浙江省丽水市2023-2024学年高二上学期1月期末教学质量监控数学试题（含答案）

第第页浙江省丽水市2023-2024学年高二上学期1月期末教学质量监控数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知等比数列an的前n项和为Sn，公比q=12，若A．164 B．132 C．31322．已知向量a=(2,1,0),b=(1,−1,A．22 B．23 C．83．函数f(x)A．(−∞，2) B．(0，3) C．4．直线x+aA．0,π4 B．3π4,π5．已知l,m是两条不同的直线，α,β为两个不同的平面，则下面四个命题中，正确的命题是（）A．若α⊥β,l//β，则l⊥αB．若l⊥m,m⊂α，则l⊥αC．若m⊂α,l//β,l//m，则α//βD．若m⊥α,l//β,l//m，则α⊥β6．如图，将一个圆柱2nn∈A．10π B．20π C．10nπ D．20nπ7．设椭圆C1:x2m+yA．e1e2的最小值为14 C．e1e2的最大值为14 8．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20.接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N，A．83 B．87 C．91 D．95二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9．已知直线l:mx+y−m−2=0(m∈R)与圆O:xA．直线l过定点(1,2) B．线段AB长的最大值为6C．线段AB长的最小值为4 D．△ABO面积的最大值为210．如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体EABCDF，且该八面体的各棱长均相等，则（）A．平面ABF//平面CDEB．平面ADE⊥平面EBCC．直线AE与平面BDE所成角的正弦值是3D．平面ABE与平面ADE夹角的余弦值是111．设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点，且与圆(x−5)2+yA．当y0=1时，直线B．当y0=2时，线段C．当r=5时，符合条件的直线l有两条D．当r=3时，符合条件的直线l有四条12．生态学研究发现：当种群数量较少时，种群近似呈指数增长，而当种群增加到一定数量后，增长率就会随种群数量的增加而逐渐减小，为了刻画这种现象，生态学上提出了著名的逻辑斯谛模型：N(t)=KN0N0+K−A．如果N0=B．如果0<N0C．如果0<N0<K，那么存在D．如果0<N0<K2，那么N(t)三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13．已知直线l1:x+y+1=0和l2:2x+my+1=0，若l14．已知等差数列an的前n项和为Sn，若a2+15．已知圆台O1O2的上底面圆O1的半径为2，下底面圆O2的半径为6，圆台的体积为16．已知三棱锥P−ABC的体积为15,M是空间中一点，PM=−115PA+17．已知曲线C1:y=ex和C2:y2=4x，点P,Q18．如图，8个半径为1的圆摆在坐标平面的第一象限（每个圆与相邻的圆外切或与坐标轴相切），若斜率为3的直线l将8个圆分成面积相等的两部分，则直线l的方程是.四、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．已知圆M经过点A(1,0)，B(3,0)，C(0,1).（1）求圆M的方程；（2）过点P−1,1作直线l与圆M相切，求直线l20．已知函数f(x)=axln（1）求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；（2）若函数f(x)有三个零点，求实数a的取值范围.21．已知Sn为正项数列an的前n项和，a1（1）求数列an（2）若bn=4an22．如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD,PA=22，AB=23,（1）求平面MPC与平面APC夹角的余弦值；（2）设点N在直线CD上，若△NPB的面积是5，求NCCD23．已知双曲线C:x22−y2=1（1）若△MAB的重心在直线x−2y=0上，求k的值；（2）若直线l过双曲线C的右焦点F，且直线MA, MB的斜率之积是−1

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：由等比数列求和公式得S6故答案为：D.【分析】利用已知条件和等比数列求和公式，从而得出S62．【答案】B【解析】【解答】解：因为a=(2,1,0),则a+所以|a故答案为：B.【分析】利用向量加法的坐标表示求出向量a+b的坐标，再根据向量模的坐标表示，从而得出3．【答案】A【解析】【解答】∵f(x)=(根据单调性与不等式的关系可得f'(x)=所以函数f(x)=(故答案为：A.【分析】对函数f(x)进行求导，利用导数f4．【答案】B【解析】【解答】解：直线x+a2+1由于0>−1a2则0≤α<π，−1≤所以3π故答案为：B.

