第21章 二次根式期末复习（知识清单）（挖空版）-华东师大版(2024)九上

第21章二次根式知识点一、二次根式的相关概念和性质1.二次根式形如的式子叫做，如等式子，都叫做二次根式.特别说明：①二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.②次根式：形如的代数式叫做，其中若为偶数，则必须满足．2.二次根式的性质特别说明：①一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）.②中的取值范围可以是，即不论取何值，一定有意义.③化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.④与的异同不同点：中可以取，而中的必须取；=，=（）.相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=.3.最简二次根式（1）被开方数是；（2）被开方数中.满足上述两个条件的二次根式，叫做.如等都是最简二次根式.特别说明：最简二次根式有两个要求：①被开方数；②被开方数中每个因式的.✮化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用进行化简。（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们，然后把能的因数或因式开出来。4.同类二次根式几个二次根式化成后，，这几个二次根式就叫.特别说明：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.知识点二、二次根式的运算1.乘除法（1）乘除法法则：类型法则逆用法则二次根式的化简公式：二次根式的化简公式：特别说明：①当二次根式的前面有时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.②被开方数a、b一定是（在分母上时只能为正数）.如.（2）．乘法公式的推广：①；②；③．（3）．二次根式的分母有理化定义：在二次根式中，将无理数的的过程．方法：分子分母同时乘以（有理化因式是指相乘之后使分母变为有理数的因式）．①单项根式的分母有理化，同乘以．例：．②两项根式的分母有理化，同乘以．例：．2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.特别说明：二次根式相加减时，要先将各个二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.3.混合运算二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先，再，最后，有括号的先算括号里的（或先去括号）。✮二次根式比较大小的方法（1）平方法：若两个二次根式同号，则可先将两个二次根式分别，再根据比较实数大小的方法比较即可。如当时，若，则。（2）比较被开方数法：先把的正因数平方后移到根号内，计算出被开方数，再比较被开方数的大小，被开方数大的，其算术平方根也大。（3）作商法：同号两数，比较商与1的大小，如当都是正数时，①.若，则;②.若，则;③.若，则。（4）倒数法：若，则与互为倒数。因此比较大小时，可把转化为，从而转化为分母大小的比较，分母大的反而小。✮估值估值通常在无理数中使用。一般采用确定无理数所在的范围，具体地说，先确定无理数的被开方数，找出的两个能开得尽方的整数，对其进行开方，即可确定这个无理数在那两个整数之间。4.二次根式的化简求值（1）二次根式的化简求值，一定要．（2）二次根式运算的最后，注意，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．【易错点一】混淆二次根式与算术平方根的概念问题：误认为所有带根号的式子都是二次根式，或混淆与平方根的区别例题1：下列式子中，是二次根式的是（）

A.

B.

C.

D.答案与解析：

C（A中被开方数为负；B是立方根；D表示平方根含±）。例题2：若的算术平方根是3，则______。答案与解析：，得出，注意算术平方根的非负性）。【易错点二】忽略二次根式有意义的条件问题：未考虑被开方数必须非负（），导致自变量取值错误例题1：函数的自变量范围是（）

A.

B.且

C.

D.答案与解析：

B（需同时满足且分母）。例题2：若在实数范围内有意义，则的最小整数值是______。答案与解析：，（由得出）。【易错点三】二次根式化简时符号错误问题：化简时未分类讨论，直接写成（正确应为）例题1：化简的结果是（）

A.

B.

C.

D.答案与解析：

B（）。例题2：若，则______。答案与解析：，（，原式）。【易错点四】二次根式运算中合并同类项错误问题：误将不同类二次根式（如与）直接合并例题1：计算的结果是（）

A.

B.

C.

D.答案与解析：

B（，合并为）。例题2：下列计算正确的是（）

A.

B.

C.

D.答案与解析：

C（，相减为；A、B、D均运算错误）。【易错点五】分母有理化时漏乘或符号错误问题：有理化时未对分子分母同乘共轭根式，或漏负号例题1：分母有理化后为（）

A.

B.

C.

