《等边三角形(第二课时)》教案

《等边三角形（第二课时）》教案教学目标教学目标：通过拼图，探索、发现、证明含30°的直角三角形的性质，利用含30°的直角三角形的性质进行简单计算.教学重点：含30°的直角三角形的性质教学难点：含30°的直角三角形的性质教学过程时间教学环节主要师生活动8分钟环节1：复习旧知，动手实践、探究新知复习回顾：等边三角形的性质和判定与边角关系

等边三角形性质1.

三条边相等2.

三个内角都相等，都为60°3.

“三线合一”4.

轴对称图形（3条对称轴）判定1.

定义（三条边相等）2.

三个角相等3.

有一个角是60°的等腰三角形动手实践，探究新知：将两个含有30°角的三角尺摆放在一起.你能借助这个图形,找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗?发现：将两个含30°角的三角尺拼在一起，得到一个等边三角形，再利用这个图形的轴对称性，得出.证明1：∵△ADC是△ABC的轴对称图形，∴AB＝AD,∠BAD=230°=60°，∴△ABD是等边三角形.∵AC⊥BD，∴.提问：你还能用其他方法证明吗？证明2：∵在△ABC中，AC⊥BD，∠BAC=30°，∴∠B=60°.延长BC到点D，使得BD＝AB，连接AD，则△ABD是等边三角形.∴AC也是BD边上的中线，∴.归纳：含30°的直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.数学语言：∵在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,∴4分钟环节2：随堂练习，巩固新知1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB,AB＝4.则BC＝，BD=.答案：2；1解析：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°,∴.∵在Rt△BCD中，∠CDB=90°,∠BCD=30°,∴.2.小明沿倾斜角为30°的山坡从山脚步行到山顶，共走了200m，山的高度为_____m.答案：100解析：含30°的直角三角形的性质的应用4分钟环节3：例题讲解例题：下图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC，DE垂直于横梁AC,AB＝7.4m,∠A＝30°立柱BC，DE要多长?分析：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°∴.∵在Rt△ADE中，∠AED=90°,∠A=30°∴.解答：∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A＝30°，∴.∴.又，∴.答:立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.8分钟环节4：巩固提高1.三角形三个角的度数之比为1：2：3，它的最大边长等于16cm，则最小边长是_______cm．答案：8解析：∵三角形三个角的度数之比为1：2：3，∴设三角形三个角的度数分别为k，2k，3k．根据三角形内角和定理得，k+2k+3k=180°，解得k=30°，∴3k=90°．∵最大边长等于16cm，∴最小边长等于×16=8(cm)．2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，DE⊥AC．则AB：AE=______．答案：4：1解析：如图，连接AD，∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC．∵∠BAC=120°，∴∠C=30°．∵DE⊥AC，∴∠ADE=∠C=30°．在Rt△ADE中，AD=2AE，在Rt△ABD中，AB=2AD=4AE，∴AB：AE=4：1．3.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于F，交AB于E，BF=5cm，求CF的长．解析：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°.∵EF为AB的垂直平分线，∴AF=BF=5cm.∴∠BAF=∠B=30°.∴∠FAC=90°.∴在Rt△ACF中，CF=2AF.∴CF=10cm．课堂小结：由等边三角形推出含30°的直角三角形的性质，反映直角三角形的边角关系.增强对特殊直角三角形的认识，培养几何直观、推理能力.课后作业1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（）A． 6米 B． 9米 C． 12米 D． 15米答案：B2.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则CD等于（）A．3 B．4 C．5 D．6答案：A解析：∵∠C=90°，∠ABC=60°，∴∠A=30°.∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=∠A=30°.∴BD=AD=6，∴CD=BD=6×=3．3.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD=3，则BD的长为_______．答案：6解析：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠DAE=∠B=30°，∴∠ADC=60°，∵∠C=90°，∴∠CAD=30°，∴AD=2CD.∵CD=3，∴AD=BD=6.4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．解答：证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°，∵在Rt△ACD和Rt△AED中，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）；解：∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∵∠B=30°，DC=ED=1，[来源:中.考.资.源.网WWW.ZK5U.COM]∴BD=2ED=2．知能演练提升一、能力提升1.关于等腰三角形和等边三角形的区别与联系,下列说法不正确的是()A.等腰三角形包括等边三角形B.等边三角形包括等腰三角形C.等边三角形是等腰三角形的特殊情况D.等边三角形每边上的高,中线与此边对角平分线都能实现“三线合一”2.在△ABC中,如果只给出条件∠A=60°,那么还不能判定△ABC是等边三角形,给出下面四种说法:①如果再加上条件“AB=AC”,那么△ABC是等边三角形;②如果再加上条件“∠B=∠C”,那么△ABC是等边三角形;③如果再加上条件“D是BC的中点,且AD⊥BC”,那么△ABC是等边三角形;④如果再加上条件“AB,AC边上的高相等”,那么△ABC是等边三角形.其中正确的说法有()A.①② B.②③C.①③④ D.①②③④3.若△ABC的三边a,b,c满足a2+b2+c2=ab+ac+bc,则△ABC的形状为.

