高三数学（理）一轮复习习题听课答案-第一单元-集合与常用逻辑用语

第一单元集合与常用逻辑用语1.编写意图高考对集合和常用逻辑用语的要求不高,集合主要是一种基本语言和数学表达工具,常用逻辑用语主要是数学学习和思维的工具.编写中注意到以下几个问题:(1)考虑到该部分在高考试题中的考查特点和难度,加强了对基础知识、基本方法的讲解和习题的训练力度,控制了选题的难度;(2)从近几年高考来看,涉及该部分内容的信息迁移题是高考的一个热点问题,因此适当加入了类似的题目;(3)考虑到该部分内容是第一轮初始阶段复习的知识,因此在选题时尽量避免选用综合性强、思维难度大的题目.2.教学建议高考对该部分内容的要求不高,教师在引导学生复习该部分时,切忌对各层次知识点随意拔高,习题一味求深、求广、求难.教学时,注意到如下几个问题:(1)集合主要是强调其工具性和应用性,解集合问题时要引导学生充分利用Venn图或数轴来帮助解题;(2)对“命题的逆命题、否命题与逆否命题”只要求做一般性了解,重点关注必要条件、充分条件、充要条件;(3)对逻辑联结词“或”“且”“非”的含义,只要求通过数学实例加以了解,帮助学生正确地表述相关的数学内容;(4)对于量词,重在理解它们的含义,不要追求它们的形式化定义,在复习中,应通过对具体实例的探究,加强学生对于含有一个量词的命题的否定的理解;(5)常用逻辑用语理论性强,重在引导学生提高逻辑思维能力和判断问题的能力,在使用常用逻辑用语的过程中,体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简洁性,避免对逻辑用语的机械记忆和抽象解释.3.课时安排本单元共3讲、一个小题必刷卷(一),每讲建议1课时完成,小题必刷卷(一)建议1课时讲评,本单元大约共需4课时.第1讲集合考试说明1.集合的含义与表示:(1)了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.集合间的基本关系:(1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;(2)在具体情境中,了解全集与空集的含义.3.集合的基本运算:(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;(3)能使用图示法表达集合间的基本关系及集合的基本运算.考情分析考点考查方向考例考查热度集合的概念求集合中元素的个数★☆☆集合间的基本关系集合间的包含关系、根据关系求参数等★☆☆集合的运算交、并、补运算,其中集合以不等式解集为主2017全国卷Ⅰ1,2017全国卷Ⅱ2,2017全国卷Ⅲ1,2016全国卷Ⅰ1,2016全国卷Ⅱ2,2016全国卷Ⅲ1,2015全国卷Ⅱ1,2014全国卷Ⅰ1,2014全国卷Ⅱ1★★★真题再现■[20172013]课标全国真题再现1.[2017·全国卷Ⅰ]已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则 ()A.A∩B={x|x<0} B.A∪B=RC.A∪B={x|x>1} D.A∩B=⌀[解析]A集合B={x|x<0},所以A∩B={x|x<0}.2.[2017·全国卷Ⅱ]设集合A={1,2,4},B={x|x24x+m=0}.若A∩B={1},则B= ()A.{1,3} B.{1,0}C.{1,3} D.{1,5}[解析]C因为A∩B={1},所以方程x24x+m=0有一个根为1,得m=3,此时方程为x24x+3=0,得方程的另一个根为3,故B={1,3}.3.[2017·全国卷Ⅲ]已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为()A.3 B.2C.1 D.0[解析]BA表示圆x2+y2=1上所有点的集合,B表示直线y=x上所有点的集合.∵直线y=x过圆心,∴直线与圆的交点有两个,故选B.4.[2016·全国卷Ⅱ]已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x2)<0,x∈Z},则A∪B= ()A.{1} B.{1,2}C.{0,1,2,3} D.{1,0,1,2,3}[解析]C∵B={x|(x+1)(x2)<0,x∈Z}={x|1<x<2,x∈Z},∴B={0,1},∴A∪B={0,1,2,3}.5.