福建省龙岩市一级校联盟2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题（含答案）

龙岩市一级校联盟2025—2026学年第一学期半期考联考二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

高二数学试题9.在等差数列{an}中，a₁+a₄=-12,a₃+a,=2,记数列{an}的前n项和为S,,下列选项正确

(考试时间：120分钟总分：150分)的是

A.a₁=-9B.数列是递增数列

第I卷(选择题共58分)C.当S,取得最小值时，n=6D.数列{la,|}的前10项和为50

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项10.下列说法正确的是

是符合题目要求的.

A.已知直线x+y-a=0与直线2x-ay+2=0平行，则它们之间的距离

1.已知数列√3,2,√5,√6,√7,…,则5是这个数列的

B.“a=1”是“直线a²x-y+1=0与直线x+ay-2=0互相垂直”的充要条件

A.第21项B.第22项C.第23项D.第24项

C.已知一条光线从点A(一1,3)射向x轴，经过x轴上的点P反射后经过点B(3,1),则点

2.直线√3x-y+4=0的倾斜角为

P的坐标为(2,0)

A.30°B.60°C.120°D.150°

3.已知{an}是公差不为0的等差数列，若am=a16-a;+a₃,则m=D.已知直线l过定点P(1,0)且与以A(3,2),B(4,√3)为端点的线段有交点，则直线l的倾

A.12B.13C.14D.15斜角α的取值范围是

4.已知等比数列{a}的前n项和为S。,若S₇=7,S₁₄=21,则S₂₁=

11.已知曲线C:x²+y²=√x²+y²+x,下列结论正确的是

封A.49B.63C.84D.105

曲线关于轴对称

5.与圆(x-4)²+y²=8相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有A.Cx

B.曲线C构成的封闭图形面积小于(x-1)²+y²=1的面积

A.2条B.3条C.4条D.6条

曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过2

6.已知{an}是各项均为正数的等比数列，且ai,a,是关于x的方程x²-mx+16=0的两个实C.CO

曲线的内部(不含边界)有4个整点(横、纵坐标均为整数的点)

数根，则log₂a₁+log₂a2+log₂a₃+…+log₂a,=D.C

A.8B.9C.16D.18第Ⅱ卷(非选择题共92分)

7.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1;若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”12.已知正项等比数列{a,}的前n项和为S„,公比为q,S₃=13S₁,则q=▲

线

(又称“角谷猜想”).如取正整数m=6,根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1,13.已知圆C的圆心在直线x+y=0上，且与x轴相切于点(2,0),则圆C的标准方程

…

共需经过8个步骤变成1(简称为8步“雹程”).现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列是▲

14.如图，在平面直角坐标系xOy中，圆O₁,圆O₂都与直线l:y=kx及x轴的正半轴相切.若

{a,}满足a₁=m(m为正整数)若m=5,则a2025=两圆的半径之积为2,两圆的一个交点为P(3,3),则直线l的方程为_▲

A.1B.2C.4D.5

8.已知A,B是圆C:x²+y²-6x-8y+9=0上的两点，且|AB|=4√3,0为坐标原点，则

IOA+OB|的最大值为

A.6B.8C.10D.14

【(一级校)联考半期考高二数学试卷第1页(共4页)】【(一级校)联考半期考高二数学试卷第2页(共4页)】

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(本题满分17分)

15.(本题满分13分)已知圆C:x²+(y-3)²=r²(r>0)和直线l:3x+4y+8=0相切.

(1)求半径r.

设数列{a,}的前n项和为S。,S,=n²+n,{b。}是等比数列，(2)已知动点M在直线y+5=0上，过点M引圆C的两条切线MA,MB,切点分别为

(1)求数列{an}的通项公式；A,B.

①记四边形MACB的面积为S,求S的最小值；

(2)求数列的前n项和T。.

②证明：直线AB恒过定点.

弥

16.(本题满分15分)

已知直线l:kx-y+1+k=0(k∈R).