4.如图,∠AOB=30°,P是∠AOB平分线上的点,PM⊥OB于点M,PN∥OB交OA于点N.若PM=1,则PN的长是.

5.如图,△ABC是等边三角形,点E是AC上一点,∠1=∠2,BE=CD.请判断△ADE的形状,并说明理由.6.如图,在等边三角形ABC的AC边上取中点D,在BC的延长线上取一点E,使CE=CD.求证:BD=DE.7.如图,D是等边三角形ABC的边AB上的一动点,以CD为一边向上作等边三角形EDC,连接AE,找出图中的一组全等三角形,并说明理由.8.如图,已知△BCE,△ACD分别是以BE,AD为斜边的直角三角形,且BE=AD,△CDE是等边三角形.求证:△ABC是等边三角形.9.如图,D,E分别是等边三角形ABC两边BC,AC上的点,且AE=CD,连接BE,AD且交于点P.过点B作BQ⊥AD于点Q.证明:BP=2PQ.二、创新应用★10.如图,D是等边三角形ABC内一点,且DB=DA,PB=AB,∠DBP=∠DBC,求∠P的度数.

知能演练·提升一、能力提升1.B2.D3.等边三角形由a2+b2+c2=ab+ac+bc,可以得出2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc,故有(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0成立,因此可得a=b=c.由等边三角形的定义可知△ABC一定是等边三角形.4.2因为PN∥OB交OA于点N,所以∠ANP=30°.如图,作PC⊥OA于点C.在Rt△CNP中,PN=2PC.由角平分线的性质,得PC=PM=1,所以PN=2PC=2.5.解△ADE是等边三角形.理由如下:∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°.在△ABE和△ACD中,AB∴△ABE≌△ACD(SAS).∴AE=AD,∠DAE=∠BAC=60°.∴△ADE是等边三角形.6.证明∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°.∵D为AC的中点,∴BD平分∠ABC,∴∠DBC=30°.∵CE=CD,∴∠E=∠CDE=12∠ACB=30°∴∠DBC=∠E,∴BD=DE.7.解△BDC≌△AEC.理由如下:∵△ABC,△EDC均为等边三角形,∴BC=AC,DC=EC,∠BCA=∠ECD=60°,∴∠BCD=∠ACE.在△BDC和△AEC中,BC∴△BDC≌△AEC(SAS).8.证明∵△CDE是等边三角形,∴EC=DC,∠ECD=60°.∵△BCE,△ACD分别是以BE,AD为斜边的直角三角形,∴∠BCE=∠ACD=90°.在Rt△BCE和Rt△ACD中,∵EC=DC,BE=AD,∴Rt△BCE≌Rt△ACD(HL),∴BC=AC.∵∠ECD+∠ACE=90°,∠ACB+∠ACE=90°,∴∠ACB=∠ECD=60°.∴△ABC是等边三角形.9.证明∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=∠C=60°.在△ABE和△CAD中,AB∴△ABE≌△CAD,∴∠ABE=∠CAD.又∠BAD+∠CAD