期末复习（压轴题60题）（教师版）-华东师大版(2024)九上

期末复习（压轴题60题）一、单选题1．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处．下列结论：①∠EBG=45°；②△DEF∽△A．①②③ B．①②③④ C．①③④ D．②③④【答案】B【分析】由矩形的性质得AB=6,BC=10，由折叠得∠FBE=∠CBE=12∠CBF，∠HBG=∠ABG=12【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=6,∴CD=∴由折叠得∠FBE=∠CBE∴∠EBG=∠FBE∵∠BFE=∠C=90°，∠BHG=∠A∴∠DEF∴∠D∴△DEF∽△HFG∵根据折叠可知：AB=BH=6∴在Rt△ABF中，∴DF=10-8=2，HF设AG=∴GH2+HF∴AG=∴S△设EF=∴DE2+DF∴S△∴S△∴4S△HGF∵AG+DF=3+2=5∴AG+DF=故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、相似三角形的判定、三角形的面积公式等知识，求得FH=4及AF2．如图，在正方形ABCD中，AD=8，E为CD中点，F为BC上的一点，且∠EAF=45°，∠ABG=∠DAE，连接EF，延长BG交AE于点M，交AD于点N，则以下结论：①DE+BF=EF；②BN⊥AEA．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，将AB绕点A逆时针旋转90°得到AH，连接线段BH，证明△ABH≌△ADESAS和△AFH≌△AFESAS，即可判断出①②③正确；过G作PQ⊥BC，交BC于【详解】解：将AE绕点A逆时针旋转90°得到AH，连接线段BH，则∠EAH∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=∠ABC∴∠BAH∵AH=AE∴△ABH∴BH=DE，∵∠ABH+∠∴点H、∵∠EAF=45°∴∠BAF∴∠BAF即∠HAF∵AH=AE，AF∴△AFH∴FH=∴FH=BH+∵∠DAE+∠BAE=90°∴∠ABG在△ABM中，∠AMB=90°，即BN⊥AE∵AD=8，E是CD∴CE=设BF=x，则EF=在Rt△CEF中，即8-x解得x=∴BF=83，∵AB=AD，∠BAN∴△BAN∴AN=DE过G作PQ⊥BC，交BC于P，交AD于∵BC∥∴△BGF∴GPGQ∴GP=∴S△BGF=由②知BN⊥∴△AMN∴MN设MN=a，则AM=2a∴BN=过M作MK⊥BC，过N作NJ⊥∴MKNG∴MK=325∴CK=在Rt△MCK中，∴MC=BC，故综上，正确的有4个，故选：C．3．如图，已知正方形ABCD，E为AB的中点，F是AD边上的一个动点，连接EF，将△AEF沿EF折叠得到△HEF，延长FH交BC于点M，连接EM．下列结论：①△EFM是直角三角形；②△BEM≌△HEM；③当点M与点C重合时，DF=3AF；④A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】由折叠的性质可得FA=FH、EA=EH、∠A=∠FHE=90°，根据全等三角形的性质可得∠MEH=∠MEB，由平角的性质可求∠FEM=90°，故①和②正确；通过证明△FHE∽△EHM，根据相似三角形的性质可得4FH⋅MH=A【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A∵E为AB的中点，∴EA由翻折可知：FA=∴∠EHM∵EM∴Rt∴∠MEH∵∠FEH∴∠FEM∴△EFM故①和②正确；∵∠FEM∴∠FEH∴∠EFH又∵∠FHE∴△FHE∴EH又∵EH∴4FH故⑤正确；如图1，当点M与点C重合时，设AE=EB=2∵∠FEM∴∠AEF∴∠AFE又∵∠A∴△AEF∴AFEB∴AF∴DF∴DF故③正确；如图2，当点F与点D重合时，直线MF不平分正方形的面积，故④错误，综上所述，正确的有①②③⑤,故选：C．【点睛】本题考查了翻折的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．4．如图，已知正方形ABCD,E为AB的中点，F是AD边上的一个动点，连接EF将△AEF沿EF折叠得△HEF，延长FH交BC于M，现在有如下5个结论：①△EFM定是直角三角形；②△BEM≌△HEM；③当M与A．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④【答案】C【分析】由折叠的性质可得FA=FH，EA=EH，∠A=∠FHE=90°，由“HL”可证Rt△EMH≌Rt△EMB，可得∠MEH=∠MEB，由平角的性质可求∠FEM=90°，故①和②正确；如图1，设AE=EB【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A∵E为AB∴EA由翻折可知：FA=FH，EA=∴∠EHM∵EM=EM∴Rt∴∠MEH∵∠FEH∴∠FEM∴△EFM是直角三角形，故①②如图1中，当M与C重合时，设AE=EB=2∵∠FEM∴∠AEF∴∠AFE又∵∠A∴△AEF∴AFEB∴AF∴DF∴DF=3AF如图2中，当点F与点D重合时，显然直线MF不平分正方形的面积，故④错误；综上所述，正确的有：①②③，故选：C．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质等知识，利用相似三角形的性质求线段的关系是解题的关键．5．如图，矩形ABCD的边AB，BC的长是关于m的一元二次方程2m2-30m+100=0的两个根，且AB>BC．将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点B'，A①AE=2B'E②△A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查了矩形的基本性质，全等三角形证明及性质，相似三角形的证明，能够找到三角形全等以及相似的两个三角形是本题解题关键．先解方程得到AB=10，BC=5，通过折叠性质先证得△ADE≌△CB'E，即可判断②，再通过勾股定理算出AE，即可判断①，全等中得到角相等，即可判断④，连接B'【详解】解：∵矩形ABCD的边AB，BC的长是关于m的一元二次方程2m解方程2m2-30m∴AB=10，BC∵矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点B'，AB'与CD∴AB'=AB=CD=10，B在△ADE与△CB'E中，∠∴△ADE≌△C∴AE=EC，设B'E=在直角三角形ADE中，AE∴10-x2=∴AE=∴AE≠2B'∵△ADE∴AE=∴∠EAC∴B'EAE∴△ACE∽△B如图，连接B'B与AC交于∵△ABC与△AB∴BH=B'∴S△∴BH=2∴BB'=4正确的结论有②④．故选：B．6．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=4，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BDA．22-2 B．10-2 C【答案】B【分析】连接AE，取AB的中点M，连接EM,【详解】解：连接AE，∵AD为直径的圆交BD于点E，∴∠AED取AB的中点M，连接EM,∵∠BAC=90°，AB=∴∠ABC∴AB=∴AM=∴CM=∵EM+∴当E,M,∴CE最小值为：10-故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，线段最短原理，熟练掌握圆的性质，特殊角的三角函数值，勾股定理是解题的关键．7．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图像顶点为P2,m，且经过点A5,-2．以下结论：①b>0；②a-b+c>0；③

