《等腰三角形(第三课时)》教案

《等腰三角形（第三课时）》教案教学目标教学目标：1.掌握等腰三角形的性质和判定；2.运用等腰三角形的判定和性质解决简单的综合问题；3.运用尺规作图解决等腰三角形中的作图问题.教学重点：理解和运用等腰三角形的判定与性质.教学难点：等腰三角形的判定和性质综合运用，尺规作图的运用.教学过程时间教学环节主要师生活动3分钟复习巩固1．定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形．2．性质:（1）等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)；格式：如图,在△ABC中,∵AB=AC(已知),∴∠B=∠C(等边对等角).（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.格式：如图,在△ABC中,∵AB=AC,∠1=∠2（已知），∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.∵AB=AC,BD=CD（已知），∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.∵AB=AC,AD⊥BC（已知），∴BD=CD,∠1=∠2（等腰三角形三线合一）.3.判定:如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).格式：∵在△ABC中，∠B=∠C,∴AB=AC.18分钟综合应用.例1.如图，DB=DC，∠ABD=∠ACD，求证：AB=AC.证明：如图，连接BC，∵DB=DC，∴∠DBC=∠DCB.又∵∠ABD=∠ACD，∴∠DBC+∠ABD=∠DCB+∠ACD，即∠ABC=∠ACB.∴AB=AC.本题有两条边相等，证明另外两条边相等。先使用等腰三角形的性质，后使用等腰三角形的判定。两个三角形△ABC和△DBC都是等腰三角形，通过作辅助线BC把二者相联系。练习：如图，在△ABC中，AB=AC，在AC上取点P，过点P作EF⊥BC，交BA的延长线于点E，垂足为点F.求证：AE=AP.证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵EF⊥BC，∴∠E=90°-∠B,∠CPF=90°-∠C.∴∠E=∠CPF，∵∠APE=∠CPF,∴∠APE=∠E.∴AE=AP.例2.在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，E、F分别是边AB、AC上的点．EF∥BC．（1）说明△AEF是等腰三角形；（2）说明△DEF是等腰三角形．解：（1）∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，∴△AEF是等腰三角形．（2）∵AD是等腰△ABC的底边上的高，∴AD也是∠BAC的平分线．∵△AEF是等腰三角形，∴AG是底边EF上的高和中线，∴AD⊥EF，GE＝GF．∴AD是线段EF的垂直平分线，∴DE＝DF，所以△DEF是等腰三角形．要说明一个三角形是等腰三角形，就是要说明这个三角形中有两条边相等．我们可以说明这个三角形有两个内角相等或它的一个顶点在它对边的垂直平分线上，通过底边垂直平分线说明得到两腰想等，在上节课的作图题中使用过．本题既考查了等腰三角形的性质，也考查了等腰三角形的判定．本题也可以改造的更特殊些，将等腰三角形的顶点A沿EF折叠，使其与垂足D重合。练习.如图所示，把一张长方形的纸沿对角线折叠，则重合部分是等腰三角形吗？为什么？解：重合部分是等腰三角形.理由如下:根据轴对称的性质可得AF=CD=AB，∠F=∠D=90°.又∠FHA=∠DHC，∴△FAH≌△DCH(AAS)，可得CH=AH，∴重合部分是等腰三角形.方法二：根据轴对称性质∠FCA=∠BCA，∵AD∥BC，∴∠HAC=∠BCA，∴∠FCA=∠HAC，∴AE=CE.例3.已知等腰三角形的底边长a=4cm，腰上的高h=3cm，请画出符合条件的等腰三角形.分析：（1）画草图（2）分析草图由给出的条件根据全等三角形判定定理HL可以唯一确定△ABD.得到要求的等腰三角形的底边（两个底角顶点）;画这个等腰三角形的顶角顶点——作底边的垂直平分线.作法：（1）作线段AD=3cm，过点D作直线EF⊥AD于点D.（2）在直线EF上找一点B使得AB=4cm（以A为圆心，4cm为半径画弧交EF于点B）.（3）作AB的垂直平分线MN交直线EF于点C.连AC.则△ABC即为所求.解决画图问题的一般步骤：（1）画草图.（2）分析草图——找确定的三角形.△ABD（HL）→顶角顶点C（3）按顺序画图练习：某小区要修建一个等腰三角形的花坛，要求其底边长为4m，腰长为3m，请画出花坛的设计图（比例尺为1:100）.作法：（1）作线段AB=4cm.（2）分别以A、B为圆心，3cm为半径画弧，两弧交于点C.连AC、BC.则△ABC即为所求.3分钟课堂小结1．确定等腰三角形的依据（1）定义：两边相等的三角形是等腰三角形；（2）两个角相等的三角形是等腰三角形．注意以下两种情形：（1）当图形中有角平分线和平行线时常常有等腰三角形；（2）当图中出现线段的垂直平分线时常常有等腰三角形.2.注意性质和判定的转换。3.解决画图问题的一般步骤：（1）画草图.（2）分析草图（3）按顺序画图课后作业1.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F,过点F作DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E.若BD+CE=6,则线段DE的长为(D)A.9 B.8C.7 D.62.如图，AB=AC，E为CA延长线上一点，作ED⊥BC于D，交AB于点F，求证：△AEF为等腰三角形.证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵ED⊥BC，∴∠C+∠E=90°，∠B+∠BFD=90°.∴∠E=∠BFD.又∵∠AFE=∠BFD，∴∠E=∠AFE.∴AE=AF.∴△AEF为等腰三角形.3.已知等腰三角形的腰长a=4cm，腰上的高h=3cm，请画出符合条件的等腰三角形.作法：（1）作线段AD=3cm，过点D作直线EF⊥AD于点D.（2）在直线EF上找一点B使得AB=4cm（以A为圆心，4cm为半径画弧交EF于点B）.(3)在直线EF上截取BC=BC’=4cm（以B为圆心，4cm为半径画弧交EF于点C,C’两点）.连AC，AC’.知能演练提升一、能力提升1.下列说法正确的是()A.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B.顶角相等的两个等腰三角形全等C.等腰三角形一边不可以是另一边的2倍D.等腰三角形的两个底角相等2.如图,在△ABC中,AB=AC,过点A作AD∥BC.若∠1=50°,则∠CAD的大小为()A.50° B.65° C.80° D.60°3.如图,已知等腰三角形ABC,AB=AC.若以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,则下列结论一定正确的是()A.AE=EC B.AE=BEC.∠EBC=∠BAC D.∠EBC=∠ABE4.如图,AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D,若∠C=65°,则∠DBC的度数是()A.25° B.20° C.30° D.15°5.如图,直线l1∥l2,以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧,分别交直线l1,l2于点B,C,连接AC,BC.若∠ABC=67°,则∠1的度数为.

