第12章 全等三角形期末复习（知识清单）（原卷版）-华东师大版(2024)八上

第12章全等三角形12.1命题、定义、定理与证明命题：数学中的命题是能判断真假的陈述句。一般形式为“如果...那么...”。定义：对某个概念进行明确说明，用以区分其他概念。定理：经过逻辑推理证明为真的命题。证明：通过一系列逻辑推理步骤确认某一命题的真实性。12.2三角形全等的判定全等三角形的判定条件：两个三角形全等表示它们可以完全重合。边角边（SAS）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。角边角（ASA）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。斜边直角边（HL）：在直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等。12.3等腰三角形等腰三角形的性质：两腰相等。底角相等。顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。等腰三角形的判定：如果一个三角形有两条边相等，则这个三角形是等腰三角形。如果一个三角形有两个角相等，则这个三角形是等腰三角形。12.4逆命题和逆定理互逆命题和互逆定理：原命题与其逆命题的关系应明确。线段垂直平分线：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。角平分线：角平分线上的点到角两边的距离相等。一、命题部分易错点：1学生可能难以区分命题与非命题，例如，他们可能会错误地认为描述性语言或疑问句是命题。2在理解真命题与假命题时，学生可能会混淆条件与结论，导致判断错误。二、定义、定理与证明部分易错点：1学生可能对定理和定义的理解不够深入，导致在证明过程中无法准确应用。2在证明过程中，学生可能会忽略某些已知条件或中间步骤，导致证明不完整或错误。三、全等三角形的判定条件易错点：1学生可能会混淆不同的判定条件，例如将边角边与角边角混淆。2在应用判定条件时，学生可能会忽略某些细节，如对应边或对应角必须完全相等。四、边角边、角边角、边边边、斜边直角边判定易错点：1在使用边角边判定时，学生可能会错误地认为只要两边及夹角相等，两个三角形就一定全等，而忽略了这两边必须是对应边。2在使用角边角判定时，学生可能会忽略角必须是两边的夹角这一条件。3边边边判定相对简单，但学生可能会在应用时忽略所有三边必须对应相等。4斜边直角边判定专用于直角三角形，学生可能会在非直角三角形中错误地应用此判定。五、等腰三角形的性质易错点：1学生可能会混淆等腰三角形的底角和顶角，导致在应用性质时出错。2学生可能会忽略等腰三角形的对称性，导致在解决问题时无法准确利用这一性质。六、等腰三角形的判定易错点：1在使用等腰三角形的判定定理时，学生可能会忽略条件中的“在同一个三角形中”这一前提。2学生可能会混淆等腰三角形的判定与性质，导致在证明过程中无法准确应用。七、互逆命题和互逆定理易错点：1学生可能会难以理解互逆命题的概念，即原命题的条件与结论互换后形成的命题。2在判断逆命题的真假时，学生可能会忽略对原命题的深入理解和分析。八、线段垂直平分线、角平分线易错点：1学生可能会混淆线段垂直平分线和角平分线的性质和应用场景。2在应用这些性质时，学生可能会忽略某些细节，如垂直平分线必须平分线段且垂直于该线段等。题型01真、假、逆命题1.下列命题是假命题的是（

）A．同位角相等，两直线平行B．C．经过同一平面内三点中的任意两点一定能画三条直线D．所有实数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示实数2.下列命题是真命题的是（

）A．相等的角是对顶角B．如果是线段的中点，那么C．若，则D．如果，那么点是的中点3.把“对顶角相等”，改写成“如果……那么……”的形式4.“如果，互为倒数，那么”的逆命题是命题（填“真”或“假”）．5.已知命题“等底等高的两个三角形的面积相等”．(1)此命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例．(2)写出此命题的逆命题，并判断此逆命题的真假．若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例．题型02全等三角形的性质1.如图，，，，则度数为（

）

A． B． C． D．2.如图，在中，于点D，E是上一点，若，，，则的周长为（

）A．24 B．23 C．22 D．263.如图，，若，，则等于．4.如图，其中点A，E，B，D在一条直线上，若，，则的长为．5.如图，在中，于点D，点E在边上，连接交于点F，．(1)若，，求的面积；(2)试判断与之间的位置关系，并说明理由．题型03全等三角形的判定——边角边1.如图，在方格纸上的图形中，以下说法正确的是（

）A． B．C． D．2.要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了如下测量方案：方案Ⅰ①如图1，选定点O；②连接，并延长到点C，使，连接，并延长到点D，使；③连接，测量的长度即可．方案Ⅱ①如图2，选定点O；②连接，并分别延长到点F，E，使；③连接，测量的长度即可．对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是（

）A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行3.如图，在中，，M、N、K分别是，，上的点，且，．若，则的度数为．

4.如图，表示两根长度相同的木条，若O是的中点，经测量，则容器的内径为．5.景德镇龙珠阁自唐以来，几度兴毁，成为反映景德镇千年历史的代表性建筑，琳琳想利用五一假期测量其底部宽度，A，B两点分别为底部的两端．因为A，B两点间的实际距离天法直接测量，琳琳设计出了如下方案：在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接，并延长到点C，连接，并延长到点D，使，，连接DC，测得（假设A，B，O，C，D均在同一平面上），请根据琳琳的方案，求A，B间的实际距离．题型04全等三角形的判定——边角边1.如图，在四边形中，，，连接．若，则四边形面积为（

）A．18 B．24 C．36 D．482.如图，在中，平分交于点，，过点作交于点，延长至点，连接，若，则的度数为（

）A． B． C． D．3.如图，在中，，，D是上一点，连接，过点A作，且，连接交于点F，若，则的长度为．4.如图，在中，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是．5.如图，在中，，分别是边，边上的高，与相交于点，且，连接．(1)试说明：；(2)试求的度数；(3)若点是的中点，则，试求的值．题型05全等三角形的判定——角边角与角角边1.如图，点C在的边上，用尺规作图：①以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交于点D，交于点E；②以点C为圆心，以的长为半径画弧，交于点F；③以点F为圆心，以的长为半径画弧，交前弧于点P；④作射线；

