《机械制图与三维建模》课件 第二章投影法基础

第二章点线面的投影2.1投影法概述2.2点的投影2.3直线的投影2.4平面的投影2.5直线与平面、平面与平面的相对位置物体被光照射，在某个平面上会产生影子，把这种现象进行科学的抽象得到投影法ABCabc空间元素ABC投影面投射线投影（或视图）abcH定义：规范术语：点线面立体投射线通过物体，向选定的投影面进行投射，在该面上得到图形的方法称为投影法空间元素投影大写小写表示方法（国标规定）：得到的图形为透视图，常用于建筑方面特点：ABCabcH1、中心投影法：度量性差，一、投影法分类但立体感较强，投射线汇交于一点思考：若把光源移到无穷远投射方向垂直于投影面平行斜投影法投射方向倾斜于投影面2、平行投影法：投射线互相平行常用，简称“投影法”真实地反映物体的形状和大小平行正投影法一、投影法分类实形性积聚性类似性平行于投影面二、正投影法的基本特性（三条）类似形与相似形不同！面：反映实形线：反映实长面：积聚成线线：积聚成点思考：直线？垂直于投影面倾斜于投影面从属性平行性正投影的补充特性（三条）等比性二、正投影法的基本特性（三条）实形性积聚性类似性空间从属，投影亦从属空间平行两直线，投影亦平行点分线段的比=投影的比;两平行线段的长度比=投影长度比一、点的两面投影AaH点的一面投影确定不了点的空间位置B1B2B3?b一、点的两面投影2、aax=Aa'a'ax=AaAaxVAaaxHVaaxVa’a’a’xo正立投影面（正面）水平投影面（水平面）HxoaH1、正面投影和水平投影连线垂直投影轴aa’⊥oxa投影规律:正面投影水平投影确定吗？投影轴（x）Aa’’a’aaxayazxozyVWHa’oa’’xyHywaVHW二、点在三面投影体系的投影投影面的展开：V面保持不动,将H面绕OX轴向下旋转90°,将侧投影面W向右旋转90°,都与V面重合.此时OY轴一分为二，成为H面的YH和W面的YWz1、aa’⊥ox２、a’a”⊥oz３、aax=a”az投影规律:侧面投影侧立投影面（侧面）投影轴（x、y、z）a`oaxa”yHzx作图:ayway1ayaz45°线由点的两个投影求出第三投影。依据：点的投影规律例：已知点B的两面投影，求第三面投影a"b三、点的投影与直角坐标的关系X坐标:y坐标:z坐标:点到W面的距离(长度)点到V面的距离（宽度）点到H面的距离（高度）a'(x,z)a(x,y)a"(y,z)Aa’’a’aaxayazxozyVWH反映同一个X坐标,aa’⊥OX（长对正）反映同一个Y坐标,aax=a”az

（宽相等）反映同一个Z坐标,a’a”⊥OZ（高平齐）a'(x,z)a(x,y)a"(y,z)例:已知点A(18,12,15),求做点的三面投影a`oaxa”yxay1ay1ayaz量取Oax=18mm,得ax点过ax做OX的垂线x=18mmy=12mm量取aax=12mm,得a点z=15mm量取a’ax=15mm,得a’点z利用投影规律：a’a”⊥OZ过O作45°斜线过a作aay⊥OY延长到斜线得交点由交点作线⊥OY1,交a’a”之延长线，得a”检查斜线是否45°

写出A、B、C三点的坐标A(16,14,0)B(18,0,16)C(0,0,9)?A点在H面上B点在V面上C点在Z轴上XYZY1Oaa’a”b’bb”c’c”c四、两点的相对位置oyxzABCHWV相对位置:X:左右Z

:上下Y:前后XYZY1Oaa’a”b’bb”c’c”c左右左右左右上下上下上下前后前后前后判断A(16,16,0)在B(18,0,16)的右２下16前16五、重影点Aa’’a’aaxayazxozyVWHBb’b”b已知A、B点的三面投影判断A、B的关系（A和B点的x、y坐标相等）b’bb”重影点A、B两点在