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据该二次函数图像的顶点坐标及开口方向，易得b=-4a>0，即可判断结论①；由二次函数图像的对称性，可知该二次函数图像经过点-1,-2，可知当x=-1时，可有y=a-b+c=-2<0，可判断结论②；首先将点A5,-2代入二次函数y=ax2+bx+c，整理可得c=-2-5a，再将点P2,m代入二次函数y=ax2+bx【详解】解：∵二次函数y=ax∴a<0，且对称轴为直线x∴b=-4a>0∵二次函数y=ax2+∴点A5,-2关于直线x=2的对称点为∴当x=-1时，可有y=a将点A5,-2代入二次函数y可得-2=25∵b=-4∴-2=25a+5×将点P2,m代入二次函数可得m=4将b=-4a，可得m=4由图像可知，m>0∴-9a-2>0，解得∵ap则有ap整理可得ap∴p-∵p≠∴ap又∵b=-4∴ap∴p+∴p=4-q，故结论根据题意，二次函数y=ax2+bx+c（a，∴对于任意实数m，总有am即am2+综上所述，结论正确的有①④，共计2个．故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质、平方差公式的应用等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．8．将抛物线y=ax2-4ax+ca<0向左平移tA．0<t<1 B．0<t<2 C．【答案】D【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据解析式可得抛物线的对称轴是直线x=--4a2a=2，再向左平移t(t>0)个单位长度后得到新抛物线的对称轴是直线x=2-t，根据直线y=【详解】解：由题意，∵y∴抛物线的对称轴是直线x=-∴向左平移t(t>0)∵直线y=px+q(∴y1=∴y∴y又∵a<0∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，∴P的离新抛物线的对称轴比Q∴PQ∴t+∴t又∵t>0∴0<t故选：D．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题9．如图，点O是正方形ABCD的中心，AB=32，AG=2，在Rt△BEF中，∠BEF=90°，EF过点D，BE，BF分别交AD，CD于点【答案】3+5/【分析】连接BD，过点F作FH⊥CD于点H，运用勾股定理求得BG，再证明△BAG∽△DEG利用相似三角形的性质求出EG、DE，再证明△BAG≌△FHDAAS，通过性质得出FH=【详解】解：如图，连接BD，过点F作FH⊥CD于点∵AB∴BG=∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAG=90°，∴DG=AD-∵∠BEF∴∠∵∠AGB∴△BAG∴BADE=AG∴32DE=2EG∴BE=∵∠ADH∴AD∥∴∠EDG∴∠ABG∵BG=DF=2∴△BAG∴AB=∵AB=∴FH=∵∠C∴FH∥∴△FHM∴FMBM∴FM=∵EF=∴BF=∵∠BEF=90°，∴EM=∵BO=OD，∴OM=∵OE=∴OE+故答案为：3+5【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边中线的性质等知识点，正确添加常用辅助线面构造全等三角形是解题的关键．10．如图，点A在双曲线y=-kxx<0上，连接OA，作OB⊥OA，交双曲线y=8xx【答案】9【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理，反比例函数系数k的几何意义，利用条件构造三角形相似是解题的关键．过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，由条件证得△AOC∽△OBD【详解】解：∵OB∴∠AOB∵OA∴可设OA=3∴OB∴OAOB过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥∴S△AOC=∵OB∴∠BOD∴∠BOD=∠OAC∴△AOC∴S△∴12解得k=故答案为：9211．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B在第一象限，点C在x轴的正半轴上，四边形OABC是平行四边形，点D是BC边的中点，点A、D均在反比例函数y=kxk≠0的图象上，点A的横坐标为2【答案】12【分析】本题考查了平行四边形的性质，反比例函数的几何应用，相似三角形的判定和性质，如图，过点A作AE⊥x轴于E，过点D作DF⊥x轴于F，利用平行四边形的性质可得A2,4，进而可得AO=25，CD=12BC=5【详解】解：如图，过点A作AE⊥x轴于E，过点D作DF⊥x轴于∵四边形OABC是平行四边形，∴AB∥x轴，AO∥∵点B的纵坐标为4，∴点A的纵坐标为4，∴A2,4∴OE=2，AE∴AO=∴BC=2∵点D是BC边的中点，∴CD=把A2,4代入y=k∴k=8∴反比例函数解析式为y=∵AO∥∴∠DCF∴△DCF∴DFAE∴DF=2∴CF=把x=2代入y=8∴D4,2∴OF=4∴OC=∴平行四边形OABC的面积OC·故答案为：12．12．如图，AD是△ABC的角平分线，AB>AC，AC=6，∠BAC=60°，点M，N分别是AD，AC上的动点，当【答案】3【分析】本题主要考查了轴对称确定最短路线问题、轴对称的性质、直角三角形的性质等知识点，正确画出图形成为解题的关键．如图，作点N关于AD的对称点N1，连接MN1,CN1，根据轴对称确定最短路线问题，CN1的长度即为CM+MN的最小值，再过点C作CE【详解】解：如图，作点N关于AD的对称点N1，连接M∴MN∴CM+∵AD是△ABC∴点N1在AB过点C作CE⊥AB于∴当点N1和点重合时，C∵∠BAC∴∠ACE∵AC=6∴AE=∵AD是△ABC的角平分线，点N关于AD的对称点N∴AN∴CN=故答案为3．13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的一条角平分线，E为AD中点，连接BE．若BE=【答案】17【分析】连接CE，过E作EF⊥CD于F，设BD=x，EF=m，根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质证得CF=DF=12CD=2，∠EAC=∠ECA，【详解】解：连接CE，过E作EF⊥CD于F，设BD=

∵∠ACB=90°，E为∴CE=AE=∴CF=DF=12∴∠CED=2∠CAE∵BE=∴∠BEC=∠ECB，则∠∴△CBE∴CECD=CB∴CE则m2∵AD是△ABC∴∠CAB=2∠CAE∴△CAB∴ACBF∴2mx+2∴212+4x=解得x=±17+1故答案为：17+1【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线性质、三角形的外角性质、角平分线的定义以及解一元二次方程等知识，是一道填空压轴题，有一定的难度，熟练掌握三角形相关知识是解答的关键．14．如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=4，连接AC，点E，F分别在边AD，CD上，连接BE，BF分别交AC于点M，N．若∠EBF=45°，CF=2【答案】4【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，根据矩形的性质和勾股定理求出BF，证明△CFN∽△ABN，求出BN，再证明△BCF∽△【详解】解：在矩形ABCD中，AD=4∴BC=∵CF=2在Rt△CBF中，∵CD∥∴△CFN∴CFAB∵AB=CD=8∴28∴BN=∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∵AB=8，AD由勾股定理得：AC=∵AB=8，BC=AD∴CFCB∵∠BCF∴△BCF∴∠CBF∵∠BAC∴∠CBF∴∠CNB∴CA⊥∵∠EBF∴∠BMN∴MN=∵∠CBF=∠BAC∴△BCN∴CNBN∴CN=∴AM=AC-∵AD∥∴△AME∴AEBC∴AE4∴AE=∴DE=故答案为：4315．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，边AC上有一点D，使CD=BC，点E是线段AB的延长线上的一点，连接BD，CE，且∠AEC=45°，若