下列结论不一定正确的是（

）A． B． C． D．2.如图，五边形中，，，，M为边的中点，，，则五边形的面积为（

）．A．30 B．28 C．24 D．203.如图，点C，E分别为的边，上的点，，，则的度数为°．4.如图，在中，，点为线段上一点，连接，点关于的对称点为点，连接与线段交于点，当中有两个角相等时，．5.阅读下列材料，完成相应的任务全等四边形根据全等图形的定义可知：四条边分别相等、四个角也分别相等的两个四边形全等．在“探索三角形全等的条件”时，我们把两个三角形中“一组边相等”或“一组角相等”称为一个条件，智慧小组的同学类比“探索三角形全等的条件”的方法探索“四边形全等的条件”，进行了如下思考：如图，在四边形和四边形中，连接对角线，这样两个四边形全等的问题就转化为“”与“”的问题．若先给定的条件，只要再增加两个条件使“”即可推出两个四边形中“四条边分别相等、四个角也分别相等”，从而说明两个四边形全等．按照智慧小组的思路，小明对图中的四边形和四边形先给出如下条件：，，，小亮在此基础上又给出“，”两个条件，他们认为满足这五个条件能得到“四边形四边形”任务：(1)请根据小明和小亮给出的条件，请根据全等图形的定义说明四边形四边形的理由．(2)在材料小明所给条件的基础上，小颖又给出两个条件“，”．满足这五个条件（填“能”或“不能”）得到四边形四边形．题型06全等三角形的判定——斜边直角边1.如图，，，添加下列条件，仍不能判断的是（

）A． B． C． D．2.下列选项中，可以判定的是（

）A．，，B．，，C．，，D．，，3.如图，于点于点，且．若，则的大小为．4.如图，在中，，，垂足为点，若，，则和的面积之比为．5.如图，在中，，点在上，点在的延长线上，连接，且，．求证：．题型07等腰与等边三角形的性质与判定1.如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为（

）A．1 B．2 C．3 D．42.如图，在等边中，和分别是和边上的高，且相交于点，则的度数为（

）A． B． C． D．3.如图，在四边形中，，，，为上一动点，在运动过程中，与相交于点，当为等腰三角形时，的度数为．4.如图，在中，，以为边向外作等腰直角，连接，若，则．5.已知：为等边三角形，点D、E分别为、边上一点，、相交于点F，．(1)如图1，求的度数；(2)如图2，连接并延长，与相交于点G，点M为延长线上一点，，点N为延长线上一点，，，求证：；(3)在（2）的条件下（可使用备用图），若的面积为2，，直接写出点A到的距离与点N到的距离之和．题型08角平分线与线段垂直平分线结合1.如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点D，于点E，，交的延长线于点F．若，，则的长为（

）

A．1 B．2 C．3 D．42.如图，的角平分线与线段的垂直平分线交于点，过点作，，垂足交的延长线于点，交于点，若，，则的周长为（

）．A．32 B．34 C．22 D．163.在中，的角平分线与边的垂直平分线相交于点F，连接，若，，则的度数是．4.如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点，于点，，交的延长线于点．若，，则的长为．5.如图，ABC的外角平分线AD与边BC的垂直平分线交于点D，DF⊥CA，DG⊥AB，垂足分别为F、G．(1)求证：BG＝CF；(2)若AB＝18，AC＝6，求AF的长度．(3)直接写出∠ADB、∠ADC、∠ADG之间的数量关系．题型09全等模型（一线三等角，手拉手，倍长中线等）1.如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下结论不正确的是（

）

A． B． C． D．2.如图，和均为等腰直角三角形，且，点A、D、E在同一条直线上，平分，连接．以下结论：①；②；③；④．正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3.如图，边长为6的等边中，是上的中线且，点在上，连接，在右侧作等边，连接，则的周长最小值为．4.如图，和都是等边三角形，连接、交于点P，、与、分别交于M、N，则下列说法中：①；②；③当A、C、E三点共线时，；④点C在的角平分线上．正确的有．5.我们知道，如果一个三角形的两边长分别为，，其中，那么第三边长的范围为．小明提出问题：第三边上的中线长度与，有关系吗？经过思考、交流，找到解决思路：延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和需求的结果转化到同一个三角形中．如图1，延长至E，使得，连接，可得．(1)如图1，在中，是边上的中线，若，求的范围．(2)如图2，在中，是边上的中线，平分，交于点D．若，说明；(3)如图2，在（2）的条件下，若，直接用等式表示，之间满足的等量关系．题型10全等与等腰三角形动点求t1.如图，，，，点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），若存在某一时刻使与全等，则点Q的运动速度为（

）A． B． C．或 D．或2.如图，在中，，点从点出发，沿折线以每秒4个单位长度的速度向终点运动．点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度运动．两点同时出发，点停止时，点也随之停止。设点运动的时间为秒．当时，的值为（

）A．3.2 B．10 C．3.2或6 D．3.2或103.如图，于点，，，射线于点，一动点从点出发以2个单位秒沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，若点经过秒，与全等，则的值为秒．4.如图，在中，，，，直线经过点C且与边相交，动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的运动速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，设运动时间为t秒，则当时，与全等．5.如图，已知是边长为的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿、方向匀速运动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题．(1)_________；_________；（用含t的代数式表示）(2)如图①，点P与点Q运动的过程中，能否成为等边三角形？若能，请求出t的值；若不