期末重难点真题特训之易错必刷题型（126题37个考点）（学生版）-华东师大版(2024)九上

期末重难点真题特训之易错必刷题型（126题37个考点）【精选最新考试题型专训】易错必刷题一、求二次根式中的参数1．（23-24九年级上·全国·单元测试）在下列各式是二次根式的是（

）A． B． C． D．2．（23-24九年级上·湖北荆门·期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为．3．（23-24九年级·全国·假期作业）（1）已知是整数，求自然数所有可能的值；（2）已知是整数，求正整数的最小值．易错必刷题二、同类二次根式1．（23-24九年级上·全国·单元测试）若与是同类二次根式，则、的值为（）A．， B．，C．，或， D．，2．（24-25九年级上·全国·课后作业）（1）将化为最简二次根式是；（2）写出的一个同类二次根式3．（23-24九年级上·山东东营·开学考试）把二次根式与分别化成最简二次根式后，被开方数相同．(1)如果a是正整数，那么符合条件的a的值有哪些？(2)如果a是整数，那么符合条件的a的值有多少个？最大值为多少？有没有最小值？易错必刷题三、二次根式的混合运算1．（23-24九年级上·重庆江津·阶段练习）估计的值在（

）A．5到6之间 B．6到7之间 C．7到8之间 D．8到9之间2．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知，分别是的整数部分和小数部分，则式子的值是.3．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）小明同学进行实数运算的过程如图所示．……第一步……第二步……第三步……第四步(1)第一步的化简中所依据的数学公式是___________；(2)小明的计算过程，从第___________步开始出现错误，请你写出该算式的正确运算过程和结果．易错必刷题四、分母有理化1．（23-24九年级上·湖北荆州·期中）阅读例题：，用上述类似的方法解答问题：若a是的小数部分，则的值为（

）A． B． C． D．2．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）观察下列等式：第1个等式：第2个等式：第3个等式：第4个等式：……按上述规律，计算3．（24-25九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题：(1)的有理化因式是______．(2)请利用上面的知识化去式子分母中的根号：．易错必刷题五、二次根式化简求值1．（23-24九年级上·云南昭通·期末）已知，，则的值为（

）A． B． C． D．2．（23-24九年级上·山东滨州·阶段练习）已知，，求下列各式的值：，．3．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）已知，．(1)求的值；(2)求的值．易错必刷题六、二次根式的应用1．（2024·云南昆明·三模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么面积．若某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，则的值为（

）A． B． C． D．2．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，从一个大正方形中裁去面积为27和48的两个小正方形，则：（1）面积为27的正方形的边长是的倍；（2）剩下阴影部分的面积是．3．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）如图是学校的一块正方形绿地，其边长为m，现要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的矩形花坛，每个花坛的长为m，宽为m，并将花坛以外的地方全部修建成通道，且通道上要铺上造价为每平方米8元的地砖．若要铺完整个通道，则购买地砖大约需要多少元？（参考数据：）易错必刷题七、一元二次方程的解一一直接开平方法和因式分解法1．（2024九年级上·全国·专题练习）一元二次方程的根为（）A． B．，C． D．，2．（23-24九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）在实数范围内定义一种运算“”，其规则为，根据这个规则，方程的解为．3．（24-25九年级上·广东河源·期中）下面是小刚在作业本中做的一道题，老师说小刚的方法有问题，可是小刚不明白，你能帮帮他吗？解一元二次方程：．解：原方程变形为…………①两边同时除以，得…………②移项，合并得…………③系数化为1，得…………④上述解法中，该解法第一步采用的是______法解方程；第二步的依据是______，你认为第______步有问题，问题在于______，请你将该方法正确的过程写出来．易错必刷题八、一元二次方程的解一一配方法1．（23-24九年级上·全国·单元测试）把一元二次方程，配成的形式，则p、q的值是（）A．， B．， C．， D．，2．（24-25九年级上·全国·课后作业）完成下面的解题过程：用配方法解方程：．解：移项，得．二次项系数化为1，得．配方，得，．开平方，得，x1＝，x2＝．3．（24-25九年级上·广西河池·期中）阅读材料：选取二次三项式中的前两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如：选取二次项和一次项配方：；请根据阅读材料解决下列问题：(1)【直接应用】，将代数式配方：______；(2)【类比应用】已知，求的值；(3)【知识拓展】求当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？易错必刷题九、一元二次方程的解一一公式法1．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知代数式与的值互为相反数，则x的值为（