的投影重合，是

的

．水平投影面对水平投影面()不可见加括号cc”()重影？可见性？c’A和C的相对位置如何？点B在A的正下方五、重影点b’bb”()不可见加括号cc”()c’V面重影点：x、z相同，y不同H面重影点：x、y相同，z不同W面重影点：y、z相同，x不同小结：1、正投影的特性：实形性、积聚性、类似性2、点的投影：3、两点重影：要判断可见性（只有一个投影需要判断）不可见的点加括号。难点：判断重影点的可见性重点：掌握点的投影规律1、aa’⊥ox（长对正）２、a’a”⊥oz（高平齐）３、aax=a”az（宽相等）一.直线的投影一般情况下,直线的投影仍为直线特殊情况可能是一个点(积聚性)直线投影的求法：先求两端点的投影，然后同面投影相连。★直线的投影要长对正、高平齐、宽相等.二.各种位置直线的投影特性投影面平行线投影面垂直线特殊位置直线一般位置直线空间直线与其投影间所夹的锐角对投影面的倾角对H面的倾角为α对V面的倾角为β对W面的倾角为γABa’b’aba”b”αβγ1投影面垂直线定义：垂直于某个投影面的直线（必与其它两面都平行）1在与线段垂直的投影面上其投影积聚为一点正垂线铅垂线侧垂线2其余两投影分别平行于相应投影轴且反映实长例2投影面平行线正平线水平线侧平线★在与线段平行的投影面上反映实长，是一条斜线，该斜线与投影轴的夹角反映直线对投影面的真实倾角★其余两投影分别平行于相应的投影轴且小于实长投影特性定义：只与一个投影面平行的直线αβγγαβ例例3、一般位置直线的投影Y１特性：★三个投影都是倾斜线段,且都小于实长.★投影与投影轴的夹角，不反映直线对投影面的倾角实长实长特殊位置直线的投影能反映实长和倾角一般位置直线的实长和倾角如何获得呢？ABabαβABa’b’对三个投影面都倾斜的直线ab=ABcosα<ABa’b’=ABcosβ<ABa”b”=Abcosγ<ABa’a”γb”ABABb’aba”b”αβγ三.一般位置线段的实长及对投影面的倾角ABabαC直角三角形ABC中:一直角边AC=水平投影ab如果已知另一直角边BC，那么斜边以及α角可求斜边AB为线段实长分析，BC为A、B两端点的Z坐标差，即b’和a’的Z坐标差ABa’b’aba”b”αβγ作图方法：直角三角形法OXa’b’ab现在,利用水平投影ab求实长和倾角α＝＝量取Z坐标差完成直角三角形，得到实长；α为倾角α注意，此角是γ角吗？OXa’b’ab如果利用正面投影a’b’求实长和倾角β＝量取?坐标差完成直角三角形，得到实长；β为倾角＝β投影坐标差倾角实长abzα√a’b’yβ√a”b”xγ√例：OXa’b’a已知线段AB的正面投影a’b’和点A的水平投影a，并已知AB=35,求作AB的水平投影量取35mmbby坐标差四.直线上的点1.从属性如果点在直线上，则点的各个投影在直线的同面投影上OXaba’b’a”b”YZY1kk’k”a”ABa’b’abb”Kkk’k”2.