扬州市七年级数学下册相期末压轴题易错题试卷及答案

一、解答题1．如图，点A(1，n)，B(n，1)，我们定义：将点A向下平移1个单位，再向右平移1个单位，同时点B向上平移1个单位，再向左平移1个单位称为一次操作，此时平移后的两点记为A1，B1，t次操作后两点记为At，Bt．（1）直接写出A1，B1，At，Bt的坐标（用含n、t的式子表示）；（2）以下判断正确的是．A．经过n次操作，点A，点B位置互换B．经过（n﹣1）次操作，点A，点B位置互换C．经过2n次操作，点A，点B位置互换D．不管几次操作，点A，点B位置都不可能互换（3）t为何值时，At，B两点位置距离最近？解析：（1）A1(2，n﹣1)，B1(n﹣1，2)，At(1+t，n﹣t)，Bt(n﹣t，1+t)；（2）B；（3）t＝或t＝或t＝【分析】（1）根据点在平面直角坐标系中的平移规律求解可得答案；（2）由1+t＝n时t＝n﹣1，知n﹣t＝n﹣（n﹣1）＝1，据此可得答案；（3）分n为奇数和偶数两种情况，得出对应的方程，解之可得n关于t的式子．【详解】解：（1）A1（2，n﹣1），B1（n﹣1，2），At（1+t，n﹣t），Bt（n﹣t，1+t）；（2）当1+t＝n时，t＝n﹣1．此时n﹣t＝n﹣（n﹣1）＝1，故选：B；（3）当n为奇数时：1+t＝n﹣t解得t＝，当n为偶数时：1+t＝n﹣t+1解得t＝，或1+t＝n﹣t﹣1解得t＝．【点睛】本题主要考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是掌握点在平面直角坐标系中的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．2．如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，边长为2的正方形ABCD（点D与点O重合）和边长为4的正方形EFGH的边CO和GH都在x轴上，且点H坐标为（7，0）．正方形ABCD以3个单位长度/秒的速度沿着x轴向右运动，记正方形ABCD和正方形EFGH重叠部分的面积为S，假设运动时间为t秒，且t＜4．（1）点F的坐标为；（2）如图2，正方形ABCD向右运动的同时，动点P在线段FE上，以1个单位长度/秒的速度从F到E运动．连接AP，AE．①求t为何值时，AP所在直线垂直于x轴；②求t为何值时，S＝S△APE．解析：（1）（3，4）；（2）①t=时，AP所在直线垂直于x轴；②当t为或时，S＝S△APE．【分析】（1）根据直角坐标系得出点F的坐标即可；（2）①根据AP所在直线垂直于x轴，得出关于t的方程，解答即可；②分和两种情况，利用面积公式列出方程即可求解．【详解】（1）由直角坐标系可得：F坐标为：（3，4）；故答案为：（3，4）；（2）①要使AP所在直线垂直于x轴．如图1，只需要Px＝Ax，则t+3＝3t，解得：，所以即时，AP所在直线垂直于x轴；②由题意知，OH＝7，所以当时，点D与点H重合，所以要分以下两种情况讨论：情况一：当时，GD＝3t﹣3，PF＝t，PE＝4﹣t，∵S＝S△APE，∴BC×GD＝，即：2×（3t﹣3）＝，解得：；情况二：当时，如图2，HD＝3t﹣7，PF＝t，PE＝4﹣t，∵S＝S△APE，∴BC×CH＝，即：2×[2﹣（3t﹣7）]＝，解得：，综上所述，当t为或时，S＝S△APE．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的移动，一元一次方程的应用等问题，理解题意，分类讨论是解题关键．3．如图，A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（﹣3，0），D为x轴上的一个动点且不与B，O重合，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得线段AE，使得AE⊥AD，且AE＝AD，连接BE交y轴于点M．（1）如图，当点D在线段OB的延长线上时，①若D点的坐标为（﹣5，0），求点E的坐标．②求证：M为BE的中点．③探究：若在点D运动的过程中，的值是否是定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．（2）请直接写出三条线段AO，DO，AM之间的数量关系（不需要说明理由）．解析：（1）①E（3，﹣2）②见解析；③，理由见解析；（2）OD+OA＝2AM或OA﹣OD＝2AM【分析】（1）①过点E作EH⊥y轴于H．证明△DOA≌△AHE（AAS）可得结论．②证明△BOM≌△EHM（AAS）可得结论．③是定值，证明△BOM≌△EHM可得结论．（2）根据点D在点B左侧和右侧分类讨论，分别画出对应的图形，根据全等三角形的判定及性质即可分别求出结论．