）A．或4 B．或4C．或4 D．或2．（23-24九年级上·全国·单元测试）一元二次方程的根是，．3．（24-25九年级上·贵州毕节·期中）按要求解下列方程：(1)（因式分解法）；(2)（公式法）．易错必刷题十、一元二次方程的解一一换元法1．（23-24九年级上·安徽滁州·阶段练习）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即若三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若三角形的面积，，则a的值为（

）A．2或3 B．3或 C．5或4 D．4或2．（23-24九年级上·山东威海·期末）解方程时，我们可以将看成一个整体．设，则原方程可化为，解得，．即，，所以原方程的解为，．请类比这种方法解方程：，则．3．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）阅读材料：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得，化简得，所以，所求方程为，这种利用方程根的代换求新方程的方法叫做“换根法”．利用阅读材料提供的换根法求新方程：(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为__________．(2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1，则所求方程为__________．易错必刷题十一、一元二次方程根的判别式1．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）一元二次方程方程的根的情况为（

）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．有一个实数根2．（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则的值为．3．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）已知关于x的一元二次方程：有两个相等的实数根．(1)求k的值．(2)并求出方程的根．易错必刷题十二、一元二次方程的根与系数的关系1．（23-24九年级上·山东日照·阶段练习）已知是方程的两个实数根，则代数式的值（

）A．4045 B．4044 C．2024 D．12．（23-24九年级上·全国·单元测试）甲、乙两同学解方程，甲看错了一次项系数，解得根为4和；乙看错了常数项，解得根为2和3，则原方程为．3．（23-24九年级上·四川泸州·期中）阅读材料：【材料1】若一元二次方程的两根为，则．【材料2】已知实数m、n满足，且，求的值．解：由题知m、n是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得：，∴．根据上述材料解决下面问题：(1)关于x的方程的两个根是和1，则的值为．(2)已知实数m、n满足，且，求的值．(3)若关于x的方程的两个实数根的平方和等于4，求实数k的值．易错必刷题十三、一元二次方程的应用（营销、增长、工程）问题1．（24-25九年级上·河南漯河·期中）“十四五”时期，国家政策提出要坚持“以文塑旅、以旅彰文”，打造独具魅力的中华文化旅游体验，文旅融合发展进入高水平阶段．著名旅游景区“只有河南·戏剧幻城”以黄河文明为创作根基，对于树立河南文化自信，加速中原崛起具有重要意义.该景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售杯．年春节假期，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可使此款奶茶实现平均每天元的利润？2．（24-25九年级上·江西南昌·期中）据统计，某红色博物馆开馆的第一个月进馆75000人次，由于红色文化深入人心，进馆人次逐月增加，第三个月进馆108000人次．若进馆人次的月平均增长率相同．(1)求进馆人次的月平均增长率；(2)因条件限制，该红色博物馆月接纳能力不能超过120000人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，该红色博物馆能否接纳第四个月的进馆人次？并说明理由．3．（2024·重庆开州·一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值．易错必刷题十四、一元二次方程的应用（几何、行程、图形）问题1．（23-24九年级上·山东泰安·期中）如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动、同时点从点开始沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．几秒后，四边形的面积等于？请写出过程．2．（24-25九年级上·广东东莞·期中）综合与实践如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，截去四个大小相同小正方形之后，折成如图2所示的长方体形的无盖纸盒，设截取的小正方形边长为．(1)用含有x的代数式分别表示无盖纸盒底面的长（________），宽（________）；(2)若纸盒的底面积为，求小正方形边长为x的值；(3)求出（2）中长方体纸盒的容积．3．（2024·浙江台州·一模）小明在平整的草地上练习带球跑，他将球沿直线踢出后随即跟着球的方向跑去，追上球后，又将球踢出……球在草地上滚动时，速度变化情况相同，小明速度达到6m/s后保持匀速运动．下图记录了小明的速度以及球的速度随时间的变化而变化的情况，小明在4s时第一次追上球．（提示：当速度均匀变化时，平均速度，距离）(1)当时，求关于t的函数关系式；(2)求图中a的值；(3)小明每次踢球都能使球的速度瞬间增加6m/s，球运动方向不变，当小明带球跑完200m，写出小明踢球次数共有____次，并简要说明理由．易错必刷题十五、成比例线段1．（2024·湖南永州·一模）已知线段成比例，且，，则线段的长为（