★6.在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线l与AC所在的直线相交所得到的锐角为50°,则∠B的度数是.

7.如图,点D在△ABC的边AB上,且DC=DA=DB.求证:△ABC是直角三角形.二、创新应用★8.数学课上,张老师举了下面的例题:例1在等腰三角形ABC中,∠A=110°,求∠B的度数.(答案:35°)例2在等腰三角形ABC中,∠A=40°,求∠B的度数.(答案:40°,70°或100°)张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一道题:变式在等腰三角形ABC中,∠A=80°,求∠B的度数.(1)请你解答以上的变式题.(2)解(1)后,小敏发现,∠A的度数不同,得到∠B的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形ABC中,设∠A=x°,当∠B有三个不同的度数时,请你探索x的取值范围.

知能演练·提升一、能力提升1.D2.B3.C4.D∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=65°,∴∠A=180°-∠ABC-∠C=50°.∵MN垂直平分AB,∴AD=BD,∴∠A=∠ABD=50°,∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=15°.5.46°6.70°或20°分两种情况,如图. 7.证明∵DC=DA,∴∠A=∠ACD.∵DC=DB,∴∠B=∠BCD.∵∠A+∠ACD+∠BCD+∠B=180°,∴∠ACD+∠BCD=90°,即∠ACB=90°.∴△ABC是直角三角形.二、创新应用8.解(1)当∠A为顶角时,∠B=50°;当∠A为底角时,若∠B为顶角,则∠B=20°,若∠B为