[2016·全国卷Ⅰ]设集合A={x|x24x+3<0},B={x|2x3>0},则A∩B= ()A.3,32 B.3,32C.1,32 D.32,3[解析]D集合A=(1,3),B=32,+∞,所以A∩B=32,3.6.[2016·全国卷Ⅲ]设集合S={x|(x2)(x3)≥0},T={x|x>0},则S∩T= ()A.[2,3] B.(∞,2]∪[3,+∞)C.[3,+∞) D.(0,2]∪[3,+∞)[解析]D∵S={x|x≥3或x≤2},∴S∩T={x|0<x≤2或x≥3}.7.[2015·全国卷Ⅱ]已知集合A={2,1,0,1,2},B={x|(x1)(x+2)<0},则A∩B= ()A.{1,0} B.{0,1}C.{1,0,1} D.{0,1,2}[解析]A因为B={x|2<x<1},所以A∩B={1,0},故选A.8.[2014·全国卷Ⅰ]已知集合A={x|x22x3≥0},B={x|2≤x<2},则A∩B= ()A.[2,1] B.[1,2)C.[1,1] D.[1,2)[解析]A集合A=(∞,1]∪[3,+∞),所以A∩B=[2,1].9.[2013·全国卷Ⅰ]已知集合A={x|x22x>0},B=x-5<x<5,则 A.A∩B=⌀ B.A∪B=RC.B⊆A D.A⊆B[解析]BA={x|x<0或x>2},故A∪B=R.■[20172016]其他省份类似高考真题1.[2017·浙江卷]已知P={x|1<x<1},Q={x|2<x<0},则P∪Q= ()A.(2,1) B.(1,0)C.(0,1) D.(2,1)[解析]A利用数轴可得P∪Q=(2,1),因此选A.2.[2017·北京卷]若集合A={x|2<x<1},B={x|x<1或x>3},则A∩B= ()A.{x|2<x<1} B.{x|2<x<3}C.{x|1<x<1} D.{x|1<x<3}[解析]A由-2<x<1,x<-1或x>3,得2<x<3.[2017·山东卷]设函数y=4-x2的定义域为A,函数y=ln(1x)的定义域为B,则A∩B=A.(1,2) B.(1,2]C.(2,1) D.[2,1)[解析]D由4x2≥0得2≤x≤2,所以A={x|2≤x≤2};由1x>0得x<1,所以B={x|x<1}.故A∩B={x|2≤x<1},故选D.【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)确定性互异性(2)∈∉(3)描述法图示法(4)NN*或N+ZQR2.任意一个元素B⊇A至少相同A=B不含3.且且A∩B或或A∪B不∉∁UA对点演练1.2[解析]∵A∩B={1,1,2},∴A∩B所含元素之和为2.2.4[解析]因为(A∪B)⊇B,A={a,b},所以满足条件的集合B可以是{c},{a,c},{b,c},{a,b,c},所以满足条件的集合B有4个.3.(∞,0)∪[1,+∞)[解析]因为∁UA={x|x>2或x<0},B={y|1≤y≤3},所以(∁UA)∪B=(∞,0)∪[1,+∞).4.1[解析]由题意可得1∈B,又a2+2≥2,故a=1,此时B={1,3},符合题意.5.0或3[解析]因为B⊆A,所以m=3或m=m,即m=3或m=0或m=1,根据集合元素的互异性可知,m≠1,所以m=0或3.6.(0,1)[解析]集合A为函数y=log2(x+1)的定义域,即A={x|x>1},集合B为函数y=12x,x>0的值域,即B={y|0<y<1},所以两个集合的交集为(0,17.0或1或1[解析]易得M={a}.∵M∩N=N,∴N⊆M,∴N=⌀或N=M,∴a=0或a=±1.8.2≤a≤4[解析]由|xa|<1得1<xa<1,∴a1<x<a+1,由A⫋B得a-1≥1,a+1<5,或a9.4[解析]由题意知A={1,2},B={1,2,3,4}.又A⊆C⊆B,则集合C可能为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}.【课堂考点探究】例1[思路点拨](1)用列举法表示出集合A,据x∈A确定集合B中元素;(2)因为9∈A,所以依据2a1=9或a2=9分类求解,但要注意元素的互异性.(1)C(2)3[解析](1)依题意有A={2,1,0,1,2},代入y=x2+1得到B={1,2,5},故B中有3个元素.(2)∵集合A,B中有唯一的公共元素9,∴9∈A.若2a1=9,即a=5,此时A={4,9,25},B={9,0,4},则集合A,B中有两个公共元素4,9,与已知矛盾,舍去.