第5章 一元一次方程期末复习（知识清单）（教师版）-北师大版(2024)七上

第五章一元一次方程【清单01】一元一次方程的概念1.方程：含有未知数的等式叫作方程．2.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。3.一元一次方程定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程叫作一元一次方程。细节剖析：判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数，未知数的次数为1；②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．4.一元一次方程的解：能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根。【清单02】等式的基本性质等式的性质1等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得结果仍是等式。字母表达式为：．等式的性质2等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为零），所得结果仍是等式。字母表达式为：．细节剖析：等式的传递性【清单03】一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式．(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)．(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．【清单04】一元一次方程的应用首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．一元一次方程应用题解题一般步骤：①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）【清单05】用一元一次方程解决实际问题的常见类型（1）探索规律型问题；（2）数字问题；（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；（5）行程问题（路程＝速度×时间）；速度×时间=路程；相遇问题：S甲＋S乙=S总；追及问题：S快-S慢=S相距；（6）等值变换问题；（7）和，差，倍，分问题；（8）分配问题；（9）比赛积分问题；（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．易错一、利用一元一次方程的定义求参数###易错总结1.漏验未知数系数≠0（如ax+2=0，易只求a的取值却漏验a≠0）；2.误判未知数次数（如x(k-1)+3=0，易算错k=2却忽略“次数=1”的核心条件）；3.未排除多未知数（如ax+by=5，未令b=0确保只含一个未知数）。###解题技巧1.紧扣定义列双条件：①未知数次数=1；②未知数系数≠0；2.求参数后代入系数检验，避免“系数为0”的错误；3.多字母时先令非目标未知数的系数为0，再满足一元一次方程条件。例题1．（24-25七年级上·山东滨州·期末）若是关于的一元一次方程，则的值为．【答案】【知识点】一元一次方程的定义【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据题意可得且，解之即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．【详解】解：∵是关于的一元一次方程，∴且，∴，故答案为：．易错二、已知一元一次方程的解求参数或代数式的值###易错总结1.代入解时计算失误（如x=2代入3x+a=7，误算6+a=7得a=2）；2.忽略方程解的整体性（如已知x=1是ax+b=0的解，求a+b时未关联方程）；3.未化简方程直接代入（如复杂方程未整理就代解，增加计算错误率）。###解题技巧1.“代入-求解”两步走：先将解代入方程，再解关于参数的一元一次方程；2.代数式求值可“整体代入”（如由方程得a+2b=3，直接用其求2a+4b的值）；3.计算后回代检验，确保参数值使原方程成立。例题2．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）若关于x的一元一次方程的解为，则代数式的值为．【答案】【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，代数式求值，根据方程的解，即可求出，即可求出代数式的值．【详解】解：是方程的解，，即，．故答案为：．易错三、已知含参数一元一次方程的解为整数解求参数的值###易错总结1.漏考虑参数取值范围（如用含参数表达式表示解后，未结合整数定义限定参数）；2.