D.答案与解析：

B（分子、分母同乘，得）。例题2：若，则______。答案与解析：（有理化得，代入后原式）。【易错点六】混合运算顺序错误问题：忽略"先乘除后加减，有括号先算括号内"的规则例题1：计算：错误做法：

正确解析：

先算乘法：，再算加法：。例题2：计算：错误做法：

正确解析：

先算括号：，再算除法：，最后加法：。【易错点七】比较大小方法不当问题：未通过平方、倒数或作差法科学比较例题1：比较与的大小。错误做法：直接估算得错误结论。

正确解析：

取倒数：，

∵，∴。例题2：比较与的大小。解析：

平方：，，∵，∴。【易错点八】求字母范围忽略隐含条件问题：在复合根式中遗漏多个约束条件例题1：代数式有意义的范围是______。解析：

需同时满足：解得，解得，解得（在内自动满足），

∴。例题2：函数的取值范围是______。解析：

需满足：解得，解得，

∴。【易错点九】性质应用忽略条件问题：错误应用或（忽略的条件）例题1：化简。错误做法：（无意义）。

正确解析：

直接计算：（性质要求被开方数非负）。例题2：计算。解析：

∵，∴（不可拆为）。【易错点十】解方程时忽略检验问题：解含根式方程时未检验增根或忽略自变量取值例题1：解方程：错误做法：平方后得或，未检验。

正确解析：

检验：时，左边，右边（舍）；时，左边，右边（成立）。例题2：解方程：解析：

移项平方得，检验：左边，右边（成立）。【核心要点总结】解决二次根式问题需紧扣三大核心：①自变量取值优先始终牢记被开方数必须≥0，这是二次根式存在的前提条件。②性质条件严审应用公式时，必须检查公式成立的前提条件（如a≥0,b>0等）。③运算规范严格遵守运算顺序，正确合并同类项，合理使用分母有理化。通过例题对比强化易错点辨析，养成检验习惯，避免概念混淆与步骤跳步。重难点01二次根式的定义（1）二次根式的定义：形如的式子.（2）二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0.一．二次根式的定义【典例1】下列式子一定是二次根式的是（）A． B． C． D．【典例2】定义：若两个二次根式a，b满足ab＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭（è）二次根式．问题解决：（1）若a与2是关于6的共轭二次根式，则a＝；（2）若4+与8﹣m是关于26的共轭二次根式，求m的值【典例3】已知是一个正整数，则正整数a的最小值为（）A．0 B．6 C．3 D．2二次根式有意义的条件【典例1】若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D．x＜2【典例2】如果y＝，则2x+y的值是．【典例3】使等式成立的条件时．【典例4】已知实数x，y，a，b满足+＝×．求a+b的值及7x﹣y2023的值．重难点02二次根式的性质与化简【典例1】化简二次根式的结果为（）A．﹣2a B．2a C．2a D．﹣2a【典例2】若，则（）A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3 D．b≤3【典例3】已知≈1.414，则的近似值为（结果保留小数点后两位）．【典例4】化简：，．【典例5】已知的算术平方根是，且,则的平方根是.【典例6】三边分别为、、，为斜边，则代数式的化简结果为．重难点03最简二次根式满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：=1\*GB3①一般地，被开方数不含分母，即被开方数是整数或整式；②被开方数中不含有能开方的因数或因式．【典例1】下列各式中是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【典例2】化简成最简二次根式：；．【典例3】二次根式中最简二次根式是．【典例4】将式子化为最简二次根式．重难点04二次根式的乘除法（1）二次根式的乘法：（2）二次根式的除法：【典例1】计算的结果是（）A． B． C． D．【典例2】计算×的结果是．【典例3】计算的结果正确的是A．1 B．2.5 C．5 D．6【典例4】已知，那么的值是．【典例5】已知：，．求下列各式的值．（1）xy；（2）x2﹣xy+y2．

重难点05商的算术平方根与分母有理化（1）商的算术平方根的性质：（2）分母有理化：，分子分母所乘的式子叫做分母的有理化因式。【典例1】化简：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）÷．【典例2】若M，N分别代表两个多项式，且M+N＝2a2，M﹣N＝2ab．（1）求多项式M和N．（2）当a＝+1，b＝﹣1时，求分式的值．

【典例3】已知a＝，b＝2+，则a，b的关系是（）A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．互为有理化因式【典例4】下列二次根式中，与互为有理化因式的是（）A． B． C． D．【典例5】阅读下列材料，然后解答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如：，，一样的式子．其实我们还可以将其进一步化简：＝＝：（一）＝＝：（二）＝＝＝：（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：＝＝＝＝．（四）请解答下列问题：（1）请用不同的方法化简．①参照（三）式得＝；②参照（四）式得＝＝＝；（2）化简：++；（保留过程）（3）猜想：+++…+的值．（直接写出结论）【典例6】【阅读材料】对于一些特殊类型的根式，我们有一些常用的化简计算方法．如：，这是利用平方差公式进行化简运算的思路．除此之外，我们还可以用“平方之后再开方”的方式来化简，即运用性质＝|a|．如：对于，设．由，可知x＞0．由，解得．即．【学以致用】请你根据以上介绍的方法，化简．