(1)求直线l所过的定点A的坐标；

(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；

(3)已知P(1,5),若点P到直线l的距离为d,求d最大时直线L的一般式方程.19.(本题满分17分)

古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：平面内到两个定点A,B…

的距离之比为定值λ(λ≠1)的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，…

称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，A(2,0),B(-4,0).点P封

…

满足,记点P的轨迹为圆C.…

(1)求圆C的周长；

(2)若直线l过点(2,10),且被圆C截得的弦长为4√3,求直线l的方程；

17.(本题满分15分)(3)过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M,N,O为坐标原点，直线OM,ON分别

已知数列{an}满足a₁=2,an+1=2a+2+².

与直线x=8相交于P,Q,记△OMN的面积为S₁,△OPQ的面积为S₂,求的最

(1)求数列{a。}的通项公式.

大值.

(2)设,记数列{b。}的前n项和为S,

①求

S;线

②若Vn∈N',S,<m·3”+¹,求m的取值范围.

【(一级校)联考半期考高二数学试卷第3页(共4页)】【(一级校)联考半期考高二数学试卷第4页(共4页)】

龙岩市一级校联盟2025—2026学年第一学期半期考联考

高二数学参考答案

1234567891011

CBCABDADABDACDAC

8.D由x²+y-6x-8y+9=0,得(x-3)²+(y-4)²=16,故圆C的圆心为C(3.4),半径为

4.设H为AB的中点，连接CH,则CH⊥AB,结合|AB|=4√3,得ICH|=√4²-(2√3)²=

2,即点H在以C为圆心，2为半径的圆上.

又OA+OB=2OH,所以|OA+OB|=2lOH|,而IOCI=√3²+4²=5.

故|OH|的最大值为5+2=7,则|OA+OB|的最大值为14,故选D.

11.AC对于A.设P(x,y)为曲线C上任意一点，它关于x轴的对称点是P₁(x,-y),将

P₁(x,-y)代人曲线C的方程得x²+(-y)²=√x²+(-y)²+x,化简得x²+y²=

√x²+y²+x,此时方程成立，故P₁(x,-y)也在曲线C上，则x轴是曲线C的一条对称

轴，故A正确；

对于C,由x²+y²=√x²+y+x,可当x>

0,y=0时，等号成立，∴√x²+y≤2,即曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过2,

故C正确；

对于D,令x=0,解得y=0或y=±1,即曲线C经过(0,0),(0,1),(0,—1),此时曲线C的

内部无整点，由C可知曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过2,-2≤x≤2,令

x=1,得,,此时曲线C的内部有3个整点，

令x=-1,得y⁴+3y²+3=0,无解，令x=2,得y²=0,即曲线C经过(2,0),不含边界无整

数解，令x=-2,得y⁴+11y²+32=0,无解，因此曲线C的内部有3个整

点，故D错误；

对于B,由上分析，作出该曲线C,可见图象包含圆(x-1)²+y²=1,所以

曲线C构成的封闭图形面积大于(x-1)²+y²=1的面积，故B错误

故选AC

12.3

13.(x-2)²+(y+2)²=4

14.由题意，圆心O₁,O₂都在x轴与直线I组成角的角平分线上.

若直线I的斜率k=tana,则可设,则

【(一级校)联考半期考高二数学·参考答案第1页(共5页)】

圆心O₁,O₂都在直线y=tx上，可设O₁(m,mt),O₂(n,nt),m,n,t>0,

则◎O₁:(x-m)²+(y-mt)²=(mt)²,◎O₂:(x-n)²+(y-nt)²=(mt)²,

因为交点P(3.3)在第一象限内，

所以m,n是方程x²-(6+6t)x+18=0的两根，于是mn=18.

由mt·π=2,得,则,所以,则直线I的方程为.