【答案】2【分析】过D作DM∥BC交AB于M，设CD=x，则BC=x，AC=x+5，由勾股定理得到：(x+5【详解】解：过D作DM∥BC交AB于

设CD＝x，则BC＝∵∠ACB∴AC∴(x∴x=∴BC=∴CD=∵DM∥∴AM=MB=12∵∠BCA=90°，∴△CBD∴∠CBD＝45°，BD∴∠E∵DM∥∴∠EBC＝∠∴∠E∴△ECB∴EC:∴CE:∴CE=2故答案为：22【点睛】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，关键是由勾股定理求出CD的长；通过作辅助线构造相似三角形．16．如图，点E为▱ABCD的对角线BD上一点，连接AE并延长至点F，使得EF=AE，连接CF，若FC=4，DE=7，CD=45【答案】72【分析】连接AC交BD于点O，过点A作AH⊥BD于点H，过点C作CT⊥AF于点T，设AF,CD交点为G，由平行四边形的性质结合AE=EF，推出OE是△ACF的中位线，根据三角形中位线的性质求出OE=2，进而求出BD=18，推出OE∥CF，进而推出∠F=∠AEB，易证△【详解】解：连接AC交BD于点O，过点A作AH⊥BD于点H，过点C作CT⊥AF于点T，设∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,AB=∵AE=∴E点是AF的中点，∴OE是△ACF∴OE=12∵DE=7∴BD=2∵OE∥∴△DEG∴DECF=DG∴DG=28∵sin∠∴CT=∴FT=∴GT=∵GT=FT-∴AE=5∵OE∥∴∠F∵sin∠∴AH=4∴▱ABCD的面积为2故答案为：72．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，股股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．17．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4，D是线段AB上一个动点，以BD为边在△ABC外作等边△BDE，若F是DE【答案】10+27/【分析】连接BF，过点F分别作FG⊥BC于G，FH⊥AC于H，先确定点F在∠DBE的角平分线上，当CF⊥BF时，CF最小，且点D在CF上，利用直角三角形的性质和勾股定理求出BC，进而得出BF、CF、BG，即可得CG=BC【详解】解：连接BF，过点F分别作FG⊥BC于G，FH⊥AC于∵△BDE是等边三角形，F是DE∴BF⊥DE，BF平分∠DBE，即点F当CF⊥BF时，CF最小，且点D在CF在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AB=2根据勾股定理得，BC=∵BF平分∠DBE，∠∴∠DBF∴∠CBF∵CF⊥∴∠BFC∴∠BCF∴BF=∴CF=∵∠FGB=90°，∴∠BFG∴BG=∴CG=BC-∵∠FGC∴四边形CGFH是矩形，∴HC=FG=3∴AH=∴AF=∴△ACF的周长=故答案为：10+27【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短，确定CF⊥BF时18．如图，四边形ABCD为矩形，AB=12，BC=8，点E在边DC上，从点D运动到点C，运动速度为每秒2个单位，点F从点A开始沿射线AD方向运动，运动速度为每秒3个单位，当点E停止时，点F也随之停止．连接AE和BF交于点G，直线CG交直线AD于点M，则【答案】7【分析】如图1，设运动时间为t秒，则DE=2t，AF=3t，由DEAF=23=ADAB，∠ADE=∠BAF=90°，证明△ADE∽△BAF，可求∠AGB=180°-∠ABF+∠BAG=90°，如图1，记AB的中点为O，则G在以AB为直径的⊙O上运动，由题意知，AD、BC均为⊙O的切线，如图1【详解】解：如图1，∵矩形ABCD，∴∠DAB=∠ADC=90°，设运动时间为t秒，则DE=2∵DEAF=2∴△ADE∴∠DAE∴∠DAB∴∠AGB如图1，记AB的中点为O，∴G在以AB为直径的⊙O由题意知，AD、BC均为⊙O如图1，作⊙O的切线CH，交AD于M'，切点为由题意知，DM的最小值为DM由切线长定理可知，CH=CB=8设DM'=x，则由勾股定理得，CM'2解得，x=故答案为：72【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，90°的圆周角所对的弦为直径，切线长定理，勾股定理等知识．明确线段最小值的情况是解题的关键．19．如图，在半圆O中，直径AB=6，C是半圆上一点，将弧AC沿弦AC折叠交AB于D，点E是弧AD的中点．连接OE，则OE的最小值为【答案】3【分析】本题考查了圆的相关知识点的应用，勾股定理，图形折叠及三角形三边关系；图形折叠及三角形三边关系的性质是解题关键．连接CE，OC，由三角形任意两边之差小于第三边得，当O、C、E共线时OE最小，设AC的弧度为x°，求出CE的弧度为90°，设CEA⌢所在圆圆心为F，连接CF，EF，由勾股定理求出【详解】解：如图，连接CE，OC，由三角形任意两边之差小于第三边得，当O、C、E共线时OE最小，设AC的弧度为x°∴BC的弧度为：(180-x∵∠CAD∴CD的弧度为：(180-x由折叠得，CDA的弧度为x°∴AD的弧度为：x°-(180-∵点E为弧AD中点，∴DE的弧度为：12∴CE的弧度为：(180-x即CE所对圆心角为90°，设CEA⌢所在圆圆心为F，连接CF则CF=∵AB∴⊙O半径为3，CF∴CE∴OE故答案为：3220．如图，AB是⊙O的直径，AD、BC是⊙O的切线，P是⊙O上一动点，若AD=3，AB=4，BC【答案】4【分析】根据题意知当P到CD的距离最小时△PCD的面积最小，过P作EF∥CD，交AD于点E，交BC于点F，可知当EF与⊙O相切时，P到CD的距离最短，连接OP并延长交CD于点Q，过O作OH∥BC，交EF于点G，交CD于点H，则有可知OH为梯形ABCD的中位线，OG为梯形ABFE的中位线，可求得OH，过D作DM⊥BC于点M，则DM=AB=4，MC=BC-AD=3，则有【详解】解：由CD是固定的，所以当P到CD的距离最小时△PCD的面积最小，如图，过P作EF∥CD，交AD于点E，交BC当EF与⊙O相切时，P到CD的距离最短，连接OP并延长交CD于点Q过O作OH∥BC，交EF于点G，交CD于点则可知OH为梯形ABCD的中位线，OG为梯形ABFE的中位线，∵AD=3，BC∴OH=过D作DM⊥BC于点M，则DM=∴EF=由切线长定理可知AE=EP，∴AE+∴OG=∴GH=又∵OP=2，且OP∴2PQ∴PQ=1.6∴S△故答案为：4．【点睛】本题主要考查梯形的中位线、圆的性质、平行线的性质、勾股定理混合切线的性质等知识点，解题的关键是熟悉圆的性质和平行线的性质．21．如图，抛物线y=x2-4x+3与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），点C关于抛物线对称轴的对称点为点D，动点E在y轴上，点F【答案】58-1【分析】本题考查了二次函数的性质、轴对称的性质、勾股定理，圆的基本性质，掌握以上基础知识，作出合适的辅助线是解本题的关键．先求出C0，3，B3，0，D4，3，作点D关于y轴的对称点D'，连接BD'交y轴于E'，连接DE'【详解】解：在y=x2-4x+3中，当x解得x1=1，∴C0，∵y∴抛物线的对称轴为直线x=2∵点C关于抛物线对称轴的对称点为点D，∴D如图，作点D关于y轴的对称点D'，连接BD'交y轴于E由轴对称的性质可得：D'-4∴当D'、E'、F在同一直线上时，DE+∵BD'∴B∴DE+EF的最小值为故答案为：58-22．如图，AB为圆O的直径，C，D为圆O上的点，连接OC，连接AC，BD并延长交于点E，且OC∥BD，连接CD．下列说法正确的是①∠CDE=∠A；②CE=CD；③∠COA=30°；④若AB【答案】①②④【分析】由平行线的性质得到∠ACO=∠E，再根据圆的内接四边形的性质得到∠A+∠BDC=180°，进而得到∠CDE=∠A，由等腰三角形的性质得到∠ACO=∠A，推出∠E=∠【详解】解：∵OC∥∴∠ACO∵点C,D为圆∴∠A∵∠CDE∴∠CDE=∠A∵OA∴∠ACO∴∠E∴CE=CD∠COA的度数无法确定，故③∵OC∥∴△AOC∴AC∵AC∴OA∴AE∴CE∵∠CDE∴△AOC∴AC∴DE∴BD∴DEBD=故答案为：①②④．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，圆的内接四边形，相似三角形的判定与性质等知识是解决问题的关键．三、解答题23．解方程x4设x2=y，那么x4=当y1=1时，x2=1,x∴原方程有四个根：x1(1)①中填写的方程是_______，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想．(2)已知实数x,y满足x2(3)解方程：x2【答案】(1)y(2)5(3)x【分析】本题主要考查了换元法解方程．熟练掌握换元法解可化为一元二次方程的方程，是解题的关键．（1）设x2=y，则x（2）原方程可化为x2+y2+32-7x2+y2+3-（3）设x2+x=y，则x2+x2-4【详解】（1）解：设x2那么x4于是方程x4-5故答案为：y2（2）解：∵x2∴x2设x2则m2解得m1∴x2+y∴x2+y故x2+y（3）解：设x2+x=y解得y1∴x2∴x2或x2∴x2解得x124．