若a2=9,则a=±3,当a=3时,A={4,9,5},B={2,2,9},B中有两个元素均为2,与集合中元素的互异性矛盾,应舍去;当a=3时,A={4,7,9},B={9,8,4},符合题意.综上所述,a=3.变式题(1)A(2)C[解析](1)若x=1,则2x=3∉A,此时x=1;若x=0,则2x=2∈A,此时不符合要求;若x=2,则2x=0∈A,此时不符合要求.所以B={1}.(2)当k=0时,x=1,所以1∈A,所以A错误;令11=3k1,得k=103∉Z,所以11∉A,所以B错误;令34=3k1,得k=11,所以34∈A,所以D错误;因为k∈Z,所以k2∈Z,则3k21∈A,所以C正确例2[思路点拨](1)由于集合M,N中均含有参数,不妨对集合M中的参数n分奇数和偶数两种情况进行分析,从而发现集合M,N之间的关系;(2)化简集合B,依据AB,分别确定满足条件的a的各种情形,根据a的个数再确定子集的个数.(1)D(2)C[解析](1)由题意,对于集合M,当n为偶数时,设n=2k(k∈Z),则x=k+1(k∈Z),当n为奇数时,设n=2k+1(k∈Z),则x=k+1+12(k∈Z),∴N⊆M,故选D(2)B={x|x22x3≤0,x∈N}={x|1≤x≤3,x∈N}={0,1,2,3},当a分别取1,2,3时,所得集合A分别为{0},{0,1},{0,1,2},均满足AB,当a=4时,A={0,1,2,3},不满足AB,同理,当a≥5时均不满足AB.所以满足条件的正整数a所构成的集合为{1,2,3},其子集有8个.变式题(1)A(2)A[解析](1)由题意得集合A={x|x22x≤0}={x|0≤x≤2},要使得A⊆B,则a≥2,故选A.(2)如图所示,∵A∪B=B∩C,∴A⊆B⊆C.例3[思路点拨](1)由P∩Q={0}得出参数a,进而得出b,再求P∪Q;(2)集合A,B均为点集,A∩B表示求两线段的交点坐标所得的集合;(3)根据题意,集合A为函数y=lg(x1)的定义域,集合B为函数y=x2+2x+5的值域,求出B(1)C(2)C(3)D[解析](1)因为P∩Q={0},所以0∈P,即log2a=0,解得a=1,所以b=0,于是P={3,0},Q={1,0},所以P∪Q={3,0,1}.(2)由y=x+1,y=2x,解得x=1,y=2,满足0≤x(3)由题意得A={x|y=lg(x1)}=(1,+∞),B={y|y=x2+2x+5}=[2,+∞),则∁UB=(∞,2),故A∩(∁UB)=(1例4[思路点拨](1)分别求出集合A和B,根据A∩B有三个元素,求出实数m的取值范围;(2)根据补集和交集的定义,结合空集的定义,即可得出p满足的条件.(1)C(2)B[解析](1)集合A={x∈Z|x24x5<0}={0,1,2,3,4},B={x|4x>2m}=xx>m2,∵A∩B有三个元素,∴1≤m2<2,解得2≤m<4,∴实数m的取值范围是[2,4).(2)∵全集U=R,集合A={x|x>1},集合B={x|x>p},∴∁UA={x|x≤1},又(∁UA)∩B=⌀,∴p≥1.例5[思路点拨]从新定义可知,集合PQ是由属于P而不属于Q的元素组成的,也可理解为P∩(∁RQ).B[解析]由log2x<1,得0<x<2,所以P={x|0<x<2};由|x2|<1,得1<x<3,所以Q={x|1<x<3}.由题意,得PQ={x|0<x≤1}.强化演练1.D[解析]阴影部分对应的集合为∁U(A∪B),由题意可知A={x|1<x<3},B={x|x≥1},所以∁U(A∪B)={x|x≤1}.2.D[解析]由A中x∈N,x<3,得到A={0,1,2}.当a=0,b=1时,x=01=1;当a=0,b=2时,x=02=2;当a=1,b=0时,x=10=1;当a=1,b=2时,x=12=1;当a=2,b=0时,x=20=2;当a=2,b=1时,x=21=1;当a=b时,x=0.故B={1,2,1,2,0},则A∩B={0,1,2}.3.C[解析]∵集合A={1,1,2},B={a+1,a22},A∩B={1,2},∴a+1=-1,a2-2=2或4.C[解析]由题意,集合A={x|x<a},B={x|x23x+2<0}={x|1<x<2},∵A∩B=B,∴B⊆A,则a≥2.