高一数学（人教A版）教学课件 必修一 5-1-1 任意角

第五章三角函数5.1.1任意角——(教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)课时目标1．了解任意角的概念，能区分正角、负角与零角．了解象限角的概念，理解并掌握终边相同的角的概念．2．能写出终边相同的角所组成的集合．利用象限角和终边相同的角的概念解决简单的问题．CONTENTS目录123逐点清(一)任意角逐点清(二)象限角逐点清(三)终边相同的角4逐点清(四)终边相同角的应用5课时跟踪检测逐点清(一)任意角01多维理解1．角的定义

角的概念角可以看成一条_____绕着它的端点_____所成的_____角的表示①始边：射线的起始位置OA.②终边：射线的终止位置OB.

③顶点：射线的端点O.

④记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”射线旋转图形2．角的分类名称定义图示正角一条射线绕其端点按_______方向旋转形成的角负角一条射线绕其端点按________方向旋转形成的角零角一条射线______做任何旋转形成的角逆时针顺时针没有3．角的运算设α，β是任意两个角，_____为角α的相反角．(1)α＋β：把角α的______旋转角β.(2)α－β：α－β＝__________．－α终边α＋(－β)1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)小于90°的角都是锐角．

(

)(2)终边与始边重合的角为零角．

(

)(3)大于90°的角都是钝角．

(

)(4)相等的角终边相同．

(

)微点练明××××√2.如图是清代的时辰醒钟，此醒钟直径12.5厘米，厚7.5厘米，由清朝宫廷钟表处制造，以中国传统的一日十二个时辰为表盘显示，其内部结构与普通机械钟表的内部结构相似．则丑时与午时的夹角是(

)A．120° B．135°C．150° D．165°√3．经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是(

)A．60°，720° B．－60°，－720°C．－30°，－360° D．－60°，720°4.如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝________.－40°解析：因为∠AOC＝60°＋(－820°)＝－760°，所以β＝－(760°－720°)＝－40°.逐点清(二)象限角02把角放在直角坐标系中，使角的顶点与______重合，角的始边与______轴的非负半轴重合．那么，角的______在第几象限，就说这个角是第几_________．如果角的终边在__________，那么就认为这个角不属于任何一个象限．多维理解原点终边象限角坐标轴上x|微|点|助|解|(1)锐角是第一象限角，钝角是第二象限角，直角的终边在坐标轴上，它不属于任何一个象限；正确区分锐角、0°～90°的角、小于90°的角、第一象限角．锐角是0°<α<90°的角；0°～90°的角是0°≤α<90°的角；小于90°的角是α<90°的角(包括零角、负角)．(2)每一个象限都有正角和负角．1．(多选)下列各角是第二象限角的是(

)A．160°B．480°C．－960°D．1530°解析：160°很显然是第二象限角；480°＝120°＋360°是第二象限角；－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；1530°＝4×360°＋90°不是第二象限角．微点练明√√√2．90°是(

)A．第一象限角 B．第二象限角C．第一或第二象限角 D．不属于任何象限解析：因为90°角的终边落在y轴的非负半轴上，所以90°角不属于任何象限．√3．下列叙述正确的是(

)A．三角形的内角是第一或第二象限角B．钝角是第二象限角C．第二象限角比第一象限角大D．小于180°的角是钝角、直角或锐角√解析：直角不属于任何一个象限，故A不正确；钝角是大于90°小于180°的角，是第二象限角，故B正确；由于120°是第二象限角，390°是第一象限角，120°<390°，故C不正确；由于零角和负角也小于180°，故D不正确．逐点清(三)终边相同的角03多维理解1．终边相同角的概念所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝___________________________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}|微|点|助|解|(1)角α为任意角，“k∈Z”不能省略．k有三层含义：①特殊性：对k每赋一个整数值就有一个具体对应的角．②一般性：表示所有与角α终边相同的角(包括α自身)．③从几何意义上看，k表示角的终边按一定的方向转动的圈数．k取正整数时，逆时针转动；k取负整数时，顺时针转动；k＝0时，没有转动．(2)k·360°与α中间要用“＋”连接，k·360°－α可理解成k·360°＋(－α)．(3)当角的始边相同时：相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等；终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍；终边不同则表示的角一定不同．2．象限角与轴线角的集合表示(1)象限角象限角集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z}(2)轴线角角的终边的位置集合表示终边落在x轴的非负半轴上{α|α＝k·360°，k∈Z}终边落在x轴的非正半轴上{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}终边落在y轴的非负半轴上{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}终边落在y轴的非正半轴上{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}终边落在y轴上{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}终边落在x轴上{α|α＝k·180°，k∈Z}终边落在坐标轴上{α|α＝k·90°，k∈Z}微点练明1．将－885°化为α＋k·360°(0≤α<360°，k∈Z)的形式是(

)A．－165°＋(－2)·360°B．195°＋(－3)·360°C．195°＋(－2)·360°D．－195°＋(－3)·360°解析：∵－885°＋1080°＝195°，∴－885°＝195°＋(－1080°)＝195°＋(－3)·360°.√2．(多选)在－360°～360°范围内，与－410°角终边相同的角是(

