《等腰三角形的综合运用(第一课时)》教案

《等腰三角形的综合运用（第一课时）》教案教学目标教学目标：进一步理解和掌握等腰三角形的性质与判定,并能综合运用这些知识判断三角形形状和求三角形边角等有关计算。在例题探究过程中培养学生观察、分析和归纳能力，并体验转化和方程等思想的应用。教学重点：等腰三角形性质和判定的综合运用教学难点：结合等腰三角形、角平分线、中垂线等知识，来解决三角形有关边角问题的计算.教学过程时间教学环节主要师生活动5分钟知识回顾同学们，大家好，本节课我们将学习等腰三角形的综合运用（第一课时），首先一起回顾等腰三角形的定义，判定和性质。1.等腰三角形【定义】有两条边相等的三角形是等腰三角形。【性质】①等边对等角；②三线合一；③对称轴有1条或3条.【判定】①有两条边相等的三角形是等腰三角形；(定义)②等角对等边.2.特殊的等腰三角形：等边三角形【定义】三边都相等的三角形是等边三角形.【性质】①三边都相等；②三个角都是60°；③三线合一；=4\*GB3④对称轴有3条.【判定】①三边都相等的三角形是等边三角形（定义）；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.以上判定方法都是可以彼此推导的。下面我们将通过几个例题来进一步复习等腰三角形判定和性质的运用。18分钟知识运用一、运用等腰三角形的判定进行三角形形状的判断例已知三角形△ABC的三边长为a,b,c,(1)∠A=70°,∠B=40°,则三角形的形状为_________;(2)∠A:∠B:∠C=1:1:2,则三角形的形状为_________;(3)当满足(a-b)(b-c)(c-a)=0时,则三角形的形状为_________;(4)当满足(a-b)+(b-c)+(c-a)=0时,则三角形的形状为________.教师提问：当三角形的内角或边分别满足以上条件时，我们将如何来判断三角形形状呢？下面我们来逐一分析！主要步骤：(1)∵∠A=70°,∠B=40°根据三角形内角和定理，得∠C=180°-∠A-∠B=70°∵∠A=∠C∴△ABC是等腰三角形(2)∵∴∠A=∠B=45°,∠C=45°×2=90°根据“等角对等边”和直角三角形定义，得∴△ABC是等腰直角三角形(3)∵(a-b)(b-c)(c-a)=0，∴a-b，b-c，c-a中至少有一个为0即a-b=0，或b-c=0，或c-a=0∴a=b或b=c或a=c∴△ABC是等腰三角形(4)∵(a-b)+(b-c)+(c-a)=0，(a-b)，(b-c)，(c-a)均具有非负性∴(a-b)=0，且(b-c)=0，且(c-a)=0∴a=b且b=c且a=c∴△ABC是等边三角形【设计意图】让学生体验如何分析题目中已有条件进行角或边计算，然后利用等腰（等边）三角形的判定方法，进行三角形形状的判断的过程，锻炼学生对三角形内角和定理的灵活运用和对判定方法的理解和运用。【解后反思】一般地，判断三角形形状的关键在于要先求出三角形的三个内角度数或三条边长，或找到角（边）所满足的重要数量关系，然后再利用等腰（等边）三角形的判定方法，进行三角形形状的判断。二、运用等腰三角形的判定和性质进行边角等有关计算及证明例如图，在△ABC中，∠A=40°,AB=AC,AB的垂直平分线DE交AC于点D,求∠DBC=______教师提问：请问题目中有哪些已知的边角条件和特殊三角形图形？教师提出：已知∠A=40°，AB=AC,AB的垂直平分线DE交AC于点D.教师追问：根据“AB的垂直平分线DE”，你能得出什么结论？教师提出：首先得出∠AED=90°，AE=BE.又根据“垂直平分线上任意一点，到线段两端点距离相等”，可以得出AD=BD.教师提问：题目中有哪些特殊的三角形图形呢？教师提出：因为AB=AC，AD=BD,根据等腰三角形定义，我们得出△ABC,△ADB为等腰三角形。我们来看下本题目的问题，求∠DBC的度数，如何来求呢？方法一：∠DBC=∠ABC-∠ABD=方法二：∠DBC=180°-∠C-∠BDC=均使用到等腰三角形性质：等边对等角.