第4章 相交线和平行线期末复习（知识清单）（学生版）-华东师大版(2024)七上

第4章相交线和平行线一、相交线1、邻补角与对顶角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：图形顶点边的关系大小关系对顶角112∠1与∠2有公共顶点∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线对顶角相等即∠1=∠2邻补角443∠3与∠4有公共顶点∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线。∠3+∠4=180°注意点：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。2、垂线⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。⑵垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(与平行公理相比较记)⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。3、垂线的画法：⑴过直线上一点画已知直线的垂线；⑵过直线外一点画已知直线的垂线。注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。画法：⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，⑶三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线。4、点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离记得时候应该结合图形进行记忆。PABO如图，PO⊥AB，同P到直线AB的距离是PO的长。PO是垂线段。PO是点PPABO现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念分析它们的联系与区别⑴垂线与垂线段区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度。联系：具有垂直于已知直线的共同特征。(垂直的性质)⑵两点间距离与点到直线的距离区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间。联系：都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离。⑶线段与距离距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同。二、平行线1、平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线与直线互相平行，记作∥。2、两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行。因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，则两直线平行；③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）3、平行公理――平行线的存在性与惟一性经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行4、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行如左图所示，∵∥，∥∴∥注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这两条直线都平行。5、三线八角1212345678如图，直线被直线所截①∠1与∠5在截线的同侧，同在被截直线的上方，叫做同位角（位置相同）②∠5与∠3在截线的两旁（交错），在被截直线之间（内），叫做内错角（位置在内且交错）③∠5与∠4在截线的同侧，在被截直线之间（内），叫做同旁内角。④三线八角也可以成模型中看出。同位角是“A”型；内错角是“Z”型；同旁内角是“U”型。6、如何判别三线八角判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”，有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看，有时又需要把图形补全。如图，判断下列各对角的位置关系：⑴∠1与∠2；⑵∠1与∠7；⑶∠1与∠BAD；⑷∠2与∠6；⑸∠5与∠8。我们将各对角从图形中抽出来（或者说略去与有关角无关的线），得到下列各图。如图所示，不难看出∠1与∠2是同旁内角；∠1与∠7是同位角；∠1与∠BAD是同旁内角；∠2与∠6是内错角；∠5与∠8对顶角。ABABC17ABF21ABABCD26ADBF1BBAFE58C7、两直线平行的判定方法方法一两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简称：同位角相等，两直线平行方法二两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行简称：内错角相等，两直线平行方法三两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行ABABCDEF1234几何符号语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）注意：⑴几何中，图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系，常由“位置关系”决定其“数量关系”，反之也可从“数量关系”去确定“位置关系”。上述平行线的判定方法就是根据同位角或内错角“相等”或同旁内角“互补”这种“数量关系”，判定两直线“平行”这种“位置关系”。⑵根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有两种：①如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行。②如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行。三、平行线的性质1、平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；ABCDABCDEF1234几何符号语言：∵AB∥CD∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）∵AB∥CD∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）2、平行线的性质与判定①平行线的性质与判定是互逆的关系两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补。其中，由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质。易错点1：对顶角与邻补角识别混淆典型错误：在复杂相交线图形中，误将有公共边但不互补的角当作邻补角；把不满足两边反向延长线关系的角错认成对顶角。例如，在三条直线相交形成多个角的图形中，将仅相邻但角度和不为180°的两个角判定为邻补角。注意事项：对顶角需同时满足“有公共顶点”和“两边互为反向延长线”，二者缺一不可；邻补角必须同时具备“有公共顶点” “有一条公共边” “另一边互为反向延长线”且两角之和为180°。识别时要仔细观察角的位置关系和数量关系。易错点2：垂线性质应用错误典型错误：误以为在空间中过一点也只有一条直线与已知直线垂直；在计算点到直线距离时，未选取垂线段长度，而是随意选取斜线段长度。比如在长方体模型中，错误认为过顶点与棱垂直的直线唯一（忽略空间中不同平面的垂线）。注意事项：“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的性质限定在同一平面内；点到直线的距离是垂线段的长度，找距离时需先确定垂足位置，不能用斜线段代替。易错点3：三线八角判断失误典型错误：在非“三线八角”标准图形中，强行套用同位角、内错角、同旁内角的定义。例如，当两条直线未被第三条直线所截形成封闭图形时，错误认定某些角为同位角；混淆同位角和同旁内角的位置特征，将形如“U”的同旁内角错看成同位角。注意事项：识别三类角的前提是两条直线被第三条直线所截；同位角在截线同侧且在被截直线同一方（“F”型），内错角在截线两侧且在被截直线之间（“Z”型），同旁内角在截线同侧且在被截直线之间（“U”型），要结合图形形状辅助判断。易错点4：平行线定义理解偏差典型错误：忽略“在同一平面内”的前提条件，认为空间中不相交的直线就是平行线；将重合的两条直线错误判断为平行线。比如在正方体中，认为不在同一平面的两条不相交棱是平行关系。注意事项：平行线定义明确限定于同一平面，在立体空间中不相交的直线可能既不平行也不相交（异面直线）；重合的直线是同一条直线，不属于平行关系。易错点5：平行线判定与性质混淆典型错误：已知两直线平行，用判定定理推导角的关系（如由AB∥CD，错误通过“同位角相等”证明∠1=∠5，实际应使用性质定理）；或已知角的关系，错误使用性质定理证明直线平行（如由∠1=∠5，用“两直线平行，同位角相等”得出AB∥CD）。注意事项：判定定理是通过角的数量关系（相等或互补）推出直线的位置关系（平行）；性质定理是在已知直线平行的前提下，推导角的数量关系。使用时需先明确已知条件是线的关系还是角的关系，再选择对应定理。易错点6：平行公理推论使用不当典型错误：在未明确直线是否在同一平面的情况下，直接运用“平行于同一条直线的两条直线互相平行”。例如在三棱柱中，三条棱分别平行于不同方向，错误应用该推论得出棱与棱平行的结论。注意事项：平行公理推论成立的条件是所有直线在同一平面内，在立体图形或未明确平面条件时，不能随意使用该推论判断直线平行关系。易错点7：复杂图形中的线角关系混乱典型错误：在多个相交线和平行线组合的复杂图形中，无法准确分离出基本模型（如“三线八角”）；在计算角度时，混淆不同直线形成的同位角、内错角，导致角度推导错误。注意事项：面对复杂图形，可通过标记关键角和线、分离基本图形的方法简化问题；计算角度时要明确角是由哪两条直线被哪条直线所截形成，避免跨模型错误推导。易错点8：实际问题建模错误典型错误：在应用平行线知识解决实际问题（如测量、建筑设计）时，忽略实际场景限制，直接套用定理。例如在不规则地形测量中，未考虑地面不平对平行线判定的影响，错误使用平行线性质计算距离。注意事项：将数学知识应用于实际问题时，需结合具体情境分析，验证定理使用的前提条件是否满足，必要时对实际情况进行合理抽象和简化。题型01对顶角与邻补角识别混淆1．（21-22七年级下·河北秦皇岛·期中）下列各图中，与是对顶角的是（