）A． B． C． D．2．（23-24九年级上·广东佛山·期末）如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E，若E为中点，则．3．（23-24九年级上·全国·课后作业）阅读下面的一段文字：设，则有，当时，．从上面的推导过程可得，若，当时，．把它称为等比性质．利用等比性质完成下题：(1)在和中，，且厘米，求的周长．(2)若且，求的值．易错必刷题十六、黄金分割1．（2024·宁夏吴忠·一模）如图，在正五边形中，连接它们的对角线，其中点C是对角线与对角线的交点，已知点为的黄金分割点，，则的长度为（

）A． B． C． D．2．（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图，已知线段，经过点作，使，连接AD，在AD上截取；在AB上截取，则．3．（23-24九年级上·湖南长沙·期中）黄金分割是一种被广泛应用于艺术和生活中的比例关系，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，黄金分割比也被称作是最美比例关系．某艺术品公司生产了一款长方形的画框，测量发现该矩形画框的长为厘米，其宽与长的比值等于黄金分割比．(1)求该矩形画框的宽；(2)生产画框所用的材料单价为元，则生产一个该画框所需要的材料成本为多少钱？（结果保留根号）易错必刷题十七、平行线分线段成比例1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点在边上，连接，点在边上，过点作，交于点，过点作，交于点，则下列式子一定正确的是（）A． B．C． D．2．（23-24九年级上·上海·阶段练习）在中，点分别在上，，则．3．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）请阅读下面的材料，并回答所提出的问题．三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．(1)已知：如图1，在中，是角平分线，求证：．证明：过C作，交的延长线于E．（完成以下证明过程）(2)用三角形内角平分线性质定理解答问题：①已知：如图2，在中，是角平分线，，，．求的长．②如图3，在中，，，点M是的中点，是的平分线，，则的长为____________．易错必刷题十八、相似图形1．（23-24九年级上·山东滨州·阶段练习）已知五边形五边形，，则下列说法中错误的是（

）A．B．C．五边形的周长是五边形周长的倍D．2．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）在师一学校第23届运动会开幕式上，由500名初一学生组成的大型团体操《传承•复兴》让全校师生眼前一亮，该方队面向主席台集合时共25列20排（整个方队看成矩形，且集合时人与人之间的距离忽略不计），其中每个小矩形（例如矩形）代表一名学生，且军列的宽度都等于（即），每排的宽度都等于（即）当方队成体操队形散开时，假设列与列之间的距离都为（即），排与排之间的距离都（），若矩形与矩形相似时，则y关于x的函数关系式为（不考虑x的取值范围）．3．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F．

(1)求证：四边形是菱形；(2)若，且，求的长．易错必刷题十九、相似三角形的判定与性质综合1．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，平分，D为中点，，求证：．2．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，在矩形中，是对角线，于点，交AD于点，，，求DE的长．3．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，中，为边上一点，且．(1)求证：；(2)若，，求的长．易错必刷题二十、在网格中画与已知三角形相似的三角形1．（23-24九年级上·河北张家口·阶段练习）如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（

）A．点 B．点 C．点 D．点2．（23-24九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，在5×5的正方形网格中，点A、B、C、E、F都在小正方形的顶点上，试在该网格中找点D，联结DE、DF，使得△DEF与△ACB相似（在图中画出符合题意的点D）3．（2024·河南洛阳·一模）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①、图②、图③给定的网格中按要求画图．（保留作图痕迹，要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法）(1)在图①中，在线段上画出点M，使(2)在图②中，在线段上画出点N，使(3)在图③中，在线段上画出点Q，使易错必刷题二十一、相似三角形——动点问题1．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点．若△DCE和△ABC相似，则线段CE的长为（