定比性a”如果点在直线上，点分线段长度之比等于其投影长度之比OXaba’b’a”b”YZY1kk’k”AK:KB=ak:kb=a’k’:k’b’=a”k”:k”b”ABa’b’abb”Kkk’k”例:在已知线段AB上求分点K，使AK:KB＝２：３。OXaba’b’kk’画一条辅助斜线在斜线上取５等分连线从a点取２分点过此点作辅助斜线的平行线得到K的水平投影k根据“从属性”，可得K的正面投影例:已知侧平线AB上有一点M的正面投影m’，求作水平投影m。OXaba’b’m’mOXaba’b’m’mm”五.两直线的相对位置平行相交交叉1.两直线平行AB∥CD∴ab∥cd另两投影同理abcda’b’c’d’ox,两投射面平行ABba∥CDdc∵ABabCDcd性质：1、平行性2、定比性判断AB、CD的相对位置直线AB、CD是特殊位置直线吗？一般位置直线，只根据两面投影平行即可判断两直线平行可用两种方法:补全第三投影应用定比性判断AB、CD的相对位置OXaba’b’YY1cdc’d’a”b”c”d”同时平行于一个投影面的两条线段ZOXaba’b’cdc’d’满足平行性和定比性时，还要注意方向ABCDKabcdka’b’c’d’k’２.两直线相交AB与CD相交，交点K是两直线共有点cdaba’b’c’d’kk’OX判断：两条一般位置直线是否相交很简单性质：1、同面投影相交；2、交点的连线垂直于投影轴 (x和z)k’和k是否空间点K的投影？判断AB、CD的相对位置方法1：补画第三投影；方法2：利用点在线上有定比性（交点是否既是AB上的点，也是CD上的点？）（相交吗？交点连线垂直z轴吗？）３.两直线交叉1’Ⅰ1２’２Ⅱ3’4’ⅢⅣ431’２’1２3’4’43性质：投影既不符合平行线的投影特性，也不符合相交线的投影特性综合举例：已知直线AB、CD、EF，试求直线MN，平行于AB，且与CD、EF都相交分析：1、所给已知条件的性质；2、利用平行、相交投影特性作图（m）nn'm'4．直角投影定理一边平行某一投影面的直角在该投影面上的投影仍是直角已知:AB⊥BC,AB∥H∵AB∥H,Bb⊥H,故Bb⊥AB∴AB⊥BbcC平面又ab∥AB∴ab⊥BbcC平面ab⊥bc（同样适用于交叉垂直两直线）例：求点A到直线MN的距离mnm’n’OXaa’1.MN是水平线,所以,从A点向MN做垂线AK的水平投影是直角．kk’2.由求出的AK的水平投影ak和正面投影a’k’求出AK的实长距离（实长）例：求点A到直线BC的距离aa’bcb’c’因为BC是侧平线，所以，A点到BC的垂线在侧面投影反映直角．距离（实长）OXYZY1a”d”dd’求实长时，注意已知条件可用a”d”，那么坐标差在哪里量取？小结：1、各种位置直线的投影特性：投影面平行线、投影面垂直线、一般位置直线3、直线上的点：从属性、定比性难点：判断两条直线的位置关系重点：掌握特殊位置直线投影特性4、两条直线位置关系：平行、相交、交叉、垂直2、求一般位置直线的实长和倾角（直角三角形法）不共线的三点线和线外一点相交两直线平行两直线任意平面图形一.平面的表示法1、几何元素表示法

