C.①正确，②错误 D.①错误，②正确三、解答题（本大题共4小题，要求写出必要的解答或证明步骤）15.设集合，集合．（1）试用区间表示集合；（2）若，求的取值范围．16.设（1）当，时，解不等式；（2）若不等式的解集为，求、的值．17.如图，，是两条长度足够长的互相垂直的笔直小路，矩形的顶点，分别在，上，且该矩形区域内种满了荷花．为了让观赏者有更好的观赏体验，现计划经过点修一条小路，其中点在小路上，点在小路上，并在区域内种满荷花．已知，且小路要完全位于一个以为顶点的，边长为的正方形内部（包括边界）．记的面积为．（1）设，试用表示，并写出的取值范围．（2）当的长度为多少时，取得最小值？最小值是多少？18.设．（1）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；（2）当时，设有两个实根，，若，求的取值范围；（3）当时，给出命题：存在使，以及命题：任意使0．若为真命题且为假命题，求的取值范围．四、附加题（本大题共2小题，要求写出必要的解答或证明步骤）19.已知两个函数，，．（1）若对任意恒成立，求实数的取值范围；（2）设，，求和的值域．20.已知为自然数集的子集，将从小到大排序后依次记为，定义是由，，，为元素组成的集合，给定正整数m，若，则称A为连续生成数集．（1）判断是否为连续生成数集？说明理由；（2）数集是否为连续生成数集？说明理由；（3）若数集为连续生成数集，求正整数最大值．参考答案及解析：上实验2025-2026学年第一学期高一年级数学期中2025.11一、填空题（本大题共10小题，每小题4分，答案正确得4分，否则不得分）1.已知集合，若，则实数的值是__________【答案】【解析】【分析】由，分，两种情况讨论，结合集合中元素的互异性分析，即得解【详解】由题意，（1）若，则，和集合中元素的互异性矛盾，不成立；（2）若，则，由（1）若，则，，成立故实数的值是故答案为：2.用反证法证明“若，则或”这个命题时，可以先假设该命题的结论不成立，即________．【答案】且【解析】【分析】根据反证法步骤，否定结论即可.【详解】先假设该命题的结论不成立，即假设“且”.故答案为：且.3.不等式的解集是_________.【答案】【解析】【分析】由不等式得，所以，等价于，解之得所求不等式的解集.【详解】由不等式得，即，所以，此不等式等价于，解得或，所以不等式的解集是：，故填：.【点睛】本题考查分式不等式的解法，一般的步骤是：移项、通分、分解因式、把每个因式未知数的系数化成正、转化为一元二次不等式或作简图数轴标根、得解集，属于基础题.4.如图是四个幂函数的部分图像，已知取、2、、这四个值，则与对应的曲线为________．（从、、、中选择一个填写）【答案】【解析】【分析】根据幂函数的图象特征即可求解.【详解】当时，幂函数在上单调递增；当时，幂函数在上单调递减；且在直线的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数依次增大.因为，所以与对应的曲线为.故答案为：.5.已知实数满足，则________．【答案】【解析】分析】由可得.【详解】因为，所以.故答案为：.6.已知，，则用、表示________．【答案】【解析】【分析】根据换底公式及对数的运算性质求解即可.【详解】.故答案为：.7.已知集合，记，若集合有且仅有8个子集，那么的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】由集合有且仅有8个子集，可知集合中有且仅有个元素，即不等式有且仅有3个整数解，由此分类讨论可得的取值范围.【详解】由题可知集合中有且仅有个元素.所以A不能为空集，则，且有且仅有3个整数解.当时，；当时，；当时，集合中至少有五个元素，不合题意.综上所述，的取值范围是.故答案为：.8.设集合，并定义集合，集合，那么满足但的元素的个数为________．【答案】【解析】【分析】由题意可求出，【详解】由题可得，解得，则，由，设，则，所以，又因为，，所以，因为共个相同元素，所以满足但的元素的个数为个.故答案为：.9.已知，，若对任意和任意，都有恒成立，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】求出的最小值为3，的最大值为.由题可知，的最小值大于的最大值，由此求得实数的取值范围.【详解】因为，所以在上单调递减，在上单调递增.所以的最小值为3.因为，所以的最大值为.若对任意和任意，都有恒成立，则，即.解得.所以，实数的取值范围是.故答案为：.10.、为正实数，若，，则的最小值为________．【答案】【解析】【分析】由条件得到，再令，得到，，结合基本不等式求得即可求解.【详解】由，得，所以，令，则，所以，且，且，解得：，即，当且仅当，即时取等号，所以，即的最小值为2，故答案为：2二、选择题（本大题共4小题，每小题4分）11.若，则“”是“”的（）条件A.充分非必要 B.必要非充分C.充要 D.既非充分也非必要【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质，结合充分性和必要性的定义进行判断即可.【详解】由，因此由可以推出，但是当时，显然成立，但是不成立，因此由不一定能推出，因此“”是“”的充分非必要条件，故选：A12.维恩（Venn）图是辅助研究复杂集合关系的重要工具．已知全集，集合、为的子集，满足，，，则下列判断正确的是（）A.， B.， C.， D.，【答案】B【解析】【分析】结合Venn图，逐项判断即可.