）A． B． C．或3 D．或42．（23-24九年级上·江西抚州·期中）如图，在中，厘米，厘米，点从点出发，沿着边向点以的速度运动，点从点出发，沿着边向点以的速度运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以、、为顶点的三角形与相似时，运动时间为秒．3．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）如图1，在中，，，，点P从点C出发沿线段以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发沿线段以每秒的速度运动．设运动时间为t秒．(1)填空：______；(2)t为何值时，与相似；易错必刷题二十二、相似三角形实际应用1．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）2023年11月23日，第十批在韩中国人民志愿军烈士遗骸归国．英烈们前仆后继的牺牲奉献，换来了我们国家的富强和人民的幸福，在抗美援朝期间“跳眼法”是炮兵常用的一种简易测距方法（图1）．如图2，点A为左眼，点B为右眼，点O为右千大指，点C为敌人的位置，点D为敌人正左侧方的某一个参照物（，目测的长度后，然后利用相似三角形的知识来计算C处敌人距离我方的大致距离．已知大多数人的眼距长约为厘米左右，手臂长约为厘米左右，若的估测长度为40米，那么的大致距离为多少米．

2．（23-24九年级上·上海崇明·期中）学校数学兴趣小组为了测量操场旗杆的高度，做了如下的探索：他们根据物理中“光的反射定理”，利用一面镜子和一把皮尺，设计了如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在距离旗杆底部（B）米的点E处，然后沿着直线后退到点D处，此时恰好在镜子里看到旗杆顶部A，即．再用皮尺测得为米，观察者目高为米．根据上述测量方案及数据，求旗杆的高度．3．（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）在学习了光的反射定律后，数学综合实践小组想利用光的反射定律（反射角等于入射角）测量池塘对岸一棵树的高度，测量步骤如下：①如图，在地面上的点E处放置一块平面镜（镜子大小忽略不计），小阳站在的延长线上，当小阳从平面镜中刚好看到树的顶点A时，测得小阳到平面镜的距离m，小阳的眼睛点C到地面的距离m；②将平面镜从点E沿的延长线移动6m放置到点H处，小阳从点D处移动到点G，此时小阳的眼睛点F又刚好在平面镜中看到树的顶点A，这时测得小阳到平面镜的距离m．请根据以上测量过程及数据求出树的高度．易错必刷题二十三、三角形中位线的实际应用1．（2024·广西·模拟预测）如图，在一次数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A，B两点的距离，同学们在外选择一点C，测得两边中点的距离为，则A，B两点的距离是（

）．A．12 B．14 C．16 D．242．（23-24九年级上·山西晋中·期末）如图，，两地被古城墙阻隔，为测量，两地间的距离，先在城墙外地上取一个可以直接到达，两地的点，连接CA，CB，分别取CA，CB的中点，，连接DE．若DE的长为27m，则，两地间的距离为．3．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H得四边形EFGH．(1)求证：四边形EFGH是平行四边形．(2)当四边形ABCD分别是菱形、矩形、正方形时，相应的平行四边形EFGH一定是“菱形、矩形、正方形”中的哪一种？请将你的结论填入下表：四边形ABCD菱形矩形正方形平行四边形EFGH易错必刷题二十四、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比1．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，已知A-2,0，，则与的周长之比是（）A． B． C． D．2．（23-24九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，四边形与四边形关于点成位似图形．若四边形与四边形的位似比为，则四边形与四边形的周长比为．3．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别为．(1)以坐标原点O为位似中心，位似比为，将作位似变换后得到，请在平面直角坐标系中画出．(2)设与，面积分别为和，试求的值．易错必刷题二十五、用坐标确定位置1．（23-24九年级上·河南信阳·期末）周末，洋洋参加了褐马鸡放归活动．如图是宣传牌上利用网格画出的褐马鸡的示意图．若建立适当的平面直角坐标系，表示嘴部点的坐标为，表示尾部点的坐标为，则表示足部点的坐标为（

