第24章 解直角三角形重难点检测卷（教师版）-华东师大版(2024)九上

第二十四章解直角三角形重难点检测卷注意事项：本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共23题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置选择题（10小题，每小题2分，共20分）1．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）在中，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的表示是解题的关键，根据题意设，，根据勾股定理求出，最后根据锐角三角函数的定义进行计算即可．【详解】解：在中，，，∴，设，，由勾股定理得：，∴，故选：B．2．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）在中，，若，则的正切值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，掌握直角三角形中各锐角三角函数的计算方法是解题的关键．根据题意，设，，利用勾股定理得到，最后由三角函数的定义可得的值．【详解】解：如图所示，在中，，，∴设，，∴∴．故选：A．3．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）在中，，点为边的中点，连接，若，则的长为（

）A．3 B．5 C．6 D．8【答案】B【分析】本题考查了直角三角形的斜边中线，掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半是解题关键．由题意得，，即可求出的长．【详解】解：在中，，点D为的中点，，，，故选：B．4．（24-25九年级上·山东烟台·期中）在中，，，，则下列三角函数值正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了求正弦，余弦，正切，掌握直角三角形中边角关系是解题的关键．根据直角三角形三角函数关系求解即可．【详解】解：∵，∴为直角三角形在中，，，∴，A．，故选项计算错误，不符合题意；B．，故选项计算错误，不符合题意；C．，故选项计算正确，符合题意；D．，故选项计算错误，不符合题意；故选：C．5．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，市政府准备修建一座高为的过街天桥，已知为天桥的坡面与地面的夹角，且，则坡面的长度为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，直接利用锐角三角函数关系求出的长即可．【详解】解：由题意可得：，∵，∴，解得：，即坡面的长度为．故选：C．6．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，于D，，下列说法正确的个数是（

）①，②，③，④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形，结合直角三角形的性质求出，，根据“两角对应相等的两个三角形相似”求出，根据相似三角形的性质求出，即可判断①；设，则，再根据勾股定理求出，，即可判断②；再根据锐角三角函数定义判断③④．【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，故①正确，符合题意；设，则，∵，∴（负值已舍），∴，，∴，故②正确，符合题意；∵，，∴，故③正确，符合题意；∵，∴（负值已舍），∴，故④错误，不符合题意；综上所述，正确的有①②③，共3个，故选：C．7．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，线段，的端点，，，均在正方形网格的格点（网格线的交点）上，与交于点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．取格点，使得，连接，得到，根据勾股定理的逆定理可推出，最后根据，即可求解．【详解】解：如图，取格点，使得，连接，，，，，，，，故选：C．8．（2024·浙江金华·一模）如图，点E从点A出发沿AB方向运动，点G从点B出发沿BC方向运动，同时出发且速度相同，DE=GF<AB（DE长度不变，F在G上方，D在E左边），当点D到达点B时，点E停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（）

A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小【答案】B【分析】设DE=GF=a，BG=AE=b，AB=c，分别求出当b=0时和当b≠0时，阴影部分的面积，由此即可判断．【详解】解：设DE=GF=a，BG=AE=b，AB=c，过F作FM⊥BE于M，在Rt△BFM中，FM=BFsinB=asinB；过G作GN⊥BE于N，在Rt△BGN中，GN=BGsinB=bsinB；∴当b=0时，阴影部分的面积为三角形BEF的面积，S阴=acsinB；当b≠0时，S阴=S△BEF-S△BDG=（a+b）（c-b）sinB-（c-a-b）sinB=acsinB，∴运动过程中，阴影部分的面积不变，故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．9．（24-25九年级上·广西桂林·期中）西周时期丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表；如图是一个根据某市的地理位置设计的圭表，其中立柱高为a，已知冬至时某市的正午日光入射角，则立柱顶部与圭表的冬至线的距离（即的长）约为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查的知识点是解直角三角形的应用．根据题意和图形，可用含a的式子表示出的长，即可得出答案．【详解】解：由题意可知，立柱顶部与圭表的冬至线的距离（即的长）约为．故选：B．10．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）为了消防安全，学校在校园广场步行梯（折线ABCD）处新建了学生宿舍安全通道（折线AEF），其剖面示意图如图所示，广场步行梯AB，CD的坡角都是32°，且米，米，水平部分米；新建安全通道中水平部分米，步梯EF的坡度（即坡角的正切值）．新建安全通道顶端点F到广场步行梯底部所在水平面DG的距离DF的长约为（