【详解】由题意画出Venn图，如下：对于A：若，，则不符合题意；对于C：若，，则，不符合题意；对于D：若，，则，不符合题意；对于B：经验证符合题意，故选：B13.中国的5G技术领先世界，在5G技术中，最大数据传输速率取决于信道带宽，与满足，其中称为信噪比（单位：）．若不改变带宽，初始信噪比为1000，那么为了使增加，需要将信噪比从1000提升至大约（）A.5000 B.6000 C.7000 D.8000【答案】D【解析】【分析】结合题意，借助对数运算法则计算即可得.【详解】由题意可得，即有，即.故选：D.14.设a、b、c、p为实数，若同时满足不等式、与的全体实数x所组成的集合等于.则关于结论：①a、b、c至少有一个为0；②.下列判断中正确的是（）A.①和②都正确 B.①和②都错误C.①正确，②错误 D.①错误，②正确【答案】A【解析】【分析】分类讨论研究一元二次不等式的解集即可.【详解】由题意知，、、三个都不小于0，对于①，若、、，则由二次函数的图象与性质可得，必定存在，使得三个不等式均成立，不符合题意，所以“、、至少有一个为0”是正确的.对于②，由题意知，、、三个都不小于0，当，，时，解集为R，解集为，解集为，所以三个集合交集为；当，，时，解集为，解集为，解集为R，所以三个集合交集为；当，，时，解集为，解集为，解集为R，所以三个集合交集为；同理可得：当，，时，当，，时，当，，时，三个集合交集也是；当，，时，若有两个不同的根，设的两根为、，则，，所以且，所以解集为或，只有一个根时，解集为，无根时，解集为R，所以集合的交集为，与题意不符，综述：、、中有一个为0且另外两个大于0或、、中有两个为0且另外一个大于0，.故选：A.三、解答题（本大题共4小题，要求写出必要的解答或证明步骤）15.设集合，集合．（1）试用区间表示集合；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求解不等式，得，根据区间的定义知；（2）由，知.分和两种情况进行分析，可求得的取值范围.【小问1详解】由，得，所以.所以.【小问2详解】若，则.当，即时，，满足题意；当，即时，要使，须使，解得.综上所述，的取值范围是.16.设（1）当，时，解不等式；（2）若不等式的解集为，求、的值．【答案】（1）（2）或，【解析】【分析】（1）代入，分和讨论解不等式即可；（2）由不等式解集和方程关系可知则的两根为或，则或，再解方程组检验即可．【小问1详解】，，，即，当时，不等式恒成立，当时，或，解得或，综上，不等式的解集为或；【小问2详解】不等式的解集为，则的两根为或，或，解得或，当时，不等式的解集为，符合题意，又时，，也符合题意，所以或．17.如图，，是两条长度足够长的互相垂直的笔直小路，矩形的顶点，分别在，上，且该矩形区域内种满了荷花．为了让观赏者有更好的观赏体验，现计划经过点修一条小路，其中点在小路上，点在小路上，并在区域内种满荷花．已知，且小路要完全位于一个以为顶点的，边长为的正方形内部（包括边界）．记的面积为．（1）设，试用表示，并写出的取值范围．（2）当的长度为多少时，取得最小值？最小值是多少？【答案】（1）；（2）当时，S取得最小值，为2000.【解析】【分析】（1）利用三角形相似，根据相似比得，再由及其范围列不等式求范围；（2）根据已知有，应用基本不等式求最小值，并确定取值条件，即可得.【小问1详解】依题意，得，所以，即，得，所以，所以，解得；综上【小问2详解】由，所以，由基本不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，故时，取得最小值，为2000.18.设．（1）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；（2）当时，设有两个实根，，若，求的取值范围；（3）当时，给出命题：存在使，以及命题：任意使0．若为真命题且为假命题，求的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由题意可得恒成立，分类讨论可求得的取值范围；（2）由题意得有两个根为，且，进而利用根与系数的关系，计算可求得的取值范围；（3）根据题意，可求得不恒成立的的取值范围即可.【小问1详解】当时，函数为：，不等式恒成立，即：恒成立，当时，不等式变为，恒成立，符合题意；当时，由恒成立，可得，解得；综上，的取值范围为.【小问2详解】当时，函数为：，方程为：，即；设方程的两个根为，且，解得：或，由根与系数的关系得，由，所以，，所以，，解得由，可得，所以，所以，两边平方得，整理得，所以，所以或，综上所述：的取值范围.【小问3详解】当时，，

是一个开口向上的抛物线，其最小值为：，所以

的取值范围为

.由存使，则存在

使得

，令，则，因为也是开口向上的抛物线，若，即时，，若，即，解得（舍去）或，即时，恒成立，当时，存在，当，即时，最小值为，若为真命题且为假命题，则存在使，所以．所以的取值范围为．四、附加题（本大题共2小题，要求写出必要的解答或证明步骤）19.已知两个函数，，．（1）若对任意恒成立，求实数的取值范围；（2）设，，求和的值域．【答案】（1）（2）的值域为若，的值域为；若，的值域为；若，的值域为.【解析】【分析】（1）由题可知，对任意恒成立，构造函数，讨论其单调性，分析其最小值，即可求得实数的取值范围；（2）由题可得，所以的值域为.，借助（1）的分析，分类讨论的值域.小问1详解】若对任意恒成立，则对任意恒成立，令，则恒成立.当，即时，，所以恒成立，所以；当，即时，，所以恒成立，所以；当，即时，恒成立，满足题意.综上所述，实数的取值范围是.【小问2详解】因为，所以，因为，故，所以的值域为.因为，由，得.