【详解】解：（1）①过点E作EH⊥y轴于H．∵A（0，3），B（﹣3，0），D（﹣5，0），∴OA＝OB＝3，OD＝5，∵∠AOD＝∠AHE＝∠DAE＝90°，∴∠DAO+∠EAH＝90°，∠EAH+∠AEH＝90°，∴∠DAO＝∠AEH，∴△DOA≌△AHE（AAS），∴AH＝OD＝5，EH＝OA＝3，∴OH＝AH﹣OA＝2，∴E（3，﹣2）．②∵EH⊥y轴，∴∠EHO＝∠BOH＝90°，∵∠BMO＝∠EMH，OB＝EH＝3，∴△BOM≌△EHM（AAS），∴BM＝EM．③结论：＝．理由：∵△DOA≌△AHE，∴OD＝AH，∵OA＝OB，∴BD＝OH，∵△BOM≌△EHM，∴OM＝MH，∴OM＝OH＝BD．（2）结论：OA+OD＝2AM或OA﹣OD＝2AM．理由：当点D在点B左侧时，∵△BOM≌△EHM，△DOA≌△AHE∴OM=MH，OD=AH∴OH=2OM，OD－OB=AH－OA∴BD=OH∴BD＝2OM，∴OD﹣OA＝2（AM﹣AO），∴OD+OA＝2AM．当点D在点B右侧时，过点E作EH⊥y轴于点H∵∠AOD＝∠AHE＝∠DAE＝90°，∴∠DAO+∠EAH＝90°，∠EAH+∠AEH＝90°，∴∠DAO＝∠AEH，∵AD=AE∴△DOA≌△AHE（AAS），∴EH=AO=3=OB，OD=AH∴∠EHO＝∠BOH＝90°，∵∠BMO＝∠EMH，OB＝EH＝3，∴△BOM≌△EHM（AAS），∴OM＝MH∴OA＋OD=OA＋AH=OH=OM＋MH=2MH=2（AM＋AH）=2（AM＋OD）整理可得OA﹣OD＝2AM．综上：OA+OD＝2AM或OA﹣OD＝2AM．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、旋转的性质和平面直角坐标系，掌握全等三角形的判定及性质、旋转的性质和点的坐标与线段长度的关系是解决此题的关键．4．在平面直角坐标系中，已知长方形，点，.（1）如图，有一动点在第二象限的角平分线上，若，求的度数；（2）若把长方形向上平移，得到长方形.①在运动过程中，求的面积与的面积之间的数量关系；②若，求的面积与的面积之比.解析：（1）55°或35°；（2）①；②.【解析】【分析】（1）分两种情况：①在Rt△FEC中，求出∠FEC=90°-10°=80°，然后根据点在第二象限的角平分线上，得出∠POE=45°，对顶角相等，即可得出∠CPO=180°-80°-45°=55°；②由已知条件，得出∠CEO=45°，又根据∠CEO=∠CPE+∠PCB，得出∠CPO；（2）①首先设长方形向上平移个单位长，得到长方形，然后列出和的面积，即可得出两者的数量关系；②首先根据已知条件判定四边形是平行四边形，经过等量转化，即可得出和的面积，进而得出其面积之比.【详解】（1）分两种情况:①令PC交x轴于点E，延长CB至x轴，交于点F，如图所示：由已知得，，∠CFE=90°∴∠FEC=90°-10°=80°，又∵点在第二象限的角平分线上，∴∠POE=45°又∵∠FEC=∠PEO=80°∴∠CPO=180°-80°-45°=55°②延长CB,交直线l于点E，由已知得，，∵点在第二象限的角平分线上，∴∠CEO=45°∴∠CEO=∠CPE+∠PCB∴∠CPO=45°-10°=35°.故答案为55°或35°.（2）如图，①设长方形向上平移个单位长，得到长方形∴②∵长方形，∴∵，令交于E，则四边形是平行四边形，∴∴又∵由①得知，∴∴.【点睛】此题主要考查等量转换和平行四边形的判定以及性质，熟练掌握，即可解题.5．在平面直角坐标系中，已知线段，点的坐标为，点的坐标为，如图1所示.(1)平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为，若点的坐标为，求点的坐标；(2)平移线段到线段，使点在轴的正半轴上，点在第二象限内(与对应，与对应)，连接如图2所示.若表示△BCD的面积)，求点、的坐标；(3)在(2)的条件下，在轴上是否存在一点，使表示△PCD的面积)？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.解析：(1)；(2)；(3)存在点，其坐标为或.【分析】（1）利用平移得性质确定出平移得单位和方向；（2）根据平移得性质，设出平移单位，根据S△BCD=7（S△BCD建立方程求解，即可）；（3）设出点P的坐标，表示出PC用，建立方程求解即可．【详解】(1)∵B(3，0)平移后的对应点，∴设，∴即线段向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到线段∴点平移后的对应点；(2)∵点C在轴上，点D在第二象限，∴线段向左平移3个单位，再向上平移个单位，∴连接，，∴∴；(3)存在设点，∴∵，∴∴，∴∴存在点，其坐标为或.