江苏省连云港市2024-2025学年高二上学期期末调研考试数学试卷（含答案）

江苏省连云港市2024-2025学年高二上学期期末调研考试数学试题一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．抛物线的焦点坐标是（

）A． B． C． D．3．过点且与直线垂直的直线的方程为（

）A． B．C． D．4．已知，且与的夹角为，则（

）A．1 B． C． D．25．已知正方形，则以为焦点，且过两点的双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．6．函数的极小值为（

）A． B． C．15 D．177．已知点到两个定点的距离之比为2，则满足的关系式为（

）A． B．C． D．8．若数列的前项和，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似为，其中为蜥蜴的体温（单位：），为太阳落山后的时间（单位）.则（

）A．从到，蜥蜴体温下降了B．从到，蜥蜴体温的平均变化率为C．当时，蜥蜴体温的瞬时变化率是D．蜥蜴体温的瞬时变化率为时的时刻10．已知双曲线的方程为，则（

）A．的渐近线方程为B．的焦点到其渐近线的距离为C．若直线与没有公共点，则或D．若直线与仅有一个公共点，则11．公差为的等差数列的前（为奇数）项的和为99，其中偶数项之和为44，且，则（

）A． B．C． D．三、填空题12．在复平面内，复数的模为.13．已知数列中，，则.14．若方程有且仅有一个实数根，则的取值范围为.四、解答题15．在中，为边上一点，.(1)求；(2)求的面积.16．设数列满足递推关系：，且.(1)设，证明：数列是等比数列；(2)求数列的前项和.17．如图，在半径为4，圆心角为变量的扇形内作一内切圆，再在扇形内作一个与扇形两半径相切并与圆外切的小圆，设圆的半径为.

(1)求关于的函数关系式；(2)求的最大值.18．已知离心率为的椭圆的左，右焦点分别为，点在椭圆上，且的周长为.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的左，右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（不同于左，右顶点），记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值.19．已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若有两个零点，且，证明：.

参考答案1．D【详解】,故选：D2．A【详解】对于抛物线，，则，所以，抛物线的焦点坐标为.故选：A.3．A【详解】根据题意，设所求直线的方程为，将点的坐标代入所求直线方程得，解得，因此，过点且与直线垂直的直线的方程为.故选：A.4．C【详解】.故选：C.5．A【详解】如图：设,，由于在双曲线上，故故，化简可得，由于，故，故，故选：A

6．B【详解】由函数，求导得,令,得,当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增;所以是极小值点,所以函数的极小值为.故选：B7．C【详解】由得，整理得.故选：C.8．B【详解】因为数列的前项和，当时，，当时，，也满足，所以，对任意的，，所以，，，故选：B.9．ABC【详解】对于A，当时，，当时，,所以从到，蜥蜴的体温下降了，故A正确；对于B，从到，蜥蜴体温的平均变化率为，故B正确；对于C，，当时，，所以当时，蜥蜴体温的瞬时变化率为，故C正确；对于D，令，解得，故D错误.故选：ABC.10．AC【详解】对于A，因为双曲线的方程为，其渐近线方程为，即，故A正确；对于B，由双曲线的对称性，不妨取右焦点，一条渐近线，即，则焦点到渐近线的距离，故B错误；对于C，联立消去得，，若直线与没有公共点，则，解得或，故C正确；对于D，当直线与双曲线相切时，方程只有一个实数根，，且，解得，当直线与双曲线渐近线平行时，，即时，直线与双曲线有且只有一个交点，综上可知，若直线与仅有一个公共点，则或，故D错误.故选：AC11．AC【详解】∵等差数列的前（为奇数）项的和为99，∴，①∵其中偶数项之和为44，由题意可得偶数项共有项，公差等于，，②∵，∴，③由①②③，解得，故选项AC正确；故．∴，故BD错误．故选：AC12．【详解】的模为，故答案为：13．【详解】，，，即，.故答案为：.14．【详解】根据题意，方程，即，画出函数和的图象，当时，显然只有一个交点，如图，当时，设切点为，，则，解得，所以当时，函数和相切时只有一个交点，如图，综上所述，当时，方程有且仅有一个实数根.故答案为：15．(1)7；(2).【详解】（1）法一：在中，由正弦定理得，则，在中，由余弦定理得；法二：过点作的垂线，垂足为，在中，则，在中，则，所以在中，.（2）由（1）可得，.16．(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为，而，所以，又因为所以，则，由以上可得，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）知，，所以即，则数列的前项和，所以.17．(1)(2)【详解】（1）圆的半径为，设圆的半径为，圆切于，圆切于，在中，，故.在中同理可得，，

；（2）令，由，则，则，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，所以当，即时，取得最大值，最大值为.18．(1)(2)证明见解析【详解】（1）设椭圆的方程，由题意可知，解之得，所以椭圆的方程为.（2）由题意知直线的斜率不为0，设直线的方程为，联立方程组，得①②得，，所以