【问题探究】（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别为BC和CD上的点，连接AE，BF交于点O，若AE⊥BF．求证：【类比迁移】（2）如图2，在矩形ABCD中，2AD=3AB，点E为BC边上一点，点F为对角线AC上一点，连接AE，BF交于点O，若AE⊥BF【拓展应用】（3）如图3，在矩形ABCD中，AD=2AB，点E为BC边上一点，点F为CD边上一点，若AE平分∠BAF，且BE【答案】（1）见解析（2）CEBE=72【分析】（1）根据∠AOF=90°，利用同角的余角相等得出∠EAB=∠FBC（2）作FM⊥BC于点M，由FM∥AB，得到CFAF=CMBM=12，设CM=a，则BM=2a，BC=3a，AB=2a，由△CFM∽△CAB，得到（3）作EH⊥AF于H，交AD于G，则△AHG∽△ADF，GHDF=本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，解题的关键是：连接辅助线，熟练掌握相关性质定理．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB∠ABE∵AE⊥BF即∠∴∠BAE又∵∠FBC∴∠BAE在△ABE和△∴∠BCF∴△ABE∴BE（2）作FM⊥BC于点∴FM∥∴CFAF在矩形ABCD中，2AD∴AD=设CM=a，则BM=2a，∵FM∥∴△CFM∴FMAB∴FM=∴BF=∵∠ABO∴∠FBM∵∠ABE=∠∴△ABE∴BE=∴CE=∴CEBE（3）作EH⊥AF于H，交AD于∵AE平分∠BAF，且BE∴EH=BE∵∠AHG=∠D∴△AHG∴GH∴GH=1过点BM∥EG，交AD于点则四边形BEGM是平行四边形，BM=∵∠ABM∴△∴EGAF∴AF=6，AD=∴CF25．阅读下面材料．小明遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠D=60°，小明发现，延长AB与DC相交于点E，通过构造Rt△ADE．经过推理和计算能够使问题得到解决（如图(1)请直接写出AD的长为_______；(2)请你用其他与小明的发现不一样的方法来求得AD的长．(3)参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，tanA=12，∠B=∠C【答案】(1)7；(2)见解析；(3)65【分析】（1）延长AB与DC相交于点E，解直角三角形BEC，得出BE的长，那么AE=AB+BE，再解直角三角形（2）过点B作BM⊥AB于B，交CD于M，过M作MN⊥AD于顶N，由BM⊥AB，MN⊥AD，∠A=90°，得四边形ABMN是矩形，∠MND（3）延长AB与DC相交于点E．由∠ABC=∠BCD=135°，得出∠EBC=∠ECB=45°，那么BE=CE，∠E=90°．设BE=CE=x，则BC=2x，AE=8+x，DE【详解】（1）解：如图，延长AB与DC相交于点E，∵∠A=∠C∴∠E=30°．∴BE=2BC=4∴AE=AB+BE=33+43在Rt△∵∠A=90°，∠E=30°，∴AD=故答案为：7；（2）解：如图，过点B作BM⊥AB于B，交CD于M，过M作MN⊥∵BM⊥AB，MN⊥∴四边形ABMN是矩形，∠MND∴MN=AB=33，∵∠C∴AN=∵∠MND=90°，∴DN=∴AD=（3）解：如图，延长AB与DC相交于点E．∵∠ABC∴∠EBC∴BE=CE，设BE=CE=x，则BC=2x在Rt△ADE中，∵tanA∴DEAE=1∴x=4经检验x=4∴BC=42，AE=12，∴AD=A【点睛】本题考查的是解直角三角形，30度直角三角形的性质，等角对等边，矩形的判定及性质，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．26．已知△ABC中，∠ABC=2∠C，BG平分∠ABC，AB=12，AG=8．点D、E分别是边BC、AC上的点（点D不与点B、C重合），且∠(1)求BC的长；(2)如图1，如果BF=3CE，求(3)如果△ADE是以AD为腰的等腰三角形，求BD【答案】(1)15(2)BF(3)BD为485或【分析】（1）证明△ABG∽△ACB（2）由（1）可得△ABG∽△CAB，再证明△ABF∽△DCE，可得ABCD=BFCE=3，从而得到BD=BC（3）分两种情况讨论，即可求解．【详解】（1）解：∵∠ABC=2∠C，BG∴∠ABG∴BG又∵∠BAG∴△ABG∴AB∴AC∴BG∴BC（2）解：由（1）知，△ABG∴∠AGB∵∠ADE∴∠AGB∵∠FAG∴∠AFG∵∠AFG+∠AFB∴∠又∵∠ABG∴△ABF∴AB∴CD∴BD过G作HG∥BC交AD于∴GHCD∴GH同理，BFFG∴BF（3）解：①当AD=∵AD∴∠ADE∴DE∴∠AFG∴AF∵∠ABC∴∠EDC∴CE由（2）知，△ABF∴∠BAD∵∠ABD∴△ABD∴BDAB=②当DA=DE时，在DC上截取DM=∵∠ADM=∠ABC+∠∴∠BAD∴△∴∠ABC∴∠MEC=∠C∴MC∴BD综上，若△ADE是以AD为腰的等腰三角形，则BD为485或【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．27．[问题提出]点E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE=EF，∠AEF=∠ABC=α，（90°≤α<180°）AF，EF交边CD于点[问题探究]（1）如图1，当α=90°时，求∠（2）如图2，当α=120°时，∠GCF的度数=_____；当90°≤α<180°时，求[问题拓展]当α=90°时，若CE=2，CF=2【答案】[问题探究]（1）∠GCF=45°；（2）90°，∠GCF=3【分析】[问题探究]：（1）在AB上截取AM，使AM=EC，连接ME，先证明△ANE≌△ECF得到∠AME=∠ECF，再由正方形的性质得到AB=BC，（2）在AB上截取AN，使AN=EC，连接NE．证明△ANE≌△ECF[问题拓展]：延长CB至D'，使BD'=DG，连接AD'，EG，证明EG=DG+BE【详解】[问题探究]：（1）解：在AB上截取AM，使AM=EC，连接∵∠ABC+∠∠ABC∴∠EAM∵AE∴△AME∴∠AME∵α=90°∴四边形ABCD是正方形，∴AB=BC∴BM∴∠BME∴∠∴∠GCF（2）解：如图，在AB上截取AN，使AN=EC，连接∵∠ABC+∠∠ABC∴∠EAN∵AE=∴△ANE∴∠ANE∵AB=∴AB-∴BN=∵∠EBN∴∠BNE∴∠ANE∴∠=∠=150°-60°=90°；当90°≤α∵∠EBN∴∠BNE∴∠ANE∠=∠==3即∠GCF[问题拓展]解：由（1）中结论：△CMF是等腰直角三角形，则CM∴BC=如图所示，延长CB至D'，使BD'=DG∵菱形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠AB∴△AB∴AD'=∵△AEF是等腰三角形，AE=AF∴∠EAF∴∠BAE∴∠D∵AE=∴△D∴D'∴EG=设CG=x，则DG=3-在Rt△ECG中∴22+x2=∵∠ABE∴∠BAE+∠AEB∴∠BAE∵∠ABE∴△ABE∴ABBE∴CH=∴GH=故GH的长为56【点睛】此题考查了菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合运用以上知识点，作出正确的辅助线是解题的关键．28．某数学兴趣小组在学习完“30°，45°，60°角的三角函数值”这一节课后，做了如下探究：如图1，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=m，延长CB至点D，使BD=AB．根据AC=m，∠ABC=30°，得出AB=2m，BC=3(1)如图1，根据以上的思路和数据，得出∠CAD=________°，tan(2)如图2，△EFG中，∠F=90°，∠(3)如图3，某工程队在施工过程中，要对一个三角形区域进行勘探．已知∠HMN=15°，∠HNM=22.5°，【答案】(1)75，3(2)2(3)6+23【分析】（1）由直角三角形的性质及锐角三角函数的定义可得出答案；（2）延长FG到I，使GI=EG，设EF=a，由勾股定理得：EG=（3）过点H作HO⊥MN，垂足为O，求出HO和【详解】（1）解：∵∠C=90°，∴∠CAD∴tan故答案为：75，3+2（2）解：延长FG到I，使GI=EG，设∵∠F=90°，∴∠FEG∴FG=EF=∴GI=2a∵GI=∴∠IEG又∵∠EGF∴∠EIG∵∠F∴∠FEI∴tan67.5°=（3）解：过点H作HO⊥MN，垂足为由兴趣小组的结论，可得sin15°=由题意可知，sin∠∴12∴HO=2∵tan15°=∴MO=由第（2）问可知，tan22.5°=∴NO=∴MN=∴△HMN的面积【点睛】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，解直角三角形，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识．29．