【点睛】本题考查了线段平移的性质，解题的关键在利用平移的性质，得到点坐标的关系、图形面积的关系，根据面积的关系，从而求出点的坐标.6．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD．（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC；（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S△PAB=S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；（3）点P是直线BD上一个动点，连接PC、PO，当点P在直线BD上运动时，请直接写出∠OPC与∠PCD、∠POB的数量关系解析：（1）C（0，2），D（4，2），S四边形ABDC=8；（2）存在，P（0，4）或（0，﹣4）；（3）点p在线段BD上，∠OPC=∠PCD+∠POB；点P在BD延长线上，∠OPC=∠POB-∠PCD;点P在DB延长线上运动时，∠OPC=∠PCD-∠POB.【解析】【分析】（1）根据点平移的规律易得点C的坐标为（0，2），点D的坐标为（4，2）；四边形ABDC的面积=2×（3+1）=8；（2）存在．设点P到AB的距离为h，则S△PAB=×AB×h，根据S△PAB=S四边形ABDC，列方程求h的值，确定P点坐标．（3）分类讨论：当点P在线段BD上，作PM∥AB，根据平行线的性质由MP∥AB得∠2=∠POB，由CD∥AB得到CD∥MF，则∠1=∠PCD，所以∠OPC=∠POB+∠PCD；同样得到当点P在线段DB的延长线上，∠OPC=∠PCD-∠POB；当点P在线段BD的延长线上，得到∠OPC=∠POB-∠PCD．【详解】（1）依题意，得C（0，2），D（4，2），∴S四边形ABDC=AB×OC=4×2=8；（2）在y轴上是存在一点P，使S△PAB=S四边形ABDC．理由如下：设点P到AB的距离为h，S△PAB=×AB×h=2h，由S△PAB=S四边形ABDC，得2h=8，解得h=4，∴P（0，4）或（0，-4）．（3）当点P在线段BD上，作PM∥AB，如图1，∵MP∥AB，∴∠2=∠POB，∵CD∥AB，∴CD∥MP，∴∠1=∠PCD，∴∠OPC=∠1+∠2=∠POB+∠PCD；当点P在线段DB的延长线上，作PN∥AB，如图2，∵PN∥AB，∴∠NPO=∠POB，∵CD∥AB，∴CD∥PN，∴∠NPC=∠FCD，∴∠OPC=∠NPC-∠NPO=∠FCD-∠POB；同样得到当点P在线段BD的延长线上，得到∠OPC=∠POB-∠PCD．【点睛】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标得到线段的长和线段与坐标轴的关系．也考查了平行线的性质和分类讨论的思想．7．如图①，在平面直角坐标系中，点，，其中，是16的算术平方根，，线段由线段平移所得，并且点与点A对应，点与点对应．（1）点A的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；（2）如图②，是线段上不同于的任意一点，求证：；（3）如图③，若点满足，点是线段OA上一动点（与点、A不重合），连交于点，在点运动的过程中，是否总成立？请说明理由．解析：（1），，；（2）证明见解析；（3）成立，理由见解析【分析】（1）根据算术平方根、立方根得、；再根据直角坐标系、平移的性质分析，即可得到答案；（2）根据平移的性质，得；根据平行线性质，分别推导得，，从而完成证明；（3）结合题意，根据平行线的性质，推导得、；结合（2）的结论，通过计算即可完成证明．【详解】（1）连接∵是16的算术平方根∴∴∴∵∴∴∴∵线段由线段平移所得，并且点与点A对应，点与点对应∴，∴故答案为：，，；（2）∵线段由线段平移所得∴，∴∵∴∵∴∴（3）∵∴∵∴∵∴，即∵∴∴∵∴∵，∴由（2）的结论得：，∵，∴∴∵∴∴∴在点运动的过程中，总成立．【点睛】本题考查了算术平方根、立方根、平行线、平移、直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握直角坐标系、平移、平行线的性质，从而完成求解．8．如图1，已知直线m∥n，AB是一个平面镜，光线从直线m上的点O射出，在平面镜AB上经点P反射后，到达直线n上的点Q．我们称OP为入射光线，PQ为反射光线，镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即∠OPA=∠QPB．