【分析】利用直线方程得到直线的斜率，再由直线斜率和直线的倾斜角的关系式，再根据直线的倾斜角的取值范围，从而得出直线x+a5．【答案】D【解析】【解答】解：A、若α⊥β,l//β，则l//α或l与B、若l⊥α，则需要直线l与平面α内两条相交直线垂直，只有l⊥m,m⊂α得不到l⊥α，故B错误；C、若m⊂α,l//β,l//m，则α//β或α与β相交，故C错误；D、若m⊥α,l//β,l//m，根据面面垂直的判定定理可得α⊥β，故D正确.故答案为：D.【分析】由题意，根据空间中直线与平面、平面与平面的位置关系逐项分析判断即可．6．【答案】A【解析】【解答】解：根据题意，设圆柱的底面半径为r，高h，其轴截面的面积为2rh，新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加的为轴截面的面积，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，即2rh=10，所以圆柱的侧面积为2π故答案为：A.【分析】设圆柱的底面半径为r，高为h分析，可得新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加的为轴截面的面积，由此可得2rh=10，再由圆柱的侧面积公式，从而计算得出圆柱的侧面积.7．【答案】D【解析】【解答】解：易知椭圆C1:x2m+y22设f(m)=m+16m，m∈(2,8)，根据对勾函数的性质可知：函数f(m)在(2,4)上单调递减，在(4,8)上单调递增，且f(m)∈[8，10)，则e1e2故答案为：D．【分析】由题意根据椭圆的离心率公式可得e1e28．【答案】D【解析】【解答】解：根据题意将数列分组，第一组为第一项是20第二组为为第二项和第三项是20，2依次类推，第n组为20，21，22第n组含有n项，所以第n组的和为：1−2前n组内一共含有的项数为：nn+1所以前n组内的项数和为：Sn若该数列的前N项和为2的整数幂.，只需将−2−n消去即可；若1+2+−2−n=0，则n不满足N>50；若1+2+4+−2−n=0，则n不满足N>50；若1+2+4+8+−2−n=0，则n满足N>50；故满足如条件的最小整数N为95.故答案为：D.【分析】根据题意进行分组，再结合类比推理的方法和分类讨论的方法，再结合分组求和的方法和等差数列求和公式、等比数列求和公式，从而得出满足如条件的最小整数N的值.9．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：如图所示：

由直线l:mx+y−m−2=0(m∈R)得出直线l:m(x−1)+y−2=0联立x−1=0y−2=0，解得x=1，y=2，所以直线l过定点(1,2)当直线l过圆O圆心时，线段AB最长，为圆的直径，等于6，故B正确；当直线AB与过原点O和点1,2的直线垂直时，弦长AB最短，因为原点C到点1,2的距离为5，此时AB=2因为AO=BO=3，所以△ABO此时S△ABO故答案为：ABC.【分析】由直线系方程求得直线恒过定点，则判断选项A；当直线l过圆O圆心时，线段AB最长，则得出线段AB长的最大值，从而判断选项B；当直线AB与过原点O和点1,2的直线垂直时，弦长AB最短，则得出线段AB长的最小值，从而判断选项C；利用三角形△ABO的面积取得最大值时，则AO⊥BO，AB=32，再结合三角形的面积公式得出三角形10．【答案】A,D【解析】【解答】解：连接AC交BD于点O，

则点O为正方形ABCD的中心，由对称性可知OE=OF，OA=OC，

所以四边形AFCE为平行四边形，所以AF∥CE，又AF⊄平面CDE，CE⊂平面CDE，

所以AF//平面CDE，同理BF∥平面CDE，

又因为AF∩BF=F，AF，BF⊂平面ABF所以平面ABF∥平面CDE取BC中点M，连接EM、FM，则EM⊥BC、FM⊥BC，所以∠EMF为二面角E−BC−F的平面角，设该八面体的棱长为a，则EM=FM=3所以cos∠EMF=所以二面角E−BC−F不是直二面角，则平面EBC与平面FBC不垂直，又因为平面ADE//平面FBC，所以平面ADE与平面EBC同理，取BC中点N，连接BN、DN，∠BND为二面角B−AE−D的平面角，cos∠BND=−13，所以平面ABE与平面ADE由AE=AF，OE=OF，得AO⊥EF，