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，CE交BD于点F，∠DCE(1)求证：AB⋅(2)如果AD=3①求CF的长；②若BD=10，求CD【答案】(1)见解析(2)①CF=3；②【分析】本题考查了平行四边形性质，相似三角形性质与判定，平行线分线段成比例，解题的关键是根据平行四边形得到相似三角形的条件．（1）根据平行四边形的性质，知道∠ADB=∠CBD，∠DEC=∠（2）①先证明△EFD∽△CFB，得到EC=4EF，再证明△EDF∽△ECD，得到②通过平行线分线段成比例，DFBD=EFEC=14，算得DF【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC∴∠ADB=∠CBD∵∠DCE∴∠DCE∴△DCE∴DC∴ABBF=（2）解：①∵AD∴DE∴AE=∵AD∴△EFD∴DEBC∵AD∴DE∴EFEC=∵∠EDF=∠ECD∴△EDF∴DE∴2解得：EF=1∴CF②∵AD∴DF∵BD∴DF∵△EDF∴DF∵DE=2，∴5∴DC30．类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．学习再现：设一元二次方程x2+px+q那么x2比较系数得x1+x类比推广：（1）设x3+px2+qx+r问题解决：（2）若x3-5x2-12x-3=0的三个根分别为拓展提升：（3）已知实数a，b，c满足a+【答案】（1）q；（2）49；（3）3【分析】（1）根据学习材料得x3（2）结合（1）的结果，再根据x1（3）由题意可得a+c=-b，ac=274b，进而得a，c是方程x2本题考查了一元二次方程根和系数的关键，一元二次方程根的判别式，多项式的乘法运算，掌握一元二次方程中根与系数的关系以及多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．【详解】解：（1）根据学习材料提示得，x=x=x=x∴-x1+∴x1x2（2）∵x3-5x2-12又∵-x1+∴x1+x∴x1故答案为：49；（3）∵a+b+∴a+c=-∵a，c是方程∴Δ=∴b2∵b>0∴b3∴b-∵b2∴b-即b≥3∴正数b的最小值为3．31．如图，在锐角△ABC中，∠ABC=45°，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点H，连接DE．∠AEB的平分线EF交AB于点(1)求证：∠DBG(2)试探究线段AE,(3)若CD=2AF【答案】(1)见解析(2)BE(3)GH【分析】（1）利用AD⊥BC，BE⊥（2）过点D作DM⊥DE，交BE于点M，证明△MBD≌△EAD，得到DM=DE（3）证明△ECD∽△EAF，得到DE=2AE，利用BE=AE+2DE，求出DE,AE的长，进而求出AB的长，过点作DP⊥AC，垂足为P，证明△ADP∽△DCP，求出CD,CP的长，进而求出【详解】（1）证明：∵AD⊥BC，∴∠BEC∴∠C∴∠DBG（2）解：过点D作DM⊥DE，交BE于点则：∠MDE∵AD⊥BC，∴∠ADE+∠ADM∴∠ADE又∵∠DBG∴△MBD∴DM=∴△MDE∴ME=∴BE=（3）解：由（2）知：∠BED∵BE⊥∴∠AEB∴∠CED∵∠AEB的平分线EF交AB于点F∴∠AEF∴∠CED∵∠AFE∠C∴∠C∴△ECD∴CDAF∵CD=∴DE=∵BE=∴BE=∴AE=4∴DE=42，过点作DP⊥AC，垂足为则：DP=EP=∴AP=AE+∵∠APD∴∠DAP∴∠DAP∴△ADP∴DPAP=CP∴CP=2∴CD=42∴AF=∵DP∥∴AHDH∴AH=∴BH=作FN∥BE，交AD于点则：△AFN∴AFAB=FN∴FN=52∴DN=∵FN∥∴△DGH∴GHFN=DH∴GH=【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形判定和性质，勾股定理．本题的综合性较强，难度较大，正确的添加辅助线证明三角形的全等和相似，是解题的关键．32．在△ABC中，∠B=∠C=α0<α<45°，AM⊥BC于点M，D是线段BC上的动点（不与点B，C(1)如图1，若点E在线段AC上且AM=3，DM=2时，求(2)如图2，若D在线段BM上，在射线MB上存在点F满足DF=DC，连接AE，(3)如图3，若α=30°，过M作直线MN⊥AB交边AB于点N，再作点N关于AM的对称点N'，点P是直线MN上一动点，将△APN'沿AP所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△APG，连接BG，点H为BG的中点，连接MH，当MH取得最大值时，连接AH，将△【答案】(1)12(2)见解析(3)129【分析】（1）证明DE=DC=DM=2，得到CM=DM+DC（2）延长FE到点N，使得FE=EN,连接CN,AN，证明△（3）证明点G在以点A为圆心，AN'为半径的圆上，则当MH最大时，CG也最大，此时C、A、G三点共线，设AN=2x=AG，则AM=4x，得到BM=3AM=43x，AB=2AM=8x，MH=12CG=5x，过点H作HT⊥BC于点T，连接HQ，则AM垂直平分【详解】（1）解：线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE∴DM=∴∠DEM∵∠MDE∴∠DEC∴DE=∴CM=在Rt△AMC中，∵∠DMC∴∠DMC∴∠MEC∴S△∴ME=（2）如图，延长FE到点N，使得FE=EN,∵DF∴DE∥∴∠DCN∴∠ACN∵∠ABF∴∠ACN∵AB=∴CM=∵DF∴BM-∴DM=由旋转可知，DM∴BF∴△ABF∴AF∵EF=∴AE⊥（3）根据翻折可知，AG=∴点G在以点A为圆心，AN∵点H是BG的中点，点是BG的中点，∴MH=∴当MH最大时，CG也最大，此时C、∵α=30°∴∠BAM∵MN⊥∴∠ANB设AN=2x=∴BM=3AM∴CG=∴MH=如图，过点H作HT⊥BC于点T，连接HQ，则AM垂直平分HQ，过点G作GK⊥此时MH经过AB的中点，∴∠HMT∴HT=12∴BT=在△HBT和△∠HBT∴△HBT∴KH=∵HQ=2∴KQ=在Rt△GKQ中，∴GQ【点睛】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，综合性较强，题目难度较大．33．如图1，已知四边形ABCD是菱形，G是线段CD上任意一点时，联结BG交AC于点F，过点F作FH∥CD交BC于点H，可以证明结论(1)探究：如图2，上述条件，若点G在CD的延长线上，其他条件不变时，结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由．(2)计算：若菱形ABCD中，AB=6，∠ADC=60°，点G在直线CD上，且CG=16，联结BG交AC所在的直线于点F，过点F作FH∥CD交(3)发现：通过上述过程，你发现G在直线CD上，结论FHAB【答案】(1)结论FHAB(2)BF=(3)G在直线CD上时，结论FHAB【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理，得到两组比例关系，再通过等量代换即可求解；（2）根据题意判断点G在直线CD上分两种情况，针对每一种情况，都要利用菱形的性质，然后根据勾股定理计算BG的长，进一步利用平行线分线段成比例定理求得FH的值，再结合（1）中的结论可求得FG的长．（3）根据题干与（1）中的结论，证明当G在DC的延长线上时结论也成立即可得出结论．【详解】（1）解：结论FHAB证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥∵FH∥∴FH∥∴∠CHF∴△CFH∴FH∵FH∴CH∴FH（2）解：∵G在直线CD上，∴分两种情况讨论如下：∵四边形ABCD是菱形，∴CD①点G在CD的延长线上时，DG=如图，过B作BQ⊥CD于点由于四边形ABCD是菱形，∠ADC∴BC∴BQ∴GQ=19∴BG又由FH∥∴FHGC∵△CFH∴BH∴FHCG=BH解得FH=由（1）知FHAB∴FG②点G在DC的延长线上时，CG=16，如图，过B作BQ⊥CG∵四边形ABCD是菱形，∠ADC∴BC∴BQ∴QG=13∴BG又由FH∥∴FHGC∴FH16∵BH∴FH∵FH∴BFBG∴BF∴FG（3）解：成立；理由：由题干与小题（1）知点G在线段CD或CD的延长线上时都成立，当G在DC的延长线上时，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥∵FH∥∴FH∥∴∠CHF∴△CFH∴FH∵FH∴CH∴FH结合上述过程，发现G在直线CD上时，结论FHAB【点睛】此题考查了菱形的性质、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例、勾股定理等知识．添加合适的辅助线和分类讨论是解题的关键．34．（1）如图1，△ABC与△AEF都是等腰直角三角形，且∠AEF（2）如图2，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，∠ABE=∠CBE，点E是射线BE上一动点，连接AE,AE绕点①求证：CF⊥②若BF=47，AB=8（3）如图3，菱形ABCD中，∠ABC=120°，点E是线段BD上一动点，连接AE，以AE为边在直线AE的左侧作菱形AEFG，使得∠GAE=∠DAB，线段EF交线段CD与点P，若AB