二、各种位置平面及其投影特性1、投影面平行面：平行于一个投影面；2、投影面垂直面：只垂直于一个投影面；3、一般位置平面：对三个投影面都倾斜1投影面平行面水平面水平面正平面侧平面实形平行于OX轴平行于OY轴正平面1投影面平行面水平面正平面侧平面实形平行于OX轴平行于OZ轴侧平面1投影面平行面水平面正平面侧平面实形平行于OY轴平行于OZ轴1投影面平行面水平面正平面侧平面另外两个投影积聚成直线且平行于相应的投影轴.在所平行的投影面上的投影反映实形；投影特性铅垂面2、投影面垂直面铅垂面正垂面侧垂面只垂直于一个投影面的平面βγ正垂面αγ2、投影面垂直面铅垂面正垂面侧垂面只垂直于一个投影面的平面侧垂面αβ2、投影面垂直面铅垂面正垂面侧垂面只垂直于一个投影面的平面1在所垂直的投影面上的投影积聚成一条斜线，该斜线与投影轴的夹角反映该平面与相应投影面的夹角.铅垂面正垂面侧垂面2投影面垂直面投影特性

γβαγβα2另外两个投影均为类似形.3、一般位置平面1三个投影均为类似形，不反映实形。2不反映该平面对投影面的倾角。三、直线、平面的相对位置1、平行（2）两平面平行几何条件:如果两平面内各有一对相交直线对应地平行,则两平面互相平行.（1）直线与平面平行几何条件:一直线平行于平面内任意直线,则直线平行于该平面,反之，若平面内有一直线平行于面外直线，则平面平行于直线.1、已知：AB∥平面，补全其水平投影2、过A点作一水平线，平行于已知平面1、直线与平面平行bcc'特殊情况过E点作平面EFG平行于平面ABCD只要有积聚性的投影平行，则两铅垂面平行2、平面与平面平行特殊情况f'g'fg2、相交直线与平面相交，其交点是共有点，即交点既在直线上又在平面上；也是可见与不可见的分界点。

相交两平面的交线是两平面的共有线，它可以由两平面的两个共有点来确定；也是可见与不可见分界线。两个问题：求共有元素（利用共有性）判断可见性（利用重影点）（1）一般位置直线与特殊位置平面相交a、求交点K利用共有点性质，K点的正面投影必在直线与平面积聚性投影的交点处，可直接得出；水平投影利用点线从属关系得出b、利用重影点判断可见性正面投影不用判断，水平投影可见性判断取H面重影点可见画实线，不可见画虚线k'k也可直接观察判断可见性交点是可见与不可见的分界点（1）一般位置直线与特殊位置平面相交（2）特殊位置线与一般位置面相交利用共有点性质，K点的正面投影必在直线有积聚性的投影上；水平投影可利用平面内取点得到；判断可见性k'k（3）特殊位置平面与一般位置平面相交１.求交线MN只要求出交线上两点，连线即可２.利用重影点判断可见性水平投影不用判断，正面投影可见性判断取V面重影点取平面ABC内两条边AC和BC，利用一般线与特殊面求交点的方法，重复两次，即可得到交线mm'nn'交线MN是可见与否的分界线3、垂直（1）直线与平面垂直ABCDKPMHV∵MK⊥平面P∴MK⊥P内所有直线P内AB和CD为水平线和正平线MK⊥AB,MK⊥CD一边平行某一投影面的直角在该投影面上的投影仍是直角在投影图上MK的正面投影⊥正平线的正面投影在投影图上MK的水平投影⊥水平线的水平投影abca’b’c’mkm’k’dd’ee’xo根据直角投影定理注意整理MK,要符合投影关系abca’b’c’mkm’k’１１’２２’xo例题：求点M到平面ABC的距离解：先过M点作平面ABC的垂线垂直得到垂线MK，K为垂足mk或m’k’是我们所求的距离吗？？要求出MK的实长投影坐标差倾角实长abzα√a’b’yβ√a”b”xγ√点M到平面ABC的距离要求出MK的实长mkm’k’１１’２２’例题：求点M到平面ABC的距离解：先过M点作平面ABC的垂线得到垂线MK，K为垂足mk或m’k’是我们所求的距离吗？？投影坐标差倾角实长abzα√a’b’yβ√a”b”xγ√点M到平面ABC的距离abca’b’c’xo垂直垂直求交点K，K为垂足aba’b’mm’cc’kk’例题：求点到平面的距离K的水平投影k应该在哪里？？注意：垂直于正垂面的直线是什么直线？xo正平线（2）平面与平面垂直PQBA几何条件aba’b’cc’xodd’如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。例题：过D点作平面⊥△ABCee’ff’EDF平面中的DF直线是任意画出的，由此可见，此题有无数解。一、换面法综述

把一般变为特殊,从而有利于解题，是更换投影面的目的

空间几何要素对投影面处于特殊位置，某些度量问题（如实形、距离、夹角等）的答案可在投影图中直接反映，在解决定位问题（如交点、交线、垂足等）时，问题可简化。求平面实形反映实形求点到正垂面ABCD的距离EK反映距离实长求一般位置直线与铅垂面的交点求交点较容易1、基本原则1）新设的投影面（V1或H1）必须垂直于一个原有的（V或H）投影面，以保证形成新的两投影面体系，继续使用正投影规律。例:△ABC平面在V/H投影面内△ABC为铅垂面。O在H面为一条直线在V面为类似形用平行于△ABC的投影面V1更换V，V1垂直于H，与H构成新两投影面体系，V1面内可反映△ABC实形。2）新投影面必须使空间几何要素处于有利于解题的位置。a'aa1'更换正立投影面1、点的新投影和不变投影的连线垂直于新投影轴；2、点的投影变换规律OXVHaxO1X1ax1用V1面更换V面新轴位置与点的距离无关V1HV1面应与H面垂直O1X1为轴向下旋转V1