∴实数a的取值范围为a≥2.5.B[解析]对于A,由于3×4与43均不属于数集{1,3,4},故A不正确;对于B,选1,2时,有1×2属于{1,2,3,6},同理取1,3,取1,6,取2,3时也满足,取2,6时,有62属于{1,2,3,6},取3,6时,有63属于{1,2,3,6},所以B正确;由“权集”定义知1≤a1<a2<…<an且ajai需要有意义,故不能有0,故C不正确;如集合{2,4},符合“权集”定义,但不含【备选理由】例1考查元素与集合的关系,要依据集合确定所选的元素;例2考查集合间的基本关系及元素的互异性;例3为集合类新定义试题.1[配合例1使用][2017·聊城三模]已知集合A={x|x2+x6>0},集合B={x|1<x<3},若a∈(A∪B),则a可以是 ()A.3 B.2C.1 D.3[解析]D∵集合A={x|x2+x6>0}={x|x<3或x>2},集合B={x|1<x<3},∴A∪B={x<3或x>1}.∵a∈(A∪B),∴a可以是3.2[配合例2使用][2017·洛阳模拟]已知集合A={1,1,3},B={1,a22a},且B⊆A,则实数a不同取值的个数为 ()A.2 B.3C.4 D.5[解析]B因为B⊆A,所以a22a=1或a22a=3,解得a=1或a=1或a=3,所以实数a不同取值的个数为3,故选B.3[配合例5使用][2017·成都三模]设S,T是R的两个非空子集,如果存在一个从S到T的函数y=f(x)满足:(1)T={f(x)|x∈S};(2)对任意x1,x2∈S,当x1<x2时,恒有f(x1)<f(x2),那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是 ()A.A=N*,B=NB.A={x|1≤x≤3},B={x|x=8或0<x≤10}C.A={x|0<x<1},B=RD.A=Z,B=Q[解析]D由条件(1)知S为函数y=f(x)的定义域,T为函数的值域,由条件(2)知函数y=f(x)为增函数.对于A,可构造函数y=x1,x∈N*,y∈N,满足条件;对于B,构造函数y=-8(x=-1),52(x+1)(-1<x≤3),满足条件;对于C,构造函数y=tanπxπ2,x∈(0,第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件考试说明1.理解命题的概念;2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系;3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.考情分析考点考查方向考例考查热度四种命题及其关系命题的四种形式及其真假判断★☆☆充要条件的判断判断甲是乙的何种条件★☆☆充要条件的证明充分条件、必要条件的证明★☆☆真题再现■[20172013]课标全国真题再现■[20172016]其他省份类似高考真题1.[2017·北京卷]设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的 ()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件[解析]A若存在负数λ,使得m=λn,则m·n=λn·n=λn2<0成立,所以为充分条件;当“m·n<0”时,m与n不一定共线,所以“存在负数λ,使得m=λn”不一定成立,所以为不必要条件.综上可知,“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件,故选A.2.[2017·天津卷]设θ∈R,则“θπ12<π12”是“sinθ<12”的 (A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[解析]A当θπ12<π12时,可解得0<θ<π6,即0<sinθ<12,故充分性成立;由sinθ<12可取θ=0,但此时不满足条件θπ12<π12,故必要性不成立.3.[2017·浙江卷]已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件[解析]C由题意,得Sn=na1+n(n-1)2d,则S4+S62S5=(4a1+6d)+(6a1+15d)2(5a1+10d)=d.因此当d>0时,S4+S62S5>0,则S4+S6>2S5;当S4+S6>2S5时,S4+S62S5>0,则d>0.所以“d>0”是“S4+S6>2S4.[2016·天津卷]设{an}是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<0”是“对任意的正整数n,a2n1+a2n<0”的 ()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件[解析]C设数列的首项为a1,则a2n1+a2n=a1q2n2(1+q)<0,即q<1,故选C.