（1）如图1，若∠OPQ=82°，求∠OPA的度数；（2）如图2，若∠AOP=43°，∠BQP=49°，求∠OPA的度数；（3）如图3，再放置3块平面镜，其中两块平面镜在直线m和n上，另一块在两直线之间，四块平面镜构成四边形ABCD，光线从点O以适当的角度射出后，其传播路径为O→P→Q→R→O→P→…试判断∠OPQ和∠ORQ的数量关系，并说明理由．解析：（1）49°，（2）44°，（3）∠OPQ=∠ORQ【分析】（1）根据∠OPA=∠QPB．可求出∠OPA的度数；（2）由∠AOP=43°，∠BQP=49°可求出∠OPQ的度数，转化为（1）来解决问题；（3）由（2）推理可知：∠OPQ=∠AOP+∠BQP，∠ORQ=∠DOR+∠RQC，从而∠OPQ=∠ORQ．【详解】解：（1）∵∠OPA=∠QPB，∠OPQ=82°，∴∠OPA=（180°-∠OPQ）×=（180°-82°）×=49°，（2）作PC∥m，∵m∥n，∴m∥PC∥n，∴∠AOP=∠OPC=43°，∠BQP=∠QPC=49°，∴∠OPQ=∠OPC+∠QPC=43°+49°=92°，∴∠OPA=（180°-∠OPQ）×=（180°-92°）×44°，（3）∠OPQ=∠ORQ．理由如下：由（2）可知：∠OPQ=∠AOP+∠BQP，∠ORQ=∠DOR+∠RQC，∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，∴∠AOP=∠DOR，∠BQP=∠RQC，∴∠OPQ=∠ORQ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和入射角等于反射角的规定，解决本题的关键是注意问题的设置环环相扣、前为后用的设置目的．9．综合与探究（问题情境）王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动（1）如图1，，点、分别为直线、上的一点，点为平行线间一点，请直接写出、和之间的数量关系；（问题迁移）（2）如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交、于点、，直线分别交、于点、，点在射线上运动，①当点在、（不与、重合）两点之间运动时，设，．则，，之间有何数量关系？请说明理由．②若点不在线段上运动时（点与点、、三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出，，之间的数量关系．解析：（1）；（2）①，理由见解析；②图见解析，或【分析】（1）作PQ∥EF，由平行线的性质，即可得到答案；（2）①过作交于，由平行线的性质，得到，，即可得到答案；②根据题意，可对点P进行分类讨论：当点在延长线时；当在之间时；与①同理，利用平行线的性质，即可求出答案．【详解】解：（1）作PQ∥EF，如图：∵，∴，∴，，∵∴；（2）①；理由如下：如图，过作交于，∵，∴，∴，，∴；②当点在延长线时，如备用图1：∵PE∥AD∥BC，∴∠EPC=，∠EPD=，∴；当在之间时，如备用图2：∵PE∥AD∥BC，∴∠EPD=，∠CPE=，∴．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等，从而得到角的关系．10．已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：；（不需要证明）如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：；（不需要证明）（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数；（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．解析：（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不变，30°【分析】（1）过E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；过F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME+∠END）+∠BMF-∠FND=180°，可求解∠BMF=60°，进而可求解；（3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ=∠BME，进而可求解．【详解】解：（1）过E作EH∥AB，如图1，∴∠BME＝∠MEH，∵AB∥CD，∴HE∥CD，∴∠END＝∠HEN，∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，即∠BME＝∠MEN﹣∠END．