）A． B． C． D．2．（2024·贵州六盘水·一模）如图，小黔与小红在玩“五子棋”；小黔是黑子，他把第四子下在棋盘坐标的上，则小红下的白色第三子的棋盘坐标是．3．（23-24九年级上·贵州黔东南·期中）如图所示，一个小正方形网格的边长表示．A同学上学时从家中出发，先向东走，再向北走就到达学校．(1)以学校为坐标原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，在图中建立平面直角坐标系；(2)B同学家的坐标是；(3)在你所建的平面直角坐标系中，如果C同学家的坐标为，请你在图中描出表示C同学家的点．易错必刷题二十六、求点沿x轴、y轴平移后的坐标1．（23-24九年级上·四川南充·期中）如图所示的象棋棋盘上，若“帅”位于点上，“相”位于上，则“炮”位于点（

）A． B． C． D．2．（23-24九年级上·河南安阳·期中）在直角坐标系中，点先向右平移3个单位长度，再向下平行2个单位长度后的坐标为．3．（23-24九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，．

(1)若把向左平移2个单位长度再向上平移3个单位长度，得到，直接写出点的坐标：（______，______），的坐标：（______，______），的坐标：（______，______）；(2)在图中画出平移后的；(3)请求出的面积．易错必刷题二十七、坐标与图形变化——轴对称1．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标为，则的值为（

）A． B． C． D．2．（23-24九年级上·山东临沂·期中）如图，已知关于过点且与x轴平行的直线对称，C到的距离为2，长为6，则点A坐标为，点B的坐标为．3．（24-25九年级上·福建三明·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，．(1)画出关于y轴对称的，其中点A，B，C的对应点分别为，，；(2)请直接写出点A、B关于x轴对称点的坐标：（________，________），（________，________）．易错必刷题二十八、直角三角形的性质1．（23-24九年级上·贵州铜仁·期中）如图，在中，，则（

）A．1 B．2 C． D．2．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，是的中点，若，则的长为．3．（23-24九年级上·江西南昌·单元测试）如图，在中，，过点C的直线，D为AB边上一点，过点D作，交直线于E，垂足为F，连接．(1)CE与AD的数量关系是；(2)当D在AB的中点，四边形是什么特殊的四边形？请说明理由；(3)若D为AB中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由．易错必刷题二十九、求角的正切、正弦、余弦值1．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，中，，于点，若，则的值是（

）A． B． C． D．2．（23-24九年级上·浙江温州·开学考试）如图，矩形中，，．以点A为圆心，将边顺时针旋转，交于点E，得到扇形，扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆半径是．

3．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在中，a、b、c分别为的对边，且．试求最小角的三角函数值．易错必刷题三十、三角函数的定义求边长1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为，则此时雷达测得点R到发射点L的距离为（

）A．千米 B．千米 C．千米 D．千米2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）在中，，，，则．3．（2024·浙江湖州·一模）如图，点在第一象限，轴，垂足为点，，反比例函数的图象经过的中点，与相交于点，．(1)求的值；(2)连接，求的面积．易错必刷题三十一、特殊角三角函数值的混合运算1．（24-25九年级上·浙江台州·期中）的值是（