)A．－50° B．－40°C．310° D．320°解析：因为－50°＝－410°＋360°，310°＝－410°＋2×360°，所以与－410°角终边相同的角是－50°和310°.√√√3．若角α，β的终边相同，则α－β的终边落在(

)A．x轴的非负半轴上 B．x轴的非正半轴上C．x轴上

D．y轴的非负半轴上解析：因为角α，β的终边相同，故α－β＝k·360°，k∈Z.所以α－β的终边落在x轴的非负半轴上．4．已知－990°＜α＜－630°，且α与120°角的终边相同，则α＝__________.解析：因为α与120°角终边相同，所以α＝k·360°＋120°，k∈Z.又－990°＜k·360°＋120°＜－630°，即－1110°＜k·360°＜－750°，故取k＝－3，则α＝－3×360°＋120°＝－960°.－960°逐点清(四)

终边相同角的应用04[例1]

如图，终边落在阴影部分的角的集合是

(

)A．{α|－45°≤α≤120°}B．{α|120°≤α≤315°}C．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}D．{α|k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z}√解析：阴影部分的角从－45°到90°＋30°＝120°，再加上360°的整数倍，即k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z.√2．表示区域角的三个步骤(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°.(3)起始、终止边界对应的角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合．针对训练√解析：令k＝0，得45°≤α≤90°.则B选项中的阴影部分区域符合题意．√√课时跟踪检测05134567891011121314152√1．下列说法正确的是(

)A．最大的角是180° B．最大的角是360°C．角不可以是负的 D．角可以是任意大小16156789101112131415234√2．将－880°化为α＋k×360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是

(

)A．160°＋(－3)×360° B．200°＋(－2)×360°C．160°＋(－2)×360° D．200°＋(－3)×360°解析：－880°＝200°＋(－3)×360°.16156789101112131415342√3．“α是锐角”是“α是第一象限角”的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：因为“α是锐角”能推出“α是第一象限角”，但是反之不成立，例如400°是第一象限角，但不是锐角，所以“α是锐角”是“α是第一象限角”的充分不必要条件．16156789101112131415342√4.已知角α在直角坐标系中，如图所示，其中射线OA与y轴正半轴的夹角为30°，则α的值为(

)A．－480°

B．－240°C．150° D．480°解析：由角α的终边绕原点O按逆时针方向旋转，可知α为正角.又旋转量为480°，∴α＝480°.16156789101112131415342√5．下面各组角中，终边相同的是(

)A．390°，690° B．－330°，750°C．480°，－420° D．3000°，－840°解析：因为－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，所以－330°与750°终边相同．16156789101112131415342√6．在0°≤α＜360°中，与－510°角的终边相同的角为(

)A．150° B．210°C．30° D．330°解析：与－510°角终边相同的角可表示为β＝－510°＋k·360°，k∈Z.当k＝2时，β＝210°.16156789101112131415342√7．(多选)角α＝45°＋k·180°(k∈Z)的终边可能落在(

)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：当k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角．故α的终边在第一或第三象限．√16156789101112131415342√8．若α为第二象限角，则k·180°＋α(k∈Z)的终边所在的象限是

(

)A．第二象限 B．第一或第二象限C．第一或第三象限 D．第二或第四象限16156789101112131415342解析：因为α为第二象限角，则2n·180°＋90°<α<2n·180°＋180°，n∈Z，因此(2n＋k)·180°＋90°<k·180°＋α<(2n＋k)·180°＋180°，n，k∈Z，而2n为偶数，当k为奇数时，2n＋k为奇数，则k·180°＋α(k∈Z)为第四象限角，当k为偶数时，2n＋k为偶数，则k·180°＋α(k∈Z)为第二象限角，所以k·180°＋α(k∈Z)的终边所在的象限是第二或第四象限．16156789101112131415342√A．第一象限

B．第二象限C．第三象限

D．第四象限√161567891011121314153421615678910111213141534210．如果角α与角x＋45°具有相同的终边，角β与角x－45°具有相同的终边，那么α与β之间的关系是(

)A．α＋β＝0°B．α－β＝90°C．α＋β＝k·360°(k∈Z)D．α－β＝k·360°＋90°(k∈Z)√16156789101112131415342解析：利用终边相同的角的关系，得α＝n·360°＋x＋45°(n∈Z)，β＝m·360°＋x－45°(m∈Z)．则α＋β＝(m＋n)·360°＋2x(n∈Z，m∈Z)，与x有关，故A、C错误．因为α－β＝(n－m)·360°＋90°(n∈Z，m∈Z)，又m，n是整数，所以n－m也是整数，用k(k∈Z)表示，所以α－β＝k·360°＋90°(k∈Z)．故B错误，D正确．1615678910111213141534211．若α＝2024°，则与α有相同终边的最小正角β＝________.解析：因为2024°＝360°×5＋224°，所以与2024°终边相同的最小正角是224°.224°1615678910111213141534212．在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为_______________．120°，300°1615678910111213141534213.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是__________________________________________.{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}16156789101112131415342解析：观察题图可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}．1615678910111213141534214．(10分)若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边与终边，求角α的值．解：∵角5α与α具有相同的始边与终边，∴5α＝k·360°＋α，k∈Z，得4α＝k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z，又180°<α<360°，∴180°<k·90°<360°，解得2<k<4，又k∈Z，∴k＝3.∴当