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②43；（3）【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得AC=2BC，AF=2AE，（2）①根据等腰直角三角形的性质可求∠BAC=∠BCA=30°，AG=CG=12AC，BG⊥AC，根据勾股定理可求出AG=3BG②根据勾股定理求出FC=43，根据相似三角形的性质求出BE=4，结合①中BG=12AB（3）根据菱形的性质可得△ADB是等边三角形，∠ADB=∠BDC，∠AEF=120°等，结合ABBE=k【详解】（1）证明：∵△ABC与△AEF都是等腰直角三角形，且∴AC=2BC，AF∴ABAC=AE∴△ABE（2）①证明：设BE与AC相交于G，

∵AB=BC，∴∠BAC∵∠ABE∴AG=CG=∴BG=∴AG=∴AC=2∴ACAB∵旋转，∴∠AEF=120°，同理可求∠EAF=∠EFA∴∠FAC=∠EAB∴△FAC∴∠FCA∴∠FCB∴FC⊥②∵BF=47，AB=∴FC=∵△FAC∴FCBE=AC∴BE=4由①知BG=∴E、G重合，∴AE=（3）∵菱形ABCD中，∠ABC∴AD=AB，∠ABC=1∴△ABD∴BD=AB，∴∠BDC=60°∵ABBE∴BE=∴DE=∵∠GAE=∠DAB∴∠AEF=120°，∴∠DEP∵∠ADE∴∠DAE∴∠DEP又∠PDE∴△PDE∴PEAE∴PEEF∴PEPF【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，旋转的性质等，明确题意，找出相似三角形是解题的关键．35．已知直线l1：y=kx-4k>0分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线l2：y=-(1)如图1，点D的横坐标为4，若点E是l1：y①求直线l1②连接CE，若△ECD的面积为4，求E(2)如图2，点P是线段OA上一点，OP=2，在线段CP上取点M，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得到线段PN，点N恰好在直线l1上，且AP=AN，在平面内是否存在一点H，使得四边形【答案】(1)①y=32x-(2)H【分析】（1）①先求出D的坐标，然后把D的坐标代入y=②分点E在点D的左侧和右侧两种情况讨论即可；（2）过M作ME⊥OP于E，过N作NF⊥OP于F，根据AAS证明△MEP≌△PFN，ME=PF，EP=NF，求出直线CP的解析式为y=-2x+4，设Mm,-2m【详解】（1）解：①∵点D的横坐标为4，∴点D的纵坐标为y=-∴D4,2把D4,2代入y=kx解得k=∴直线l1的函数表达式为y②对于y=32x-∴B0,-4对于y=-12x+4∴C0,4∴BC=8设Ee当点E在点D的左侧时，∵△ECD的面积为4∴S△∴12解得e=3∴E3,当点E在点D的右侧时，∵△ECD的面积为4∴S△∴12解得e=5∴E5,综上，E的坐标为3,12或（2）解：过M作ME⊥OP于E，过N作NF⊥∴∠MEP∵旋转，∴MP=NP，∴∠MPE∴△MEP∴ME=PF，∵OP=2∴P2,0设直线CP的解析式为y=则2k解得k1∴y=-2设Mm则ME=PF=4-2∴OF=∴N6-2代入y=kx-解得k=∴y=令y=0，则6-∴x=∴A24-8∵AP=∴24-8m∴24-8m∴24-8∴2m∴2m∴2-m解得m1=m2=2∴M65,设Hx∵四边形MPNH为正方形，∴2+x解得x=∴H14【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形是解题的关键．36．阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务．材料：三角形的内角平分线定理：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，则证明：如图2，过C作CE∥DA，交BA的延长线于点(1)【思路说明】请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)【直接应用】如图3，△ABC中，E是BC中点，AD是∠BAC的平分线，EF∥AD交AC于F．若AB=5(3)【拓展延伸】如图4，△ABC中，AD平分∠BAC，BC的延长线交△ABC外角角平分线AF于点F．若BD=3，【答案】(1)见解析(2)6(3)-【分析】（1）根据平行线分线段成比例得出BDCD=AB（2）根据角平分线分线段成比例定理得出ABAC=BDCD=57，得出BD=5（3）作CE∥AF交AB于点E，则ABAE=BFCF，进而证明AE=AC，即可得出【详解】（1）证明：∵CE∥∴BDCD∴∠CAD=∠ACE∵AD平分∠BAC∴∠BAD∴∠ACE∴AE=∴ABAC∴ABAC（2）解：AD平分∠BAC，AB=5，∴ABAC∴BD=∴BC=∴CD=∵E是BC的中点，∴CE=∵EF∥∴CFAC∴CF=6（3）解：如图：作CE∥AF交AB于点∴ABAE=BFCF，∠∵AF平分∠CAM∴∠MAF∴∠AEC∴AE=∴ABAC∵AD平分∠BAC∴ABAC∴BFCF∵BD=3，CF∴3+CD解得CD=∵CD=∴CD=【点睛】本题考查了角平分线的定义，等边对等角，平行线的性质，平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．37．【问题呈现】(1)如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90∘(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC=∠ADE=90①求BDCE②延长CE交BD于点F，交AB于点G．若BGCG=14，【答案】(1)见解析(2)2(3)①35；②【分析】(1)证明△BAD(2)证明△BAD(3)①先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果；②根据题意求出AC=10，利用勾股定理求出BC=8，CG=321515，BG=【详解】（1）证明：∵△ABC和△∴AD=∴∠DAE∴∠BAD∴△BAD∴BD=（2）解：∵△ABC和△∴ADAE=AB∴∠DAE∴∠BAD∴△BAD∴BDCE（3）解：①∵ABBC=ADDE=∴△ABC∴∠BAC=∠DAE，∴∠CAE∴△CAE∴BDCE②由①得：△CAE∽△BAD，AB=6∴BC=∵BGCG∴BG=在Rt△BCG中，∴CG∴CG=∴BG=∴AG=∵∠ACE=∠ABD∴△BGF∴FGAG∴FG=【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．38．【问题引入】如图1，等边△ABC，D为BC边上一点，E为AC边上一个点；且∠ADE=60°【模型运用】如图2，在△ABC中，∠C=60°，D为AC边上一点，连接BD且∠ABD=60°【能力提升】如图3，在△ABC中，D为AC边上一点，连接BD且∠ABD=∠C=α，【答案】【问题引入】：见解析；【模型运用】：2；【能力提升】4+【分析】由∠ADE=60°，可证得过点D作DE⊥BC于E，设CE=x，则BE=6-x，进而表示出CD=2x，DE=3x过点A作AM⊥BC于M，延长MB至G，使MG=MC，判断出△ABG∽△BDC，得出AGBC=BGCD【详解】解：∵△ABC∴∠B∴∠BAD∵∠ADE∴∠ADB∴∠DAB又∵∠B∴△ABD【模型运用】解：如图2，过点D作DE⊥BC于∴∠CED设CE=x，则在Rt△CDE中∴∠CDE∴CD=2∴AC=在Rt△BDE中，根据勾股定理得，∵∠C∴∠C∵∠A∴△ABD∴ADAB∴7AB∴AB=∴△ABD∴ADAB∴714∴72∴2x∴x(2∴x=0（舍去）或x=-3∴CD=2【能力提升】解：如图3．过点A作AM⊥BC于M，延长MB至G，使∴AG=∴∠G∴∠BAG∵∠ABD∴∠ABG∴∠BAG∴△ABG∴AGBC在Rt△AMC中，设AM=3m，则∴CG=8∵ADCD∴CDAC∴CD=2∴5m∴BC=∴BCCD【点睛】此题事相似三角形综合题，主要考查了等边三角形性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．39．【问题呈现】△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°,CB=mCA（1）如图1，当m=1时，直接写出AD，BE的位置关系：（2）如图2，当m≠1时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．【拓展应用】（3）当m=3，AB=27，DE=2时，将△CDE绕点C旋转，使A，D【答案】（1）BE⊥AD；（2）当m≠1时，（1）中的结论还成立，理由见解析；（3）BE的长为【分析】（1）根据m=1，得出AC=BC，DC=EC，证明△DCA≌△（2）证明△DCA∽△ECB，得出∠DAC=∠（3）分两种情况：当D在线段AE上时，同（2）知△BCE∽△ACD，BE⊥AD，故BEAD=BCAC=m=3，得【详解】解：（1）如图，延长BE交AD于G，∵m=1∴AC=BC，∵∠DCE∴∠DCA∴∠DCA∴△DCA∴∠DAC∵∠GAB=∠=∠=180°-∠=90°，∴∠AGB∴BE⊥（2）成立；理由如下：延长BE交AD于G，∵∠DCE∴∠DCA∴∠DCA∵CB=∴DCCE∴△DCA∴∠DAC∵∠GAB=∠=∠=180°-∠=90°，∴∠AGB∴BE⊥（3）当D在线段AE上时，如图：同（2）可得△BCE∽△∴BEAD∴AD=∵DE=2∴AE=2+在Rt△ABE中，∴2+BE解得BE=23（当E在线段AD上时，如图：同理可得BE3解得BE=33（综上所述，BE的长为23或3【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论．40．已知四边形ABCD和四边形CEGF都是正方形．