）（结果精确到0.1米，参考数据：，，）A．8.8米 B．9.0米 C．9.4米 D．9.6米【答案】D【分析】过B作BH⊥AE于H，延长BC交DF于M，设AE交DF于N，则MN＝BH，HN＝BM，BM∥DG，先由锐角三角函数定义求出DM≈2.12（米），CM≈3.4（米），则HN＝BM＝5.8（米），再由锐角三角函数定义求出MN＝BH≈3.18（米），AH≈5.1（米），然后由坡度的定义求出FN≈4.34（米），即可求解．【详解】解：如图所示：过B作BH⊥AE于H，延长BC交DF于M，设AE交DF于N，则MN＝BH，HN＝BM，BM∥DG，∴∠DCM＝∠CDG＝32°，在Rt△CDM中，sin∠DCM＝，cos∠DCM＝，∴DM＝CD•sin32°≈4×0.53＝2.12（米），CM＝CD•cos32°≈4×0.85＝3.4（米），∴HN＝BM＝BC＋CM＝2.4＋3.4＝5.8（米），在Rt△ABH中，∠A＝32°，sinA＝，cosA＝，∴MN＝BH＝AB•sin32°≈6×0.53＝3.18（米），AH＝AB•cos32°≈6×0.85＝5.1（米），∴AN＝AH＋HN＝5.1＋5.8＝10.9（米），∴EN＝AN−AE＝10.9−3.9＝7（米），∵步梯EF的坡度i≈0.62＝，∴FN≈0.62×7＝4.34（米），∴DF＝DM＋MN＋FN＝2.12＋3.18＋4.34≈9.6（米），故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．填空题（5小题，每小题2分，共10分）11．（24-25九年级上·山东泰安·期中）．【答案】/0.5【分析】本题考查了特殊角度的三角函数值计算，代入特殊角度的三角函数值计算即可，熟记特殊角度的三角函数值是关键．【详解】解：原式，故答案为：．12．（23-24九年级上·山东烟台·期中）利用计算器求值时，若按键顺序为则输出结果为．【答案】【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，求一个数的立方根，根据题意可得计算的式子为，据此求解即可．【详解】解：由题意得，计算器输出的结果为，故答案为：．13．（24-25九年级上·贵州六盘水·期中）如图，在中，是斜边的中线，，则的长为．【答案】/10厘米【分析】本题考查了斜边上的中线等于斜边的一半，因为在中，是斜边的中线，所以，即可作答．【详解】解：∵在中，是斜边的中线，，∴，故答案为：．14．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）图1所示的是某超市入口的双翼闸门，如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，则当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度是．【答案】62【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．过作于，过作于，则可得和的长，依据端点与之间的距离为，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．【详解】解：如图所示，过作于，过作于，，则中，，同理可得，，又点与之间的距离为，通过闸机的物体的最大宽度为，故答案为：62．15．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图2是某款台灯（图1）的示意图，处于水平位置的横杆可以绕着点O转动，当分别转到，的位置时，测得，点M，N的高度差为，点N，F的水平距离，点M，F的水平距离，若该台灯的底座高度，垂直于底座的灯柱长与长度一样．从N点射出的光线与桌面成60°，则光线所照区域最大范围为．【答案】【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形判定和性质，含30度的直角三角形的判定和性质．过点N作于点Q，交于点S，R，延长交于点T，证明，，结合，得到，得到，设，，求得，得到，得到，得到，即得．【详解】过点N作于点Q，交于点S，R，延长交于点T，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，设，，∵，∴，∴，解得，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．故答案为：．三、解答题（8小题，共70分）16．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）计算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算．（1）代入特殊角三角函数值，再根据二次根式的加减混合运算法则求解即可；（2）代入特殊角三角函数值，进一步计算即可求解．【详解】（1）解：；（2）解：．17．（23-24九年级上·全国·课后作业）用计算器求图中的正弦值、余弦值和正切值．【答案】图（1），，；图（2），，；图（3），，【分析】根据勾股定理求得另外一边的长度，在利用三角函数的定义求解即可．【详解】解：由图（1）得，，由勾股定理得：，，由图（2）得：，由勾股定理得：，，由图（3）得：，由勾股定理得：，，【点睛】此题考查了三角函数的定义，涉及了勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角函数的有关定义．18．（24-25九年级上·山东滨州·期中）在中，，．