）A． B．C． D．2．（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图，直线、相交形成四个角，已知，则的度数是．3．（24-25七年级下·陕西安康·期中）如图，已知直线，，相交于点O，，，则．4．（2025·河南·中考真题）如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为（

）A． B． C． D．5．（24-25七年级下·甘肃定西·期中）如图，直线、相交于点，把分成两部分．(1)图中的对顶角为______，的邻补角为______；(2)若平分，，求和的度数．6．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）如图，直线与相交于点O，，，则的度数是（

）A． B． C． D．题型02垂线性质应用错误7．（天津市河西区2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷）如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（

）A．42° B．32° C．22° D．18°8．（24-25七年级下·全国·期中）如图，连接直线l外一点P与直线l上各点O，，，，…，其中，这些线段，，，，…中，最短的线段是（

）A． B． C． D．9．（云南省临沧地区中学等学校2024—2025学年下学期5月大联考七年级数学试题）如图，直线，相交于点，，垂足为，平分，则的度数为（

）A． B． C． D．10．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，是斜拉桥结构示意图，其中索塔顶端距桥梁的高度为米，拉索长度都为480米．为提升桥梁的稳定性，需在桥梁上A，B两点间（不含点A，B，C）的位置与索塔顶端间添加拉索，增加的拉索长度可以是（

）米A．280 B．288 C．420 D．50011．（陕西省陕西多校期末检测2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题）如图，直线，相交于点O，过点O作，且平分，已知，则的度数为（

）A． B． C． D．12．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，直线，相交于点，，垂足为点，，求的度数．题型03根据平行线的性质探究角的关系13．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，已知，与相交于点，与相交于点，则下列说法正确的是（