(1)如图1，当点G在对角线AC上时，AG=________BE(2)将正方形CEGF绕着点C顺时针旋转α；（0<α①当正方形CEGF旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立，请说明理由；②在正方形CEGF绕着点C顺时针旋转的过程中，当B,E,F三点共线时，直线CG与射线AD相交于点H，若CF=2【答案】(1)2(2)①成立，理由见解析；②4310【分析】（1）根据正方形的性质，平行线分线段成比例，推出CGAG（2）①证明△CAG∽△CBE，即可得证；②分点E在B,F之间，以及点【详解】（1）∵四边形ABCD和四边形CEGF都是正方形，∴∠ABC∴EG∴CGAG∴AGEB∴AG=（2）①成立，理由如下：∵四边形ABCD和四边形CEGF都是正方形，∴AC=∴ACBC∴△CAG∽△∴AGEB∴AG=②当点E在B,

同①得△CAG∽△∵四边形CEGF都是正方形，∴∠CGF∵CF∴CG∵B,∴∠AGC∴∠AGC∴A∵四边形ABCD是正方形，BC=2∴AB=BC∴在Rt△AFC中，∵FG∴AG∵∠AGH=180°-∠AGC∴△AGH∽△∴AHCH∴AH∴102即5解得GH=0（舍去）或GH∴AH当点F在B,

同理可得，AF=9，△AGH∽∴AGAHCH∴AH∴104即5解得GH=0（舍去）或GH∴AH综上所述，AH=43【点睛】本题考查正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握正方形的性质，证明三角形相似．41．【问题背景】如图1，在四边形ABCD中，AB⊥BC，连接AC、BD，∠ACB=∠ADB小明同学的想法是：过点B作BE⊥BD，交DA延长线于点E，则△EBD是等腰直角三角形，可通过证明△（1）求证：AD【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，若AB=52，CD=6，点F是AD【拓展探究】（3）如图3，在四边形ABCD中，AB⊥BC，连接AC、BD，∠ACB=45°，若AD=3，CD【答案】（1）①见详解；②见详解；（2）58；（3）13【分析】（1）过点B作BE⊥BD，交DA延长线于点E，易知△ABC和△EBD均为等腰直角三角形，进而可得EB=DB，AB=CB，∠EBD=∠ABC=90°，再证明∠EBA=∠DBC，然后利用“SAS”（2）过点C作CG⊥BD于点G，过点F作FH⊥BD于点H，首先解得AD=8，易知FD=FA=4，△CDG和△FDH均为等腰直角三角形，进而确定FH=（3）过点B作BE⊥BD，使得BE=BD，连接AE、DE，易知△BDE和△ABC为等腰直角三角形，结合（1）可知△DBC≌△EBA，故有AE=CD=2，根据三角形三边关系可知AE+【详解】解：（1）如图，过点B作BE⊥BD，交DA延长线于点∵AB⊥BC，∴△ABC和△∴EB=DB，AB=∴∠EBA∴∠EBA在△DBC和△AB=∴△DBC∴∠E∵△EBD∴∠E∴∠E∴∠ADC在Rt△ADC中，由勾股定理得在Rt△ABC中，由勾股定理得∴AD（2）如图，过点C作CG⊥BD于点G，过点F作FH⊥将AB=52，CD=6可得AD解得AD=8或AD∵点F是AD的中点，∴FD=∵∠ADB∴△CDG和△∴FH=DH=∴BG=∴BD=∴BH=∴BF=（3）如图，过点B作BE⊥BD，使得BE=则△BDE∴DE=∵AB⊥BC，∴△ABC结合（1）可知，△DBC∴AE=∵AE+∴DE≤5∴如下图，当点D、A、E共线时，∴此时BD=∵∠ADB=∠EDB∴∠ADC∴AC=∵AB=∴S△即当BD最大时，△ABC的面积为13故答案为：134【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形三边关系等知识，难度较大，综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质是解题关键．42．已知菱形ABCD中∠ADC=60∘，点F是射线DC上一动点（不与C、D重合），连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于(1)若点F在边CD上，且CF<12CD，过点C按如图所示作∠①证明：∠DAH②猜想△GEC(2)若菱形ABCD边长为4，当△BCH为等腰三角形时，求BE【答案】(1)①见解析；②等腰三角形，理由见解析(2)23+2【分析】（1）①根据SAS证明△ADH②证明∠E=∠DAH（2）分两种情况：①如图1，BC=BH=4，过点H作HM⊥BC②如图2，BH=【详解】（1）①证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD∵DH∴△ADH∴∠DAH②解：△GEC∵四边形ABCD是菱形，∴AD∴∠DAH=∠E∴∠DCG∵∠HCG∴∠ECG由①知：∠DAH∴∠ECG∴CG∴△GEC（2）解：分两种情况：①如图1，当BC=BH=4时，过点H作HM⊥BC∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=60°∴∠CBD∵BC∴∠BCH∵∠DCE∴∠DCH∴HMRt△BHM中，∴HM∴BM∴BE②如图2，当BH=∵∵四边形ABCD是菱形，∠ADC∴∠ABH=∠CBH∵BH=∴∠CBH∵BH=BH，AB=∴△ABH∴∠BAH∵∠ABC∴∠AEB∴BE综上，BE的长为23+2或【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．43．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DE∥BC(1)求证：DF∥(2)如果AF=4，EF=6，AB=5【答案】(1)证明见解析(2)10【分析】（1）由平行线分线段成比例得到ADDB=AEEC，即可得到ADDB=AF（2）根据题意得ADBD=AFEF=23，AE=10，即得本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，平行线的判定，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．【详解】（1）证明：∵DE∥∴ADDB∵AFFE∴ADDB∴ADAB∵∠A∴△ADF∴∠ADF∴DF∥（2）解：∵AF=4，EF∴ADBD=AF∵AB=5∴AD=210，∴ADAE=2∴ADAE∵∠A∴△ADE∴DEBE44．如图，二次函数y=x2-6x+8的图象与x轴分别交于点A,B（点A在点B的左侧），直线l是对称轴．点P在函数图像上，其横坐标大于4，连接PA,PB，过点P作PM⊥l(1)求点A,(2)若以⊙M的切线长PT为边长的正方形的面积与△PAB的面积相等，且⊙M不经过点3,2【答案】(1)A(2)1<PM<2或【分析】本题主要考查了二次函数的性质、切线的性质、勾股定理．（1）令y=0求得点A（2）由题意可得抛物线的对称轴为x=3，设Pm,m2-6m+8，则M3,m2-6m+8；如图连接MT，则MT⊥PT，进而可得切线长PT为边长的正方形的面积为【详解】（1）解：令y=0，则有：x2-6x∴A2,0（2）解：∵抛物线过A∴抛物线的对称轴为x=3设Pm∵PM⊥∴M3,如图：连接MT，则MT⊥∴PT∴切线PT为边长的正方形的面积为m-过点P作PH⊥x轴，垂足为H，则：∴m∵r>0∴r=1