【课前双基巩固】知识聚焦1.真假判断为真判断为假2.(1)充分(2)必要(3)充要对点演练1.④[解析]①是疑问句,不是命题;②是祈使句,不是命题;③不能判断真假,不是命题;④是命题.2.0[解析]①为假命题,集合N中最小的数是0;②为假命题,如a=12不满足;③为假命题,如a=0,b=1,a+b=1,比2小;④为假命题,所给集合中的元素不满足互异性3.若整数a不是奇数,则a能被2整除[解析]以原命题结论的否定作条件,原命题条件的否定作结论得出逆否命题.4.充分不必要[解析]由a=3,可得M⊆N;反之由M⊆N可得a≤3.所以“a=3”是“M⊆N”的充分不必要条件.5.若a≠0或b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0[解析]“若p,则q”的逆否命题为“若q,则p”,又a=b=0的实质为a=0且b=0,故其否定为a≠0或b≠0.6.∀a,b∈R,若ab≤0,则a≤0[解析]∀a,b∈R是大前提,在否命题中不变,又因为ab>0,a>0的否定分别为ab≤0,a≤0,所以原命题的否命题为“∀a,b∈R,若ab≤0,则a≤0”.7.[3,0][解析]由已知可得ax22ax3≤0恒成立.当a=0时,3≤0恒成立;当a≠0时,得a<0,Δ=4a故3≤a≤0.8.充分不必要[解析]依题意有p⇒r,r⇒s,s⇒q,∴p⇒r⇒s⇒q.又∵r⇒/p,∴q⇒/p.故p是q的充分不必要条件.【课堂考点探究】例1[思路点拨](1)根据原命题、逆命题、否命题、逆否命题之间的关系进行判断;(2)对于①②,按照要求写出相应的逆命题、否命题,再判断真假,对于③,可以直接利用原命题与逆否命题的等价性判断原命题的真假,对于④⑤直接判断.(1)A(2)①③[解析](1)逆命题是互换原命题的条件与结论,否命题是把原命题的条件和结论都否定,逆否命题是把原命题中的条件和结论先否定,再互换得到.故①正确,②错误,③正确.(2)①命题“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,显然①为真命题;②否命题为“不全等三角形的面积不相等”,但不全等的三角形的面积也可能相等,故②为假命题;③原命题为真,所以它的逆否命题也为真,故③为真命题;④若ab是正整数,则a,b不一定都是正整数,例如a=1,b=3,故④为假命题;⑤构造函数f(x)=x,g(x)=x,则f(x)g(x)=2x,显然f(x)g(x)单调递增,故⑤为假命题.变式题(1)D(2)B[解析](1)把原命题结论的否定作为条件,原命题条件的否定作为结论构成逆否命题,即“若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列”.(2)因为原命题“若x>1,则2x<3x”为真命题,所以其逆否命题也为真命题;由于它的逆命题“若2x<3x,则x>1”为假命题,所以其否命题也是假命题.故选B.例2[思路点拨](1)根据向量数量积的性质和充分必要条件的概念判断;(2)先求出两个不等式的解集,再判断这两个集合的包含关系.(1)A(2)A[解析](1)若存在负数λ,使得m=λn,则m·n=λn·n=λn2<0成立,所以为充分条件;当“m·n<0”时,m与n不一定共线,所以“存在负数λ,使得m=λn”不一定成立,所以为不必要条件.综上可知,“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件,故选A.(2)当θπ12<π12时,可解得0<θ<π6,即0<sinθ<12,故充分性成立;由sinθ<12可取θ=0,但此时不满足条件θπ12<π12,故必要性不成立.变式题(1)B(2)B[解析](1)取x=0.5,y=1.2,满足1<xy<1,但不满足[x]=[y],故“1<xy<1”不能推出“[x]=[y]”.反之,若[x]=[y],则有1<xy<1,故为必要不充分条件.(2)由12x<1知x>0,所以p对应的集合为(0,+∞),由log2x<0知0<x<1,所以q对应的集合为(0,1),显然(0,1)(0,+∞),所以p是q的必要不充分条件例3[思路点拨](1)利用必要不充分条件得出两个不等式的解集的包含关系,再根据包含关系可求出m的取值范围;(2)先化简条件p,将“q的一个充分不必要条件是p”转化为“p是q的必要不充分条件”,再用集合法求解.