）A． B． C． D．2．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）计算：=．3．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）求下列各式的值：(1)；(2)．易错必刷题三十二、根据三角函数值判断锐角的取值范围1．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）已知是锐角，且，那么锐角的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）已知，则锐角的取值范围是．3．（2024·浙江宁波·一模）如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离．（1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高；（2）若规定滑梯的倾斜角（）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？易错必刷题三十三、三角函数综合1．（23-24九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC的中点，AD⊥BC，垂足为点D，已知AB=20，；求：（1）求线段AE的长；（2）求cos∠DAE的值．2．（2024·上海金山·二模）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，，垂足为F.（1）求证：；（2）如果，求的余切值.3．（23-24九年级上·上海长宁·期末）如图,某种路灯灯柱垂直于地面,与灯杆相连.已知直线与直线的夹角是.在地面点处测得点的仰角是,点仰角是,点与点之间的距离为米．求：（1）点到地面的距离；（2）的长度．（精确到米）（参考数据:）易错必刷题三十四、解直角三角形1．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）如图，在中，，，，求的长．2．（24-25九年级上·上海崇明·期中）如图，在中，，，．(1)求的长；(2)求的值．3．（23-24九年级上·上海青浦·期中）如图，在平行四边形中，对角线，过点作，交延长线于点，．(1)当时，求的长；(2)设，，求关于的函数关系式（不需要写定义域）；(3)当是等腰三角形时，求的长．易错必刷题三十五、解直角三角形的应用1．（2024·安徽六安·模拟预测）在综合实践课中，小明同学利用无人机测量小山的高度．如图，是小明同学，无人机飞到小山的右上方时，测得山顶的俯角为米，测得小明同学头顶的俯角为米．已知小明的身高为1.8米，求小山的高度．（已知分别与水平线垂直且在同一平面内，参考数据：，，，，，）2．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，l为一条东西方向的笔直公路，一辆小汽车在这段限速为80千米/小时公路上由西向东匀速行驶，依次经过点．是一个观测点，米，，，测得该车从点点行驶到点所用时间为1秒．

(1)求两点间的距离；(2)试说明该车是否超过限速．3．（2024九年级上·上海·专题练习）为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，设备说明书中的部分内容如下所示．设备名称红外线体温检测仪测温区域示意图设备需安装在垂直于水平面的墙面上．①水平面；②竖直墙面；③设备安装位置；④的长是设备安装高度；⑤的长是测温区域的宽度．技术参数设备测温过程中释放的红外线是直线传播，它与水平面的夹角称为探测角．探测最小角：探测最大角：(1)如果该设备的安装高度为时，请求出图中线段的长度；（结果精确到）(2)如果学校要求测温区域的宽度为时，请求出该设备的安装高度．（结果精确到）（参考数据：，，，，，

易错必刷题三十六、在重复试验中观察不确定现象1．（2024·贵州贵阳·二模）将一个转盘分为均等的份，涂上如图所示的三种颜色，转动这个转盘时，转出可能性最小的颜色是（

）A．红 B．绿 C．黄 D．不确定2．（23-24九年级上·全国·单元测试）事件发生的可能性越，它的概率越接近；反之，事件发生的可能性越，它的概率越接近．事件不可能事件随机事件必然事件概率013．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）“年中狂欢购，回馈不停歇，惊喜连连，等你来拿！”6月18日上午，某商家在万达广场举行有奖销售活动，抽奖活动设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下，若只能在9个数字中选择一个数字翻牌，请解决下面的问题：(1)得到以下奖品的可能性最小的是______；A．平板

B．手机

C．球拍

D．水壶(2)请你设计下面翻奖牌反面剩余的奖品，奖品包含“手机”、“球拍”、“水壶”，使得抽到“水壶”的可能性抽到“球拍”的可能性抽到“手机”的可能性．易错必刷题三十七、随机事件的概率1．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），其中A转盘被分成相等的两个扇形，B转盘被分成相等的三个扇形．如果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是（

）A． B． C． D．2．（2024·福建龙岩·模拟预测）如图，已知开关已损坏无法闭合，现随机闭合3个开关中的两个开关，能使小灯泡L发光的概率是．3．（24-25九年级上·四川成都·期中）某校开展了学习党史的知识竞赛活动．初三年级学生的比赛成绩根据结果分为，，，四个等级．其等级对应的分值分别为100分分、90分8分、80分分、70分及以下．现将初三学生的最后等级成绩分析整理绘制得到了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解决下面的问题．(1)由图可知该校初三共名学生，比赛成绩等级为级的学生人数是人；(2)由图可知的值为；(3)初三年级本次比赛获得满分的4人中有2个男生和2个女生，现从这4个学生中随机选2人参加学校决赛，若每个学生被抽取的可能性相等，请用画树状图或者列表法求抽取的人中至少