第24章 解直角三角形（高效培优单元测试·提升卷）（教师版）-华东师大版(2024)九上

第24章解直角三角形（高效培优单元测试·提升卷）（考试时间：100分钟试卷满分：150分）一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．的值等于（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】本题考查特殊角的三角函数值，直接根据特殊角的三角函数值得出答案．【详解】解：，故选：D．2．如图，在平面直角坐标系中，点，与轴正半轴的夹角为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】过P作轴于N，轴于M，根据点P的坐标求出和，解直角三角形求出即可．【详解】解：过P作轴于N，轴于M，则，∵点，∴，，，∴，故选：A．【点睛】本题考查了点的坐标和解直角三角形，能求出和的长是解此题的关键．3．在中，，那么下列结论中错误的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】此题考查锐角三角函数的定义（锐角为自变量，以比值为函数值的函数），根据直角三角形中三角函数的求法得出答案．【详解】解：如图：、，则，故此选项结论错误，符合题意；、，则，故此选项结论正确，不符合题意；、，则，故此选项结论正确，不符合题意；、，则，故此选项结论正确，不符合题意．故选：A．4．如图，在中，，，，分别是，，的对边，则下列式子正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据余弦、正切的定义逐一判断即可，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．【详解】解：如图，、，原选项错误，不符合题意；、，原选项错误，不符合题意；、，原选项错误，不符合题意；、，原选项正确，符合题意；故选：．5．如图，在中，，于D，若，则的值是（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握锐角的正切定义．由余角的性质推出，得到，因此，由，求出，于是得到．【详解】解：∵，于D，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故选：B．6．如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了格点与勾股定理，锐角三角函数的计算，根据题意，作，运用勾股定理逆定理可得是直角三角形，再根据锐角三角函数的计算即可求解，掌握格点与勾股定理，正弦函数的计算方法是解题的关键．【详解】解：如图所示，过点作于点，∴根据格点可得，，∴，即是直角三角形，，∴在中，，，，故选：B．7．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度，如果某物体从地面A处传送到离地面高的处，那么该物体所经过的路程是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握解直角三角形的方法是解题的关键．首先根据坡度求出，再利用勾股定理求出即可得结论．【详解】解：如图：由题意可得：，∵斜坡的坡度，∴，即：，解得：，由勾股定理得：(米)．故选B．8．如图，正方形的两边、分别在y轴、x轴上，点在边上，则的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了求正弦值，由正方形性质和点可知正方形的边长为10，，，继而求出，由即可求解．【详解】解：∵在正方形中，，∴，∵，∴正方形的边长为10，即，，，∴，∴，故选D．9．如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L水平距离为，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为，则这枚火箭此时的高度为（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，仰角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．根据正切的定义即可求解．【详解】解：在中，，，∴∴．故选：D．10．在锐角中，于点，若，，则的度数是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查解直角三角形,根据题意画出图形,令，勾股定理求得，根据等面积法求得，根据，即可求解．【详解】解：如图所示，，，则令，，．在中，，同理可得，．过点作的垂线，垂足为，则，．在中，，．故选：B．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．）11．计算：________．【答案】##0.25【解析】【分析】本题考查了特殊角三角函数值，根据特殊角三角函数值，可得答案．熟记特殊角三角函数值是解题关键．【详解】解：；故答案为：．12.如图，公路与互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，的长为，则，两点间的距离为______．