变式:如图，在△ABC中，∠ABC=120°，点D，E分别在AC和AB上，且AE=ED=DB=BC,若∠A的度数为,则用的代数式表示∠C为____，∠A=____°.教师提问：请问题目中有哪些已知的边角条件和特殊三角形图形？教师提出：题中已知∠ABC=120°，和AE=ED=DB=BC.教师追问：你能从“AE=ED=DB=BC”得到什么结论呢？教师提出：可以得出三个等腰三角形△AED，△BDE，△BCD，也可以根据“等边对等角”，找到一些角之间的相等关系，例如根据AE=ED得出∠A=∠EDA，根据ED=DB得出∠BED=∠EBD,根据DB=BC得出∠BDC=∠C.教师提问：但这些角等于多少度呢？和已知角∠ABC之间是什么关系呢？教师提出：好的，我们一起看下问题，若∠A的度数为x°,如何用x的代数式表示∠C？教师提示：根据刚才分析，我们可以尝试用x表示出上面这些角.主要步骤∵AE=ED∴设∠A=∠ADE=∴∠BED=∠A+∠ADE=∵ED=DB∴∠EBD=∠BED=∵∠BDC=∠EBD+∠A=∵DB=BC∴∠C=∠BDC=在△ABC中∵∠A+∠ABC+∠C=180°∴++=180°∴=15∴∠A=15°【设计意图】借助本题及变式，带领学生一起体验和归纳等腰三角形中求角问题的一般方法。题目由易到难，由特殊到一般，锻炼学生分析问题和解决问题的能力。【解后反思】一般地，求等腰三角形中角的度数问题，我们主要依据“等边对等角”性质，三角形内角和定理和外角和性质，由已知角逐步推导计算出未知角的度数。或者必要时，通过合理设元，利用方程的思想求解出未知角的度数。下面我们来完成一道三角形求边长问题例如图,△ABC是等边三角形,AD⊥BC,DE⊥AB,垂足分别为D,E.若AB=8,则BD=_____,BE=_____.

教师提问：请问题目中有哪些已知条件和哪些特殊三角形图形？教师提出：如图△ABC是等边三角形，我们可以得到三条边相等，三个内角均为60°。教师提问：AD⊥BC，同学们你可以得出什么结论？教师提出：∠ADC=90°，教师追问：还有吗？教师提出：AD三线合一，所以AD是高线，也是角平分线和中线，所以∠BAD=∠CAD=30°，BD=CD。DE⊥AB可以推出∠BED=90°.教师提问：我们来看下问题，若AB=8,求BC长？教师提出：根据上面的分析，BC=AB=8,而D为BD中点，所以BD=1/2BC=4。教师追问：如何来求DE呢？教师提出：我们来观察△BDE，发现∠BDE=30°，而BE恰好是这个直角三角形30°所对的直角边，所以根据：直角三角形30°所对的直角边等于斜边一半“，得出BE=1/2BD=2主要步骤：∵△ABC为等边三角形∴BC=AC=AB=8,∠B=∠C=∠BAC=60°∵AD⊥BC∴BD=BC=4∵DE⊥AB∴∠DEB=90°∴∠EDB=180°-∠B-∠DEB=30°∴BE=BD=2【设计意图】本题主要考查等边三角形的“三线合一”性质和直角三角形中的性质(直角三角形30°所对的直角边等于斜边一半)在求边长问题中的综合运用，巩固性质的理解和运用。2分钟课堂小结本节课，我们进行了以下知识的学习回顾等腰三角形和等边三角形定义、性质和判定；学习运用等腰或等边三角形的判定知识进行三角形形状的判断；学习综合运用等腰或等边三角形的判定和性质进行三角形边角等有关问题的计算及证明.课后作业如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°,DE垂直平分AC，交BC于点D，垂足为点E.若DE=2cm,则DC=____cm,BC=____cm.若D为△ABC的边BC上一点，且AD=BD，AB=AC=CD，则∠B=_______°．如图，在△ABC中，∠BAC=90°,∠C=30°,AD是BC边上的高，BE是角平分线，AD与BE相交于点F，求证：△AEF是等边三角形.知能演练提升一、能力提升1.小明用含有30°角的两个完全相同的三角尺拼成的图案如图所示.若连接BD,则图中等腰三角形的个数是()A.2 B.3C.4 D.52.如图,在△ABC中,AB=3,∠BAC=100°,∠B=40°,点D在BC的延长线上,且∠D=20°,则CD的长是.