15.【解】(1)∵S,=n²+n,∴当n=1时，a₁=S₁=2,…………1分

当n≥2时，S.-1=(n-1)²+(n-1,a.=S.-S-1=n²+n-[(n-1)²+(n-1)]=2n,

………………4分

当n=1时，a₁=2符合上式，…5分

故数列{a。}的通项公式为a.=2n.…………分

(2)由(1)得a,=2n,则a₂=4,ax=6,∴b₂=3,……7分

在等比数列{b。}中，公比∴b.=3#-¹,……………9分

1,……10分

∴数列的前n项和

………13分

16.【解】(1)直线I的方程为k(x+1)-y+1=0,则y-1=k(x+

1),因此直线I恒过定点A(-1.1).………3分

(2)如图1,若直线I不经过第四象限，则k≥0.………7分

(3)由(1)知直线l恒过定点A(-1,1).

如图2,当PA⊥l时，d取得最大值，此时直线PA的斜率kpA=

图1

……………·10分

则直线l的斜率…………………12分

所以直线I的方程为,即x+2y-1=

0,……14分

所以直线I的一般式方程为x+2y-1=0.…………15分

图2

17.【解】(1)由aw+1=2a。+2#+,,………2分

【(一级校)联考半期考高二数学·参考答案第2页(共5页)】

则数为首项，2为公差的等差数列，…3分

,………4分

所以数列{a。}的通项公式为a。=(2n-1)·2".…………·5分

(2)①由(1)得,……6分

S.=2·2¹+3·2+4·2+…+n·2"⁻¹+(n+1·2",

于是2S.=2·2²+3·2³+4·2⁴+…十n·2+(n+1)·2"+1,…………8分

则-S.=2·2¹+2²+2⁵+…+2"一(n+1)·2+¹=2¹+2²+2³+…+2"一(n+1)·2+1+

所以S.=n·2#+1.……………10分

②由Vn∈N,s.<m·3#+¹,………·11分

令,不妨设{c。}的第n项取得最大值

由解得2≤n≤3.……………·13分

即数列{c.}的最大值为

所以；,即m的取值范围.…15分

18.【解】(1)由题意，圆心C(0,3)到直线3x+4y+8=0的距离

所以半径r=4.…………4分

(2)①(方法一)由(1)知，圆C的方程为x²+(y-3)²=16,圆心C(0,3),r=4.

由MA,MB是◎C的两条切线，得CA⊥MA,CB⊥MB.设M(t,-5),

则|MA|=|MB|=√|MCI²-r²=√t²+64-16=√t²+48,………………6分

所以,………8分

当且仅当t=0时，等号成立，所以S的最小值为16√3.………………10分

(方法二)依题意得S=2S△M,所以要求S的最小值，只需求S△cM的最小值.……6分

1.IAMI=√MCI²-4,所以当|MC|最小时，S△u取得最

小值.

【(一级校)联考半期考高二数学·参考答案第3页(共5页)】

当MC垂直于直线y+5=0时，|MC|最小，此时|MC|=8,所以|AM|=√|MCI²-4=

4√3.………………8分

.…………10分

②证明：(方法一)由①知，点M(t,一5),CA⊥MA,CB⊥MB,

则M,A,C,B四点共圆且该圆以MC为直径，………………·11分

此圆的方程,整理得x²+y²-tx+2y-15=0,………

…13分

而圆C的方程为x²+y²-6y-7=0,两圆方程相减得tx-8y+8=0,15分

即直线AB的方程为tx-8y+8=0,对任意实数t,当x=0时，y=1,·16分

所以直线AB过定点(0,1).……………17分

(方法二)由①知，设点M(t,-5),B(x,y),MB=(x-t,y+5),CB=(x,y-3).

又因为MB⊥CB,所以MB·CB=0.……11分

即x(x-t)+(y+5)(y-3)=0,整理此圆的方程，得x²+y²-tx+2y-15=0,…13分

而圆C的方程为x²+y²-6y-7=0,两圆方程相减得tx-8y+8=0,15分

即直线AB的方程为tx-8y+8=0,对任意实数t,当x=0时，y=1,………16分

所以直线AB过定点(0,1).……………17分

19.【解】(1)设点P(x,y).由