(1)A(2)C[解析](1)依题意,可得(1,4)(2m23,+∞),所以2m23≤1,解得1≤m≤1.(2)由4x-1≤1,解得3≤x<1;由x2+x<a2a,得x2+xa2+a<0.由q的一个充分不必要条件是p,可知p是q的必要不充分条件,即条件q对应的x取值集合是条件p对应的x取值集合的真子集.设f(x)=x2+xa2+a,其大致图像如图,则f(-3)=-a2+a+6≥0,变式题(1)B(2)C[解析](1)“a>b”不能推出“a1>b”,故选项A不是“a>b”的必要条件,不满足题意;“a>b”能推出“a+1>b”,但“a+1>b”不能推出“a>b”,故满足题意;“a>b”不能推出“|a|>|b|”,故选项C不是“a>b”的必要条件,不满足题意;“a>b”能推出“a3>b3”,且“a3>b3”能推出“a>b”,故是充要条件,不满足题意.故选B.(2)直线xyk=0与圆(x1)2+y2=2有两个不同交点等价于|1-0-k|2<2,解得k∈(1,3).四个选项中只有(0,3)是(1,3)的真子集【备选理由】例1旨在加深学生对四种命题的认识;例2强化了充分、必要条件的判断方法和对不等式性质的理解与应用;例3与分段函数结合考查充分、必要条件的判断.1[配合例1使用]命题“若a2<b,则b<a<b”的逆否命题为 ()A.若a2≥b,则a≥b或a≤bB.若a2>b,则a>b或a<bC.若a≥b或a≤b,则a2≥bD.若a>b或a<b,则a2>b[解析]C由于b<a<b的否定是a≥b或a≤b,a2<b的否定是a2≥b,所以命题“若a2<b,则b<a<b”的逆否命题为“若a≥b或a≤b,则a2≥b”.2[配合例2使用]设a,b∈R,则“a-ba2<0”是“a<b”的 (A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[解析]A若(ab)a2<0,则一定有ab<0,即a<b;反之,若a<b,a=0,则(ab)a2=0.故“(ab)a2<0”是“a<b”的充分不必要条件.3[配合例2使用][2017·九江二模]已知函数f(x)=ex,x≥-1,ln(-x),x<-1,A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件[解析]B若x=0,则f(x)=1;若f(x)=1,则x≥-1,ex=1或x<-1,ln(-x)=1,解得x=0或x=第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考试说明1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义;2.理解全称量词与存在量词的意义;3.能正确地对含一个量词的命题进行否定.考情分析考点考查方向考例考查热度逻辑联结词含逻辑联结词的命题的真假判断★☆☆全称命题和特称命题全称命题、特称命题的真假判断2014全国卷Ⅰ9★★☆命题的否定含一个量词的命题的否定2015全国卷Ⅰ3★★☆真题再现■[20172013]课标全国真题再现[2015·全国卷Ⅰ]设命题p:∃n∈N,n2>2n,则p为 ()A.∀n∈N,n2>2n B.∃n∈N,n2≤2nC.∀n∈N,n2≤2n D.∃n∈N,n2=2n[解析]C特称命题的否定是全称命题,故选C.■[20172016]其他省份类似高考真题1.[2017·山东卷]已知命题p:∀x>0,ln(x+1)>0;命题q:若a>b,则a2>b2.下列命题为真命题的是 ()A.p∧q B.p∧qC.p∧q D.p∧q[解析]B因为x>0时,x+1>1,所以ln(x+1)>0,所以p为真命题.若a>b,可取a=1,b=2,此时a2<b2,所以q为假命题,所以q为真命题,所以p∧q为真命题,故选B.2.[2016·浙江卷]命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是 ()A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n<x2B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n<x2D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n<x2[解析]D由全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题得,命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是“∃x∈R,∀n∈N*,使得n<x2”.