3.如图,上午8时,一船从A处出发以20海里/时的速度向正北方向航行,上午11时,到达B处,从A,B望灯塔C分别测得∠NAC=44°,∠NBC=88°,求从B处到灯塔C的距离.4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥BA于点D,AE平分∠BAC交CD于点F,交BC于点E,你能证明△CEF是等腰三角形吗?5.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC边上的一点,∠B=30°,∠DAB=45°.(1)求∠DAC的度数;(2)求证:DC=AB.6.如图,已知O是△ABC的∠ABC,∠ACB的平分线的交点,OD∥AB交BC于点D,OE∥AC交BC于点E.若BC=10cm,求△ODE的周长.7.如图,在△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D,∠BAD=45°,AD与BE交于点F,连接CF.求证:BF=2AE.8.如图,在△ABC中,AB=AC,在AB上取一点E,在AC延长线上取一点F,使BE=CF,EF交BC于点G.求证:EG=FG.二、创新应用★9.如图,在△ABC中,D,E分别是AC,AB上的点,BD,CE交于点O,给出下列四个条件:①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD;④OB=OC.(1)上述四个条件中,哪两个条件可以判断△ABC是等腰三角形?(用序号写出所有情形)(2)选择(1)中的一种情形,证明△ABC是等腰三角形.

知能演练·提升一、能力提升1.A2.33.解∵∠C=∠CBN-∠A=88°-44°=44°,∴∠C=∠A.∴BC=BA=20×(11-8)=60(海里).故从B处到灯塔C的距离是60海里.4.解能.证明:∵CD⊥BA,∴∠AFD+∠DAF=90°.∵∠ACB=90°,∴∠CEF+∠EAC=90°.∵AE平分∠BAC,∴∠DAF=∠EAC.∴∠CEF=∠AFD=∠CFE.∴CF=CE.∴△CEF是等腰三角形.5.(1)解∵AB=AC,∴∠B=∠C=30°.∵∠C+∠BAC+∠B=180°,∴∠BAC=180°-30°-30°=120°.∵∠DAB=45°,∴∠DAC=∠BAC-∠DAB=120°-45°=75°.(2)证明∵∠DAB=45°,∴∠ADC=∠B+∠DAB=75°,∴∠ADC=∠DAC,∴DC=AC.∴DC=AB.6.解∵BO平分∠ABC,∴∠ABO=∠DBO.又OD∥AB,∴∠ABO=∠DOB,∴∠DBO=∠DOB,∴OD=BD.同理OE=CE.∵BC=10cm,∴△ODE的周长为OD+DE+OE=BD+DE+EC=BC=10(cm).7.证明∵AD⊥BC,∠BAD=45°,∴△ABD是等腰直角三角形,∴AD=BD.∵BE⊥AC,AD⊥BC,∴∠CAD+∠ACD=90°.∠CBE+∠ACD=90°,∴∠CAD=∠CBE.在△ADC和△BDF中,∠∴△ADC≌△BDF(ASA),∴BF=AC.∵AB=BC,BE⊥AC,∴AC=2AE,∴BF=2AE.8.证明如图,过E作EM∥AC,交BC于点M.∵EM∥AC,∴∠E