重难点06同类二次根式同类二次根式的概念：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。【典例1】下列二次根式中与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．【典例2】已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为（）A．16 B．0 C．2 D．不确定【典例3】若最简根式与是同类二次根式，则m＝．重难点06二次根式的加减法（1）二次根式的加减运算法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并。（2）具体步骤：①若式子有括号，按照去括号的方法去括号。②对二次根式进行化简。③合并同类二次根式。【典例1】如果与的和等于3，那么a的值是（）A．0 B．1 C．2 D．3【典例2】）计算下列各题；；（2）【典例3】计算：．【典例4】计算：．【典例5】计算：（1）3﹣5+4；（2）﹣；（3）+﹣；（4）﹣（3+）．

重难点07二次根式的混合运算二次根式的混合运算法则：同有理数的混合运算法则相同，先去乘方，再算乘除，最后算加减。有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。若能用乘法公式计算的用乘法公式计算。【典例1】计算（1）；（2）．【典例2】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如3+2＝（1+）2.善于思考的小明进行了以下探索：设a+b＝（m+n）2（其中a，b，m，n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．故a＝m2+2n2，b＝2mn，这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝，b＝；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：+＝（+）2；（3）若a+4＝（m+n）2，且a，m，n均为正整数，求a的值．

【典例3】计算：（1）；（2）；（3）．重难点08二次根式的化简求值（1）二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．（2）二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．【典例1】已知，，求．

【典例2】先化简，再求值：a+，其中a＝2020．如图是小亮和小芳的解答过程．（1）的解法是错误的；错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：；（2）先化简，再求值：a+2，其中a＝﹣2．【典例3】已知a＝，b＝．求：（1）a2b﹣ab2的值；（2）a3﹣5a2﹣6a﹣b+2015的值．

【典例4】先阅读下列的解答过程，然后作答：形如的化简，只要我们找到两个数、使，，这样，，那么便有．例如：化简．解：首先把化为，这里，；由于，，即，，．由上述例题的方法化简：（1）．（2）．（3）．

【典例5】定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：已知，求的值，可以这样解答：因为，所以．（1）已知：，求：①＝；②结合已知条件和第①问的结果，解方程：；（2）代数式中x的取值范围是，最大值是，最小值是；（3）计算：．

【典例6】设，求不超过的最大整数．重难点08二次根式的应用【典例1】如图，长和宽分别是a，b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．（1）用含a，b，x的代数式表示纸片剩余部分的面积；（2）当a＝20+2，b＝20﹣2，x＝，求剩余部分的面积．【典例2】如图，正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32．（1）求正方形ABCD和正方形ECFG的边长；（2）求阴影部分的面积．

【典例3】秦九韶（1208年﹣1268年），字道古，汉族，生于普州安岳（今四川省安岳县）人，祖籍鲁郡（今河南范县）．南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，是一位既重视理论又重视实践，既善于继承又勇于创新的世界著名数学家．他所提出的大衍求一术（中国剩余定理）和正负开方术及其名著《数书九章》，是中国数学史、乃至世界数学史上光彩夺目的一页，对后世数学发展产生了广泛的影响．他写的《数书九章》序堪称一篇奇文．秦九韶的数学成果丰硕，其中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果统称海伦﹣秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a、b、c，记p＝，那么三角形的面积为：s＝．（1）在△ABC中，BC＝4，AC＝AB＝3，请用上面的公式计算△ABC的面积．（2）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝AB＝7，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E．求BE的长．

【典例4】阅读理解：二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．例如：化简．解：将分子、分母同乘以得：．类比应用：（1）化简：；（2）化简：．拓展延伸：宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD的宽AB=1．（1）黄金矩形ABCD的长BC=；（2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论；（3）在图②中，连结AE，则点D到线段AE的距离为．

【典例5】阅读下面材料并解决有关问题：（一）由于，所以，即，并且当时，；对于两个非负实数a，b，由于，所以，即，所