【答案】5【解析】【分析】本题考查勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，先根据勾股定理求出长，然后根据斜边上的中线计算是解题的关键．【详解】解：由题可得：，又∵M是的中点，∴，故答案为：5．13.如图，某商场自动扶梯的坡度，过点作垂足为C．若的长为10米，则高度为_______米．【答案】4【解析】【分析】根据坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比计算即可．【详解】解：∵自动扶梯的坡度，∴，∵，∴，故答案为：4．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．14．如图，河坝横断面迎水坡的坡度为，则坡角的度数为______．【答案】##30度【解析】【分析】本题考查的是解直角三角形的应用——坡度问题，掌握坡度的概念是解题的关键．根据坡度的概念得、利用特殊角的三角函数值解答即可.【详解】解：∵坡的坡度为，∴，∵，且，∴．故答案为：．15．如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到，则的值是_________．【答案】【解析】【分析】如图所示，补充一个与已知相同的正六边形，根据正六边形的内角为，设正六边形的边长为1，求得，根据正切的定义，即可求解．【详解】解：如图所示，补充一个与已知相同的正六边形，∵正六边形对边互相平行，且内角为，∴

过点作于，∴设正六边形的边长为1，则，，∴故答案为：．【点睛】本题考查了正六边形的性质，解直角三角形，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．16．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，连接，，若，，则的值为______．【答案】【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，现根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得到，即可得到，然后在中根据计算是解题的关键．【详解】∵，，∴，∵，∴，即，∴∴，在中，．三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本题8分）如图，某滑雪场有一坡度为的滑雪道，滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为100米，求滑雪道长度．【答案】滑雪道长度为260米【解析】【分析】本题考查的是直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．根据坡度的概念求出，再根据勾股定理求出．【详解】解：∵滑雪道的坡度为，∴，∵米，∴米，由勾股定理得：（米），答：滑雪道AC长度为260米．（本题8分）如图，沿方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从上的一点M取．另一边开工点N在直线上，求的长．（结果保留根号）．【答案】【解析】【分析】本题考查了勾股定理应用，涉及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先求出，然后根据含30度角的直角三角形求出，最后根据勾股定理求出结果即可．【详解】解：又，，∵，∴，．答：的长为．19．（本题8分）春运期间的一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长，拉杆最大伸长距离，点到地面的距离，旅行箱与水平面AE成角，求拉杆把手处到地面的距离（结果保留根号）．【答案】【解析】【分析】此题考查了三角函数的基本概念，主要是正弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．作于点，在直角中利用三角函数即可求得的长，再加上的长度即可求解．【详解】解：作于点．在直角中，．，．则拉杆把手处到地面的距离是：．20．（本题8分）如图，在中，于点，，，．（1）求的大小；（2）若点，分别为，的中点，求的长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理：（1）根据等腰三角形的判定可得，在中，可得，即可求解；（2）根据直角三角形的性质可得，再由三角形中位线定理，即可求解．【小问1详解】解：∵，，∴，∴，在中，∵，∴．【小问2详解】解：∵，，∴，∴，∵点，分别为，的中点，∴．21．（本题8分）“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗．请说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73）【答案】此车没有超速，理由见解析．【解析】【分析】根据题意结合锐角三角函数关系得出BH，CH，AB的长进而求出汽车的速度，进而得出答案．【详解】解：此车没有超速．理由：过C作CH⊥MN，∵∠CBN=60°，BC=200米，∴CH=BCsin60°=200×=100（米），BH=BCcos60°=100（米），∵∠CAN=45°，∴AH=CH=100米，∴AB=100﹣100≈73（m），∵60千米/小时=m/s，∴=14.6（m/s）＜≈16.7（m/s），∴此车没有超速．