）①若，则；②若，则；③；④．A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④14．（24-25八年级下·河南许昌·期中）某同学结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图所示，已知，点E的位置移到上方，点F在延长线上，与的平分线相交于点G，则与之间的数量关系是．15．（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图，若则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．16．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，若，，则与的关系为（）A． B．C． D．题型04根据平行线的性质求角的度数17．（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）如图，若，则，，之间的关系式为．18．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，，思考解决下列问题：试探究．19．（24-25七年级下·全国·期中）如图所示，平分，且，若，则等于（）A． B． C． D．20．（24-25七年级下·全国·期中）如图，直线，一副三角板按如图1摆放，其中，，．保持三角板不动，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且，则经过秒边与三角板的一条直角边（边，）平行．21．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图，已知，，，则．22．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，，一块三角板的顶点在直线上，边、分别交直线于、两点．，，．点在的平分线上，连接，且，若，则的度数为(

)A． B． C． D．23．（24-25七年级下·重庆云阳·期末）如图，，连接，点为线段上一点，若，，则．24．（22-23七年级下·陕西咸阳·期末）如图，，连接，若平分，，，则的度数是．题型05平行线的性质在生活中的应用25．（2025·河北·中考真题）榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则（

）A． B． C． D．26．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（

）A．第一次向右拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐C．第一次向左拐，第二次向右拐 D．第一次向左拐，第二次向左拐27．（2025·浙江·二模）如图，水平放置的长方体容器，容器里装有某溶液，光线射向容器液面，折射后光线由方向变成方向．若，则的度数为（

）A． B． C． D．28．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当，时，的度数为．29．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出，若，，则的度数为（）A． B． C． D．无法确定30．（21-22七年级下·新疆喀什·期中）一辆汽车在笔直的公路上行驶，在两次转弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么这两次转弯的角度可以是（

）A．先右转，再左转 B．先左转，再右转C．先左转，再右转 D．先右转，再右转题型06根据平行线判定与性质求角度31．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图，已知．(1)求证：；(2)若，求的度数．32．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，已知分别交、于点、，，，过点作，，求的度数．33．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，垂足为D，点E在上，，垂足为F．(1)求证：．(2)如果，且，求的度数．34．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知，与交于点，，，则的度数为多少？35．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，已知，为直线上的一点，为直线上的一点，连结，过点作的垂线分别交、的平分线于点、，在点整个运动过程中，当时，则．36．（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）如图，已知，，则=．题型07根据平行线判定与性质证明37．（24-25七年级下·江苏南通·期末）如图，已知，．(1)求证：；(2)利用此图形，试证明“三角形内角和为°”，即求证：．38．（24-25七年级下·安徽亳州·期末）如图，，点E在上，若是的角平分线，且，试说明，请补全证明过程，即在横线处填上结论或理由．证明：（已知），________（两直线平行，内错角相等）．是的角平分线（已知），________（角平分线定义），________（等式的基本事实）．（已知），（________）________（两直线平行，内错角相等）．．39．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，．(1)请说明的理由，完成下面的填空．解：因为，根据“”，得．所以．又因为，所以，即．根据“同旁内角互补，两直线平行”，得．再根据“”，得．(2)设，若，求的值．40．（24-25七年级下·天津和平·期末）如图，点C在线段上，点F在线段上，，．(1)求证：；(2)已知于点A．①若，求的度数；②若，则______（用表示）．41．（24-25七年级下·江西赣州·期末）课本再现如图1，点，，分别是三角形的边，，上的点，，，求证：．（1）请完成下列证明过程，并在括号内填上推理的根据．证明：，（

）．，（

）．．类比探究（2）如图2，若，，平分，，求．42．（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）已知，，求证：．题型08平行线四大模型综合43．（24-25六年级下·山东淄博·期末）如图，点是直线上一点，是直线上一点，是直线、之间的一点，连结，，且满足．(1)求证：；(2)如图，作，直线与的角平分线交于点．若，求的度数；(3)如图，平分，平分，，已知，求的度数．44．（24-25七年级下·河南省直辖县级单位·期中）【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想．(1)【建立模型】如图①②已知，点E在直线、之间，请分别写出与、之间的关系，并对图②中的结论进行证明．(2)【解决问题】如图是一盏可调节台灯，如图③为示意图．固定支撑杆底座于点与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，求的度数．(3)【拓展应用】如图④，已知和分别平分和，若，请直接写出的度数．45．（24-25七年级下·河南商丘·期末）综合与探究：【知识储备】构造平行线是初中数学常见