【课前双基巩固】知识聚焦1.“且”“或”“非”∧∨2.(1)全称量词∀(2)存在量词∃(3)∃x0∈M,p(x0)∀x∈M,q(x)对点演练1.③[解析]①不是由逻辑联结词连接形成的命题;②是由“且”连接而成的“p且q”形式的命题;③是“p或q”形式的命题.2.真[解析]因为q是真命题,所以q是假命题,又p∨q是真命题,所以p是真命题.3.∀x∈R,x2+x1≥0[解析]利用特称命题的否定是全称命题求解.4.所有的四边形都不是平行四边形[解析]该命题为特称命题,即“存在四边形是平行四边形”,所以其否定是“所有的四边形都不是平行四边形”.5.存在一个奇数,它的立方不是奇数[解析]利用全称命题的否定是特称命题求解.6.④[解析]显然命题p为真命题,命题q为假命题,从而只有p∨q为真命题.7.若ab≠0,则a≠0且b≠08.(∞,4][解析]∵命题“∀x∈R,ax2+4x+1>0”是假命题,∴命题“∃x0∈R,ax02+4x0+1≤0”是真命题,∴a≤0或a>0,Δ=16-4a≥0,解得【课堂考点探究】例1[思路点拨](1)对于命题p和命题q,写出对应的p和q,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示;(2)首先判断p,q的真假,再根据真值表进行分析判断.(1)A(2)C[解析](1)命题p是“甲降落在指定范围”,则p是“甲没降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则q是“乙没降落在指定范围”,命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围,乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围,乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围,乙没降落在指定范围”.所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为p∨q.故选A.(2)若在边长为1的正方形ABCD内任取一点M,则|MA|≤1的概率为14×π×1212=π4,故命题p为真命题.因为f(x)在区间1,32上是减函数,所以f(x)min=f32=32+83≠4,故命题q为假命题变式题(1)C(2)C[解析](1)函数f(x)不是偶函数,仍然可∃x0∈R,f(x0)=f(x0),则p为假;f(x)=x|x|=x2(x≥0),-x2(x<0),在R(2)p是真命题,q是假命题,p是假命题,∴真命题是②③.例2[思路点拨](1)利用全称命题的否定是特称命题求解;(2)根据命题所涉及的具体知识,直接判断命题的真假.(1)D(2)B[解析](1)命题p:对任意的x∈R,都有x3x2+1<0的否定为p:存在x0∈R,使得x03x02+1≥0.(2)当α=0,β=π2时,sin(α+β)=sinα+sinβ,A为真命题;当φ=π2时,函数f(x)=sin2x+π2=cos2x是偶函数,B为假命题;对于三次函数y=x3+ax2+bx+c,当x→∞时,y→∞,当x→+∞时,y→+∞,又该函数的图像在R上连续不断,故∃x0∈R,x03+ax02+bx0+c=0,C为真命题;当f(x)=0时,(lnx)2+lnxa=0,则有a=(lnx)2+lnx=lnx+12214≥14,所以∀a>0,函数f(x)=(lnx)2+lnxa有零点,变式题C[解析]f'(x)=ex1,由f'(x)>0得x>0,由f'(x)<0得x<0,故当x=0时,函数f(x)取得极小值,同时也是最小值,f(0)=e00=10=1>0,∴∀x∈R,f(x)>0成立,即p是真命题.g(x)=lnx+x+1在(0,+∞)上为增函数,当x→0时,g(x)<0,g(1)=0+1+1=2>0,则∃x0∈(0,+∞),g(x0)=0成立,即命题q是真命题.p:∃x0∈R,f(x0)≤0,q:∀x∈(0,+∞),g(x)≠0.综上,只有选项C正确.例3[思路点拨](1)由命题p为真命题,知存在x0∈1,52使对数式的真数大于0成立,然后采用分离变量的办法把t分离出来,求出分