(1)求的度数；(2)请写出边与的数量关系，并给出证明．【答案】(1)(2)，见解析【分析】本题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形对的直角边对于斜边的一半是解题的关键；（1）根据直角三角形两锐角互余求解即可；（2）根据直角三角形对的直角边对于斜边的一半即可得出结论．【详解】（1）解：，，，，；（2）解：，理由如下：，．19．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，直角中，，．点是线段上一点，过点作的垂线，交直线于点，连接，取的中点，连接，．(1)当点在线段上时，试写出与的关系，并说明理由；(2)当点在线段外时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请举出反例；若成立，请画出图形，并说明理由．【答案】(1)，理由见详解(2)成立，理由见详解【分析】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键在于掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（1）当点在线段上时，观察知道在直角中，，在直角中，，即可证明出结果；（2）当点在线段外时，（1）中的结论还成立，画出图形同理应用第（1）中的方法即可求解．【详解】（1）解：，理由如下：在直角中，，取的中点，，过点作的垂线，，又在直角中，取的中点，，；（2）解：成立，图形如下：理由如下：，，，在直角中，取的中点，，过点作的垂线，，又在直角中，取的中点，，．20．（2024·陕西渭南·二模）某数学兴趣小组在数学实践课上开展了“菱形折叠”研究活动．第一步：每人制作边长都为7的菱形纸片若干个，四个顶点为A、B、C、D(为保持一致，活动中，小组内制作图形各点名称命名规则相同)；第二步∶在边上分别取点M、N(不含端点)，将四边形沿翻折，使线段的对应线段经过顶点D(点A、B分别与点E、F对应)．操作判断（1）智慧小组按上述步骤折叠后得到如图1所示的图形，若则______．迁移探究（2）缜密小组按上述步骤折叠后如图2所示，已知求的长；拓展延伸（3）创新小组按上述步骤折叠后，要使是以为直角边的直角三角形，请你在图3中帮他们画出满足条件的图形（草图即可），并求出对应的的长．【答案】（1）4；（2）；（3）图形见解析，BN的长为．【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、正切的定义、菱形的性质、折叠的性质等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键．（1）根据折叠的性质即可解答；（2）如图2，过D作于G，先说明G是的中点，根据折叠的性质可得，即；设，则，然后求得ｋ，进而求得；（3）分和两种情况分别根据折叠的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点分析解答即可．【详解】解：（1）∵将四边形沿翻折，使线段的对应线段经过顶点D(点A、B分别与点E、F对应)，∴．故答案为：４．（2）如图2，过D作于G，∵，∴G是的中点，由折叠可得：，∴，

设，则，∴，解答：，；（3）过点B作于T，，，则，，∴要使是以为直角边的直角三角形，分两种情况讨论：①当时，画出图形如图3所示，延长，交于点H，则，由折叠可得，∴，设，则，∴．∴，∵，∴，∵，∴，即又∵②当时，不合题意．综上所述，BN的长为．21．（23-24九年级上·海南海口·期中）一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为，点、、在同一条直线上，测得，，，，其中一段支撑杆，另一段支撑杆，(1)求的距离；(2)求支撑杆上的到水平地面的距离是多少？（用四舍五入法对结果取整数，参考数据，，，）【答案】(1)16cm(2)105cm【分析】（1）根据直角三角形中60°角解直角三角形即可；（2）如图作DG⊥EF，，证明EF=EG+QC+CP，再分别运用解直角三角形求出EG、QC、CP即可．【详解】（1）∵，，AB=32cm∴(cm)（2）如图，作DG⊥EF于点G，过点C作，交DG于点Q，交AB于点P，∵DG⊥EF，AF⊥EF，∴DG⊥PQ，AF⊥PQ，∴四边形FPQG是矩形，FG=PQ，∴(cm)，(cm)，∵∴∠EDG=75°-60°=15°∴(cm)∴EF=EG+FG=EG+PQ=EG+CQ+PC=(cm)故E到地面的距离EF为105cm．【点睛】本题主要考查解直角三角形，作辅助线构造相等线段，熟练运用解直角三角形求线段长度是解题关键．22．（2024·宁夏银川·二模）阅读、理解、应用研究间的角的三角函数，在初中我们学习过锐角的正弦余弦和正切三种三角函数，即在图所示的直角三角形，是锐角，那么，，．为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立直角坐标系（图），在角α的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，终边可以看作是将射线绕点逆时针旋转后所得到的，和原点O0,0的距离为（总是正的）然后把角α的三角函数规定为：，，（其中，分别是点的横、纵坐标）我们知道，图的三个比值的大小与角的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，三个比值的正、负取决于角α的终边所在的象限，而与点在角α的终边位置无关．比较图与图，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题．(1)如图3，若，则角α的三角函数值α、α、α，其中取正值的是．(2)已知α是钝角，则下列说法正确的是．．．．α．α>0(3)若角α的终边与直线重合，则αα．(4)若角α是锐角，其终边上一点且，试求和α的值．【答案】(1)α(2)A(3)或(4)的值为；α的值为【分析】（1）由点Px,y在第四象限，推出，根据（2）根据三角函数的定义分析求解即可；（3）分两种情形讨论即可解决问题；（4）根据α是锐角，终边上一点在第一象限，，进而得，进而得解得或（舍去），从而即可得解．【详解】（1）解：∵，∴点Px∴，∵，∴，∴取取正值的是，故答案为：；（2）解：α是钝角，则α的终边在第二象限，∴，，而>0，∴，故正确；∵，，∴，故不