面与H面重合aa1'o1x1⊥2、点的新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距离。a'更换水平投影面

点的投影变换规律：1、点的新投影和不变投影的连线垂直于新投影轴；OXVHaxaO1X1ax1a1VH1H1面应与V面垂直用H1面更换H面2、点的新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距离.V1不变投影注意：

1、分清各投影；2、作图准确。连续两次更换投影面OXVHa'aO1X1axax1HV1a1'O2X2ax2V1H2a2变换两次投影面时，求点的新投影的原理和方法和变换一次投影面相同旧投影H不变投影新投影旧投影新投影新投影到新轴的距离=旧投影到旧轴的距离

当连续两次更换投影面时，必须使V面与H面交替进行变换，不能连着变换同一个投影面。四种

利用更换投影面法解决空间几何元素问题时，可归结为四种基本作图问题：二、换面法的应用一般位置直线变换为投影面平行线一般位置平面变换为投影面垂直面投影面垂直线；投影面平行面。例：求直线AB实长及其对H面的倾

；将一般位置直线变换为投影面平行线分析：1、投影面的平行线反映线段的实长和对投影面的夹角；如：水平线─水平投影反映实长和β角。正平线─正面投影反映实长和α角。2、若求线段实长，应使新设投影面与线段平行。若求α夹角，应使线段变换为正平线。所以应用V1面更换V面，即用（V1∕H）替换（V∕H）两投影体系。3、新设V1面与AB线段平行，则AB线在新的（V1∕H）两投影面体系里为正平线，AB在V1面的投影反映实长，也反映线段对H投影面的夹角α，可满足题的要求。将一般位置直线变换为投影面平行线

OXVHa'b'abO1X1HV1a1'b1'变换1次投影面可将一般位置直线变为投影面平行线（1次）用V1面更换V面1、新设V1面与AB线段平行2、求AB线段在V1面的投影3、求AB线段与H面的夹角α作图：投影图：O1X1应与ab平行简单小结：通过一次更换投影面，可将一般位置直线

投影面的平行线。用H1

H面，AB

为水平线，H1面反映实长及对V面的夹角。用V1

V面，AB

为正平线，V1面反映实长及对H面的夹角

。将一般位置直线变为投影面垂直线1、空间直线对V、H面均倾斜，若新设一个投影面既垂直于一般位置直线，同时又要垂直于一原有的（V、H）投影面，是不可能做到的。分析：2、通过上一例题说明，将一般位置直线，通过一次换面（V1）可以变换为投影面的平行线（即：正平线）。此时，新设投影面可以垂直于正平线，又可以垂直于V1面是可以实现的。3、故先设新投影面将直线变换为投影面的平行线，再次设新投影面将平行线变换为投影面的垂直线，以实现题意要求。将一般位置直线变为投影面垂直线作图：1、设新投影面V1，将一般位置直线变换为投影面的平行线（即：正平线）。3、通过连续两次换面，将一般位置直线变换为投影面的垂直线。2、再设新投影面H2，将投影面的平行线（即：正平线）变换为投影面的垂直线。平行H2⊥V1和直线V1⊥H▲a2b2

OXVHa'b'abO1X1HV1a1'b1'投影图：将一般位置直线变为投影面垂直线O1X1∥abO2X2⊥a1’b1’XOO1X1X2O2▲O2X2H2V11、第一次变换V1→V，将一般位置直线AB变换为投影面平行线，即：O1X1∥ab。2、第二次变换H2→H，将投影面平行线AB变换为投影面的垂直线，即：O2X2⊥a1’b1’。一般位置直线1次投影面平行线1次投影面垂直线（2次）O将一般位置平面变换为投影面垂直面VHABCabca'b'c'X将一般位置