【点睛】本题考查勾股定理以及锐角三角函数关系的应用．22．（本题10分）某校九年级数学兴趣小组在陈老师的指导下开展项目式学习，小明设计了一个测量方案，具体过程如下：任务：测量旗杆的高度；工具：皮尺，测角仪；示意图：如图，表示旗杆，小明的目高，，．测量数据：，从点测得旗杆顶端的仰角．（1）请你根据上述方案及数据，求旗杆的高度（结果精确到）；（参考数据：，）（2）请你帮小明再设计一个测量方案，并求出旗杆的高度．要求：①从皮尺、标杆、镜子中选择合适的测量工具；②画出图形，写出已知值、测量值；③利用解直角三角形或相似三角形的知识，求旗杆的高度．注：测量得到的线段长度用字母，，，…表示．【答案】（1）旗杆的高度约为（2）测量方案一见解析，旗杆的高度为【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确作出辅助线，构造出直角三角形模型是解决问题的关键．（1）过点作于点，在△中，利用代数求解即可；（2）测法一：测量工具：皮尺，标杆，测量数据：，，如图2，过点作于点，交于点，求出，，，证明出，得到，然后代数求解即可；测法二：测量工具：皮尺，标杆，测量数据：影长，影长，如图，证明出，得到，然后代数求解即可；测法三：测量工具：皮尺，镜子，测量数据：，，如图，证明出，得到，然后代数求解即可．【小问1详解】如图，过点作于点．∵，，∴，．在△中，∵，∴，∴．答：旗杆的高度约为．【小问2详解】测法一：测量工具：皮尺，标杆．如图2，表示旗杆，小明的目高，标杆，点，，在同一水平线上，点，，在同一条直线上，且，，．测量数据：，．如图，过点作于点，交于点．∵，，，∴，∵，∴，∴，，，和中，∵，，∴，∴，即，解得，∴，即旗杆的高度为；测法二：利用“在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比”原理测量，测量工具：皮尺，标杆．如图，表示旗杆，标杆，点，，，在同一条水平线上，，．测量数据：影长，影长．∵太阳光线是平行光线，∴，∵，∴，∴，即，∴．测法三：利用“光的反射原理”测量．测量工具：皮尺，镜子．如图，表示旗杆，点表示镜子，小明的目高，，．测量数据：，．∵反射角入射角，∴，∵，，∴，∴，∴，即，∴．23．（本题10分）综合实践活动中，小明想观测底部无法到达的目标P的仰角．他自制一种测角仪，将细线一端固定在图1的量角器圆心处，另一端系小重物．测量时，使支杆（高度为米）、量角器刻度线与铅垂线相互重合，然后按图2所示，绕点转动量角器，使观测目标与直径两端点，共线，小明通过量角器的刻度直接读取的度数，得到目标的仰角的度数．（1）直接用含的代数式表示的度数；（2）如图3所示的皮尺，它的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）．请你帮助小明利用解直角三角形的知识求某座山峰的高度，写出你的测量步骤及求解过程．要求：测量得到的线段用字母a，b，c…表示，角用，，…表示；测量次数不超过4次．【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，恰当构建直角三角形是解题关键．（1）根据图形和同角的余角相等可以说明理由；（2）分别用自制测角仪测出两次不同位置山峰的仰角，再测出两次位置的距离，利用解直角三角形的知识即可求出山高．【小问1详解】解：，，，；【小问2详解】解：如图所示，F，K，B在同一直线上，为山高，于M，分别在F，K处测出山峰的仰角为、；测出、，，，，，所以，即，，．24．（本题13分）三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远，其中有一题是数学史上有名的测量问题，今译如下：如图1，为底部H不可到达的一座山峰，A为山峰的最高点，现要测量山峰的最大高度．立两根高三丈的标杆和，两竿相距步，D，B，H成一线，从退行123步到F点，人目着地观察A点，A，C，F三点共线；从退行127步到G点，从G点看A点，A，E，G三点也共线，试算出山峰的高度及的距离．（古制1步尺，1里=180丈尺步，结果用步来表示）解：∵，∴，∴________，又∵，∴_______，∴，又∵，∴，即，∴（步）又∵，∴，（步）（1）上述的测量问题，刘徽利用的几何知识是_______．请补全上述求解过程中所缺的内容；（2）爱思考的小明想利用解直角三角形的知识，使用皮尺和自制测量仪（如图2，图3），通过测量长度、角度等几何量，测量一个海岛中的山峰高度．现已画出测量示意图如图4，请写出图中你认为小明应该测量的几何量（长度用字母a，b，c…表示，角度用…表示），并求出此座山峰的高度．工具说明：①如图2，皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）．②如图3，自制测角仪的功能是测量角的大小，即将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G．测量时，使支杆（高度为1．5米）、量角器刻度线与铅垂线相互重合，绕点O转动量角器，使观测目标P与量角器直径两端点A，B共线，此时目标P的仰角．【答案】（1）相似三角形的对应边成比例；；；（2）需