解的表达式化简错误（如整理方程时移项、系数化为1出错，导致解的形式有误）；3.忽略参数为整数的隐含条件（如参数未明确时，漏算整数参数的所有可能值）。###解题技巧1.先整理方程，用参数表示解（如解为x=(m+3)/2，确保表达式最简）；2.根据“解为整数”列条件：分子能被分母整除，分情况求参数；3.检验所有参数值，确保代入后原方程解为整数。例题3．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）若关于的方程的解为正整数，整数的值是．【答案】2或3或4或7【知识点】解一元一次方程（二）——去括号【分析】首先解方程表示出的值，然后根据解为正整数求解即可．本题主要考查方程的解和解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．【详解】解：，移项得：，合并同类项得：，系数化为1得：，关于的方程的解为正整数，为正整数，或或或或或或．故答案为：2或3或4或7易错四、已知含参数一元一次方程的解求另一元一次方程的解###易错总结1.求参数时计算失误（如代解入第一个方程算错参数，导致后续连锁错误）；2.漏用参数值（求出参数后，未代入第二个方程直接求解）；3.忽略方程整理（第二个方程未化简直接代入参数，增加计算难度）。###解题技巧1.分两步：先将已知解代入第一个方程，求出参数值；2.把参数值代入第二个方程，转化为无参数方程；3.解第二个方程后，回代参数与解到两个原方程检验，确保正确。例题4．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）已知为实数，关于的方程的解为，则关于的方程的解为．【答案】7【知识点】方程的解【分析】本题考查了一元一次方程的解，正确掌握转化思想是解题的关键．两个方程形式相似，第一个方程的解为，则第二个方程中与x对应，可得，可得结果．【详解】解：关于的方程的解为，则，∴，．故答案为7易错五、一元一次方程中与运算有关的新定义型问题###易错总结1.误读新定义规则（如混淆新运算符号的优先级，或漏看定义中的限制条件）；2.列方程时未按新定义转化（如未将新运算表达式替换为常规运算，导致方程列错）；3.求解后未检验是否符合新定义的范围（如忽略定义中“未知数为整数”等附加条件）。###解题技巧1.先精读新定义，用常规运算式表示新运算（如定义a⊕b=2a-b，直接替换进方程）；2.按新定义列一元一次方程，再用常规解法求解；3.将解代入新定义验证，确保符合所有规则。例题5．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）对于任意有理数a，b，定义一种新运算：，等式右边是通常的加法、减法运算，如：．(1)求的值；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【知识点】倒数、一元一次方程解的综合应用【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题关键在于理解新定义．（1）根据新定义进行计算，一个变负数，一个变倒数计算即可，（2）首先根据新定义分别表示出等号两边的，然后在求出m即可；【详解】（1）（2），，，．易错六、解一元一次方程中的新定义型拓展问题###易错总结1.误解新定义内涵（如错解“解满足某条件”的新定义，偏离方程求解核心）；2.列方程时漏用新规则（未将新定义条件转化为等式，导致方程列错）；3.求解后未验证新定义（忽略新定义对解的限制，如“解为正数”等条件）。###解题技巧1.拆解新定义：明确新规则中“方程形式”“解的要求”等关键信息，转化为数学表达式；2.按常规步骤解方程，再结合新定义筛选或验证解；3.复杂新定义可举例辅助理解，确保每步都符合新规则。例题6．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”．(1)方程与方程是“和谐方程”吗？请说明理由；(2)若关于x的方程与方程是“和谐方程”，求m的值；(3)若关于x方程与是“和谐方程”，求n的值．【答案】(1)是“和谐方程”，理由见解析(2)(3)【知识点】解一元一次方程（二）——去括号【分析】本题以新定义题型为背景，考查了一元一次方程的求解，熟记相关求解步骤是解题关键．（1）分别求解方程、即可判断；（2）分别求解方程、，根据“和谐方程”的定义可得，即可求解；（3）分别求解方程、，根据“和谐方程”的定义可得，即可求解．【详解】（1）解：方程与方程是“和谐方程”，理由如下：由，解得；由，解得．∵，∴方程与方程是“和谐方程”．（2）解：由，解得；由，解得．∵方程与方程是“和谐方程”，∴，解得．（3）解：由，解得；由，解得；∵关于x方程与是“和谐方程”，∴，解得．一、单选题1．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知关于x的方程的解是，则m的值为（