ABC平面变换为正垂面：1、新设V1面应与

ABC垂直，在V1面的投影应积聚为一条线，使其ABC在新的（V1∕H）两投影面体系里为正垂面。2、根据两面垂直的条件：若V1面垂直于ABC面内的任一条线，则V1

与ABC两面即垂直。分析：将一般位置平面变换为投影面垂直面将一般位置

ABC平面变换为正垂面：（1次）2、设V1面垂直于CD直线，即O1X1垂直与cd。作图：1、在

ABC平面取一条水平线CD3、求

ABC平面在V1投影面上的投影（c1’d1’为重影点）。4、

ABC平面在V1面上的投影积聚为一条线。5、该积聚线与O1X1轴的夹角，是

ABC平面与H

上的夹角。ABC平面在V1∕H

两投影体系中为正垂面将一般位置平面变换为投影面垂直面将一般位置

ABC平面变换为正垂面：（1次）投影图作图：

a1'd1’(c1’)OXHa'b'c'abcd'dO1X1HV1b1'V1、在

ABC平面取一条水平线CD。2、设V1面垂直于CD直线，即O1X1垂直于cd。3、求

ABC平面在V1投影面上的投影（c1’d1’为重影点）。5、该积聚线与O1X1轴的夹角，是

ABC平面与H

上的夹角。4、

ABC平面在V1面上的投影积聚为一条线。将一般位置平面变换为投影面垂直面（1次）简单小结：1、变换为正垂面—在平面上取水平线—设立V1代替V—反映

2、变换为铅垂面—在平面上取正平线—设立H1代替H—反映若要反映倾角，应怎样更换投影面将一般位置平面变换为投影面平行面新设的投影面要平行于三角形平面，同时还要垂于一个原有投影面（V或H），不可能存在这样的平面。分析：XVV1HABCa(b)ca'b'c'a1'c1'b1'OO1X1在V1面为实形将一般位置平面变换为投影面平行面1、此图已分析说明，将一般位置的三角形平面，通过一次换面可以变换为投影面的垂直面(正垂面)。2、又由此图可知，投影面的垂直面(正垂面)通过一次换面，可以换为投影面的平行面，得到实形。3、因此，将一般位置平面变换为投影面的平行面时，可以通过两次换面实现。为铅垂面V1面为正垂面为一般位置面（2次）一般位置平面1次投影面垂直面1次投影面平行面★当连续两次更换投影面时，必须使V面与H面交替进行变换。c2d'b'画投影图：OXVHa'c'abc1、在

ABC平面内找一水平线，用V1更换V面，O1X1⊥cd，在V1∕H两面体系里为正垂面。dO1X1HV1d1’a1'b1'O2X2V1H2a2b2c1'2、第二次换面，用H2更换H面，O2X2∥积聚线，使面在V1∕H2两面体系里为水平面，是投影面的平行面。将一般位置平面变换为投影面平行面四种

利用更换投影面法解决空间几何元素问题时，可归结为四种基本作图问题：一般位置直线变换为投影面平行线一般位置平面变换为投影面垂直面投影面垂直线投影面平行面小结：（1次）（2次）（1次）（2次）换面1、点投影变换规律；2、新轴的设置，与投影积聚线平行或垂直。掌握：m1'm'mb2(a2)m2n2例1：用换面法求点M到一般位置直线AB的距离。解：介绍两种方法方法一：a'b'OXVHO1X1HV1abO2X2V1H2a1'b1'2、须要将AB变换为投影面垂直线，则M到AB的垂线MN(点N为垂足)是投影面平行线，反映距离实长。将一般位置直线AB变为投影面垂直线需要2次变换投影面。3、首先将AB线变换为投影面平行线，并同时变换M点。5、求出垂线MN的实长n1'nn'6、垂线MN投影要返回实长1、空间分析：求点到直线的距离，就是由点向直线作垂线