假设⊙M过点N3,2①如图1：当点M在点N的上方，即M

∴m2-6m+8=3∵m∴m=5②如图2：当点M在点N的下方，即M

∴m2-6∵m∴m=3+综上，PM=m-∴当⊙M不经过点3,2时，1<PM<2或45．在△ABC中，AB=AC，∠(1)如图1，当点D在边BC上时，BD=4，且∠BAD=30°(2)如图2，当点D在△ABC的外部，且满足∠BDC=45°+∠(3)如图3，AB=6，当D、E分别为AB、AC的中点时，把△DAE绕点A顺时针旋转，设旋转角为α0<α<180°，直线BD与CE的交点为P【答案】(1)AD(2)见解析(3)9【分析】（1）将△ABD沿AB折叠，得到△ABE，连接（2）过A作AE⊥AD，且AE=（3）连接PC交AB于G，证明出△DAB≌△EACSAS，得到∠DBA=∠ECA，然后证明出△BPC为直角三角形，点P在以BC中点M为圆心，BM为半径的圆上，连接PM交AB所在直线于点【详解】（1）证明：如图，将△ABD沿AB折叠，得到△ABE，连接

∵AB=AC∴∠C将△ABD沿AB折叠，得到△∴△∴∠ABE=∠ABD=45°，BE∴∠EBD=90°∴△ADE为等边三角形，△∴AD=DE∴AD=（2）如图，过A作AE⊥AD，且AE=

∵AE∴∠∴∠BAE又∵AD=AE∴△∴∠∵∠∴∠∴∠又∵AE=AD∴∠ADE=45°，D∵∠∴∠BDC=∠ADC+45°=∠∴△∴BD=（3）如图3，连接PC交AB于G点∵△DAE绕A∴AD=AE，∵∠∴∠∴△∴∠∵∠∴∠∴△BPC∴点P在以BC中点M为圆心，BM为半径的圆上，连接PM交AB所在直线于点N，当PM⊥AB时，点P到直线∵∠∴A、P、B、C四点共圆∵PM⊥∴N是AB的中点∵M是BC的中点∴MN=∵AB=∴CB=∴BM=∴PN=32∴点P到AB所在直线的距离的最大值为32-∴△PAB的面积最大值为1【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，三角形中位线性质，四点共圆性质，勾股定理等知识，作出辅助线是解本题的关键．46．【问题情境】已知AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A，B），把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在【特例探究】（1）当P在AB上方而C在AB下方时（如图①），判断PO与BC的位置关系，证明你的结论；【拓展探究】（2）当P，C都在AB上方时（如图②），过C点作CD⊥AP于点D，且CD是⊙O【答案】（1）PO∥BC，证明见解析；（【分析】（1）根据折叠的性质得∠APO=∠CPO，再根据等腰三角形的性质可得∠A=∠APO=∠（2）根据圆的切线定义可得OC⊥CD，从而AP∥OC，即∠APO=∠POC，根据∠AOP=∠POC，可得∠APO=∠AOP，可证△AOP【详解】解：（1）PO∥证明：由折叠的性质可得∠APO∵OA=∴∠A∴∠A∵∠A∴∠PCB∴PO∥（2）证明：∵CD是⊙O∴OC⊥∵CD⊥∴AP∥∴∠APO由对折可知∠AOP∴∠APO∴AP=∴△AOP∴∠A∴四边形AOCP是菱形，∴∠DPC∴∠DCP∴PC=2PD，即∵AB=2∴AB=4【点睛】本题主要考查菱形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，圆周角定理，平行线的性质和判定，折叠的性质，等腰三角形的性质，30°所对的直角边为斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键．47．阅读下列材料，然后解答问题．经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫做这个正四边形的外接圆，圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫做这个圆的内接正四边形．如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的面积为S1，正方形ABCD的面积为S2．以圆心O为顶点作∠MON，使∠MON=90°．将∠MON绕点O旋转，OM、ON分别与⊙O交于点E、F，分别与正方形ABCD的边交于点G、H．设由OE(1)当OM经过点A（如图①）且⊙O的半径为1时，求S的值（结果保留π(2)当OM⊥AB于G时（如图②），求S、S1、S2之间的关系为：(用含S1(3)当∠MON旋转到任意位置时（如图③），则（2【答案】(1)π(2)S(3)成立，理由见解析【分析】（1）由正方形的性质可知∠MON=90°，OA=1（2）由正方形的性质可知四边形OGBH也是正方形，且其面积=14S2，则根据S=S扇形（3）由∠EOF=∠MON=90°可得S扇形OEF=14S圆O=14S1，过点O作OR⊥AB，OS⊥BC，垂足分别为R、S【详解】（1）解：当OM经过点A时，由正方形的性质可知：∠MON=90°，∴S（2）解：当OM⊥AB于四边形OGBH也是正方形，且其面积=1∴S故答案为：S=（3）解：（2）中的结论仍然成立，理由如下：∵∠EOF∴S如图，过点O作OR⊥AB，OS⊥BC，垂足分别为易证四边形ORBS为正方形，∴OR=OS∵∠ROS=90°，∴∠ROS∴∠ROS∴∠ROG在△ROG和△∠ROG∴△ROG∴S∴S易证S正方形∴S∴S【点睛】本题主要考查了求扇形面积，三角形的面积公式，列代数式，正方形的判定与性质，等式的性质1，全等三角形的判定与性质等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键．48．如图，以AB为直径的⊙O中，点C为⊙O上一点，连接AC，BC，延长AB至点M，使得∠MCB=∠CAM，作AN⊥CM交⊙(1)求证：直线MC为⊙O(2)如图2，若点D是AC的中点，连接DC，OC，求证：四边形AOCD为菱形；(3)在（2）的条件下，若BM=2，求DN【答案】(1)见解析(2)见解析(3)1【分析】（1）连接OC，根据AB是⊙O的直径得到∠ACB=90°，根据OA=OC得到∠（2）根据AN⊥CM得到∠N=∠OCM=90°，从而得到AN∥OC，得到∠DAC=∠OCA，根据点D是AC的中点得到AD=CD（3）根据四边形AOCD为菱形得到OA=AD，结合OA=OD，得到△OAD是等边三角形即可得到∠OAD=60°，从而得到∠M=90°-60°=30°【详解】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O∴∠ACB∵OA=∴∠OAC∵∠∴∠MCB∴∠OCM，∴直线MC为⊙O（2）证明：∵AN⊥∴∠N∴AN∥∴∠DAC∵点D是AC的中点，∴AD=∴AD=∴∠DAC∵OA=∴∠OAC∴∠OAC∴DC∥∵AN∥∴四边形AOCD为平行四边形，又∵OA=∴四边形AOCD为菱形；（3）解：连接OD，∵四边形AOCD为菱形，∴OA=∵OA=∴△OAD∴∠