）A． B． C．1 D．3【答案】D【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入方程即可求解，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键．【详解】解：∵是方程的解，∴，即，∴．因此，m的值为3．故选：D．2．（2024·广东清远·二模）关于x的一元一次方程与的解相同，则a的值为（

）A． B．1 C．7 D．【答案】A【分析】本题考查了一元一次方程的解以及同解方程，解题的关键是求出第一个方程的解并代入第二个方程求解．先求解方程得到的值，再将其代入方程，进而求出的值．【详解】解：解方程，两边同时除以2，得．把代入中，得到，即．两边同时减去4，得．所以的值为，故选：A．3．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值（

）A．2或0 B．0 C．2或 D．2【答案】D【分析】本题考查了一元一次方程的概念．根据一元一次方程的概念列出式子即可得出且即可得出答案．【详解】解：若方程是关于的一元一次方程，则，且，∴，故选：D．4．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知关于的一元一次方程解为正整数，则所有满足条件的的整数有（

）个．A．3 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】本题主要考查了根据一元一次方程的解的情况求参数，先解原方程得到，根据原方程的解为正整数得到是正整数，则或或或，据此求出a的值即可得到答案．【详解】解：去括号得：移项，合并同类项得：，系数化为1得：，∵关于的一元一次方程解为正整数，∴是正整数，∴或或或，∴或或或，故选：B．5．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查一元一次方程的解，将两个方程化为相同的形式，根据的解求出y的值即可．【详解】解：方程可化为，方程可化为，根据题意，得，解得．故选：C．6．（2025·江苏镇江·二模）若两个方程的解相差（为正整数），则称解较大的方程为另一方程的“—方程”．如：方程是方程的“5—方程”．当时，关于的方程是方程的“3—方程”，则代数式的值为（

）A． B．0 C．1 D．6【答案】C【分析】本题主要考查一元一次方程的求解及新定义“—方程”的应用，熟练求解一元一次方程、理解新定义并据此建立等式是解题的关键．先分别求解两个方程的解，再根据“—方程”的定义得出关于、、的等式，最后代入代数式求值．【详解】解：∵，，∴．∵，，∴．∵方程是方程的“—方程”，且解较大的为前者，∴．对化简：，即，，∴，也就是．对变形可得．把代入上式，得．故选：C二、填空题7．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）已知是关于的一元一次方程，则．【答案】【分析】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的定义，本题属于基础题型．根据一元一次方程的定义即可求出答案．【详解】解：由原方程，得，解得或，，，解得．故答案为：．8．（24-25七年级上·山东聊城·期末）已知是方程的解，那么代数式的值是．【答案】7【分析】本题考查了一元一次方程的解即使得方程左右两边相等的未知数的值，求代数式的值，熟练掌握方程的解是解题的关键．把解代入方程，求得m，n的关系式，再变形计算代数式的值即可．【详解】解：∵是方程的解，∴，∴．故答案为：7．9．（24-25七年级上·云南楚雄·期末）关于x的方程的解是整数，则整数k的可能值有个．【答案】4【分析】本题主要考查了含字母系数的一元一次方程，先解方程得到x，再根据x为整数，讨论k为整数即可得解．【详解】解：由，整理，得，当时，方程的解为x.∵关于x的方程的解是整数，k为整数，∴或或或，∴或或或，∴整数k的可能值有4个.故答案为：4．10．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）若关于的方程，无论为任何数时，它的解总是，那么．【答案】【分析】本题考查了解一元一次方程的应用，方程的解；方程去分母，再把方程的解代入整理得，由题意即可求得n的值．【详解】解：方程两边同乘6，得：；由于关于的方程，无论为任何数时，它的解总是，则是的解，所以，即；由于为任何数，则，解得：；故答案为：．11．（24-25七年级下·吉林长春·月考）若关于的方程的解与方程的解互为相反数，则的值为．【答案】【分析】本题考查方程的解的问题及参数的求解，解题的关键是分别求出两个方程的解，根据互为相反两个数和为，列新方程求解．分别解出两个方程的解用含的字母表示，再根据互为相反数列式即可得到答案．【详解】解：由题意得：解方程，解得；解方程，解得；∵两个方程的解互为相反数，，解得：；故答案为：12．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为．【答案】【分析】本题考查了方程的解，一元一次方程的解法，根据方程的解的定义利用整体代入思想求解．设，可得，从而可得答案．【详解】∵的解为，∴设，则的解为，解得．故答案为：．三、解答题13．（24-25七年级下·吉林长春·月考）如果是关于的方程的解，求的值．【答案】21【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值．熟练掌握一元一次方程的解，整体代入是解题的关键．由题意知，，整理得，，根据，代值求解即可．【详解】解：由题意知，，整理得，，∴．14．（24-25七年级下·湖南湘西·阶段练习）如果，为定值，关于的一次方程，无论为何值时，它的解总是．求的值．【答案】【分析】本题考查了一元一次方程的解，牢记“使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解”是解题的关键．将代入原方程，整理后可得出，结合原方程的解与值无关，可得到关于，的方程，解之得出，的值，再将其代入中，即可求出结论．【详解】解：将代入方程，得，，，，由题意可知：，，，，．15．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．(1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值；(2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；(3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解．【答案】(1)9(2)或(3)2024【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键．（1）先表示两个方程的解，再根据“美好方程”的定义求解即可；（2）根据条件可得“美好方程”的另一个解为，再由“美好方程”的两个解的差为8，建立关于n的方程，再求解；（3）求出方程的解为，再根据“美好方程”的定义，可得是方程的解，再把方程变形为，可得到，即