如图2，过F作FH∥AB，∴∠BMF＝∠MFK，∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠FND＝∠KFN，∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，∵2∠MEN＋∠MFN＝180°，∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF﹣∠FND＝180°，∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF﹣∠FND＝180°，即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF﹣∠FND＝180°，解得∠BMF＝60°，∴∠FME＝2∠BMF＝120°；（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END，∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，∴∠FEN＝∠MEN＝（∠BME＋∠END），∠ENP＝∠END，∵EQ∥NP，∴∠NEQ＝∠ENP，∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝（∠BME＋∠END）﹣∠END＝∠BME，∵∠BME＝60°，∴∠FEQ＝×60°＝30°．【点睛】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作平行线的辅助线是解题的关键．11．如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．（1）根据图1填空：∠1＝°，∠2＝°；（2）现把三角板绕B点逆时针旋转n°．①如图2，当n＝25°，且点C恰好落在DG边上时，求∠1、∠2的度数；②当0°＜n＜180°时，是否会存在三角板某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线垂直？如果存在，请直接写出所有n的值和对应的那两条垂线；如果不存在，请说明理由．解析：（1）120，90；（2）①∠1=120°-n°，∠2=90°+n°；②见解析【分析】（1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答；（2）①根据邻补角的定义求出∠ABE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠1=∠ABE，根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BCG，然后根据周角等于360°计算即可得到∠2；②结合图形，分AB、BC、AC三条边与直尺垂直讨论求解．【详解】解：（1）∠1=180°-60°=120°，∠2=90°；故答案为：120，90；（2）①如图2，∵∠ABC=60°，∴∠ABE=180°-60°-n°=120°-n°，∵DG∥EF，∴∠1=∠ABE=120°-n°，∠BCG=180°-∠CBF=180°-n°，∵∠ACB+∠BCG+∠2=360°，∴∠2=360°-∠ACB-∠BCG=360°-90°-（180°-n°）=90°+n°；②当n=30°时，∵∠ABC=60°，∴∠ABF=30°+60°=90°，AB⊥DG（EF）；当n=90°时，∠C=∠CBF=90°，∴BC⊥DG（EF），AC⊥DE（GF）；当n=120°时，∴AB⊥DE（GF）．【点睛】本题考查了平行线角的计算，垂线的定义，主要利用了平行线的性质，直角三角形的性质，读懂题目信息并准确识图是解题的关键．12．如图，已知直线射线CD，．P是射线EB上一动点，过点P作PQEC交射线CD于点Q，连接CP．作，交直线AB于点F，CG平分．（1）若点P，F，G都在点E的右侧，求的度数；（2）若点P，F，G都在点E的右侧，，求的度数；（3）在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由．解析：（1）40°；（2）65°；（3）存在，56°或20°【分析】（1）依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠PCG的度数；（2）依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠ECG=∠GCF=25°，再根据PQ∥CE，即可得出∠CPQ=∠ECP=65°；（3）设∠EGC=4x，∠EFC=3x，则∠GCF=4x-3x=x，分两种情况讨论：①当点G、F在点E的右侧时，②当点G、F在点E的左侧时，依据等量关系列方程求解即可．【详解】解：（1）∵∠CEB=100°，AB∥CD，∴∠ECQ=80°，∵∠PCF=∠PCQ，CG平分∠ECF，∴∠PCG＝∠PCF+∠FCG＝∠QCF+∠FCE=∠ECQ=40°；（2）∵AB∥CD∴∠QCG=∠EGC，∠QCG+∠ECG=∠ECQ=80°，∴∠EGC+∠ECG=80°，又∵∠EGC-∠ECG=30°，∴∠EGC=55°，∠ECG=25°，∴∠ECG=∠GCF=25°，∠PCF=∠PCQ=（80°-50°）=15°，∵PQ∥CE，∴∠CPQ=∠ECP=65°；（3）设∠EGC=4x，∠EFC=3x，则∠GCF=∠FCD=4x-3x=x，①当点G、F在点E的右侧时，则∠ECG=x，∠PCF=∠PCD=x，∵∠ECD=80°，∴x+x+x+x=80°，解得x=16°，∴∠CPQ=∠ECP=x+x+x=56°；②当点G、F在点E的左侧时，则∠ECG=∠GCF=x，∵∠CGF=180°-4x，∠GCQ=80°+x，∴180°-4x=80°+x，解得x=20°，∴∠FCQ=∠ECF+∠ECQ=40°+80°=120°，∴∠PCQ＝∠FCQ＝60°，∴∠CPQ=∠ECP=80°-60°=20°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．13．已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE的角分线相交于点F．（1）如图1，若BM、DM分别是∠ABF和∠CDF的角平分线，且∠BED＝100°，求∠M的度数；（2）如图2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，∠BED＝α°，求∠M的度数；（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，请直接写出∠M与∠BED之间的数量关系解析：（1）65°；（2）；（3）2n∠M+∠BED=360°【分析】（1）首先作EG∥AB，FH∥AB，连结MF，利用平行线的性质可得∠ABE+∠CDE=260°，再利用角平分线的定义得到∠ABF+∠CDF=130°，从而得到∠BFD的度数，再根据角平分线的定义和三角形外角的性质可求∠M的度数；（2）先由已知得到∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，由（1）得∠ABE+∠CDE=360°-∠BED，∠M=∠ABM+∠CDM，等量代换即可求解；（3）由（2）的方法可得到2n∠M+∠BED=360°．【详解】解：（1）如图1，作，，连结，，，，，，，，，，和的角平分线相交于，，，、分别是和的角平分线，，，，；（2）如图1，，，，，与两个角的角平分线相交于点，，，，，，；（3）由（2）结论可得，，，则．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和四边形的内角和，关键在于掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的性质．14．如图，，点A、B分别在直线MN、GH上，点O在直线MN、GH之间，若，．（1）=；（2）如图2，点C、D是、角平分线上的两点，且，求的度数；（3）如图3，点F是平面上的一点，连结FA、FB，E是射线FA上的一点，若，，且，求n的值．解析：（1）100；（2）75°；（3）n=3．【分析】（1）如图：过O作OP//MN，由MN//OP//GH得∠NAO+∠POA=180°，∠POB+∠OBH=180°，即∠NAO+∠AOB+∠OBH=360°，即可求出∠AOB；（2）如图：分别延长AC、CD交GH于点E、F，先根据角平分线求得，再根据平行线的性质得到；进一步求得，，然后根据三角形外角的性质解答即可；（3）设BF交MN于K，由∠NAO=116°，得∠MAO=64°，故∠MAE=，同理∠OBH=144°，∠HBF=n∠OBF，得∠FBH=，从而，又∠FKN=∠F+∠FAK，得，即可求n．【详解】解：（1）如图：过O作OP//MN，∵MN//GHl∴MN//OP//GH∴∠NAO+∠POA=180°，∠POB+∠OBH=180°∴∠NAO+∠AOB+∠OBH=360°∵∠NAO=116°，∠OBH=144°∴∠AOB=360°-116°-144°=100°；（2）分别延长AC、CD交GH于点E、F，∵AC平分且，∴，又∵MN//GH，∴；∵，∵BD平分，∴，又∵∴；∴；（3）设FB交MN于K，∵，则；∴∵，∴，，在△FAK中，,∴，∴．经检验：是原方程的根，且符合题意.【点睛】本题主要考查平行线的性质