在正方形ABCD中，AO⊥BD，EF⊂平面BEDF，BD⊂平面BEDF，

又因为BD∩EF=O，所以AO⊥平面BEDF，所以∠AEO即为直线AE与平面BDE所成的角，设该八面体的棱长为2，则AO=1所以EO=AE2故答案为：AD.【分析】利用已知条件和正方形的结构特征和对称性，从而得出四边形AFCE为平行四边形，则得出线线平行，利用线线平行证出直线AF//平面CDE和直线BF∥平面CDE，再由线面平行证出面面平行，则判断出选项A；取BC中点M，所以∠EMF为二面角E−BC−F的平面角，再利用勾股定理和余弦定理，从而求出此二面角不是直二面角，则可判断平面ADE与平面EBC也不垂直，进而判断出选项B；取BC中点N，连接BN、DN，∠BND为二面角B−AE−D的平面角，同理∠BND为二面角B−AE−D的平面角，从而得出平面ABE与平面ADE夹角的余弦值，则可判断出选项D；利用已知条件和正方形的结构特征得出线线垂直，再由线线垂直证出线面垂直，从而得出∠AEO为直线AE与平面BDE所成的角，再根据勾股定理和中点的性质，从而得出∠AEO的值，则得出直线AE与平面BDE所成的角，即得出平面ABE与平面ADE11．【答案】B,D【解析】【解答】解：对于A，如图所示，设Ax1,y1,Bx2,y2当AB的斜率k存在时，x1≠x又因为y1+y当y0=1时，对于B，由CM⊥AB，得k⋅y即y0k=5−x0，因此2=5−x当y0=2时，k=1，点M3,2，直线AB的方程为y=x−1故AB=对于C，将x=3代入y2=4x，得y2=12，

由因为点M在圆上，所以x0当r=5时，3−52+y02此时AB的斜率为k的直线不存在，如图所示：当AB的斜率k不存在时，符合条件的直线只有一条，为x=10，故C错误；对于D，当r=3时，3−52+y02此时AB的斜率为k的直线有两条，为y=552x−1当AB的斜率k不存在时，符合条件的直线也有两条，为x=8和x=2，故D正确.故答案为：BD.【分析】由已知条件和点差法以及两点求斜率公式，再结合中点的坐标公式，从而得出y0k=2，进而得出当y0=1时的直线AB的斜率，由此判断选项A；利用两直线垂直斜率之积等于-1，从而由两点求斜率公式和点与直线的位置关系，从而由焦点弦的求解方法和抛物线的定义，从而得出当y0=2时的线段AB的长，则判断出选项B；当AB的斜率k不存在时判断是否符合要求，当AB的斜率k存在时，由直线与圆切于M得M必在直线x=3上，根据给定的12．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：由N(t)=K当N0=K令K1+2e−rt因为r为种群的内秉增长率，r>0，所以t=2N(t)−K=K因为0<N0<K，t≥0故对任意的t≥0，N(t)<K，所以B正确；N'因为0<N0<K，那么任意的t>0，N(t)令f(t)=N则f'因为0<N令f'(t)>0得：(K−N令f'(t)<0得：(K−N所以f(t)在0<t<1rln那么N(t)的导函数N'(t)在故答案为：ABD．【分析】由N(t)=KN0N0+K−13．【答案】2【解析】【解答】解：因为直线l1:x+y+1=0的斜率为−1，

直线l2:2x+my+1=0的斜率为-2m，

又因为经检验，m=2满足题意.故答案为：2.【分析】根据两直线平行，则两直线斜率相等，从而得到−214．【答案】28【解析】【解答】解：S7故答案为：28.【分析】利用等差数列的性质和等差数列前n项和公式，从而计算得出S715．【答案】17【解析】【解答】解：设圆台的高为h，．依题意可得，V=134π+36π+12πh=104π，解得故OO故答案为：17.【分析】由已知条件和圆台的体积公式，从而求出圆台的高，再利用球的内接的圆台，从而构造直角三角形，再利用勾股定理，从而建立方程，进而求出O1O的长，则求出16．【答案】10【解析】【解答】解：如图所示：因为PM=−115即15PM即10PM=−MA因为−15+25使得MD=−15所以PM=12MD，即又因为三棱锥P−ABC的体积为15，则VA−MBC故答案为：10.【分析】根据题意，由空间向量的运算可得2PM=−15MA+25MB+417．【答案】2【解析】【解答】解：设点P坐标为x0,ex0点Q到C2准线距离为xQ+1则|PQ|+x又因为|PF|设fx则f'x=2e2x+2x−2，

令gx=2e又因为f'所以，当x>0时，f'x>0当x<0时，f'x<0所以f(x)≥f(0)=2，故|PF|=fx0即|PQ|+xQ的最小值是故答案为：2−1【分析】设点P坐标为x0,ex0，由抛物线定义可得|PQ|+xQ18．【答案】3x−y−5=0【解析】【解答】解：当过A2,1的直线将圆1与圆2区域平分，

过B3,4的直线将圆3与圆

直线l将8个圆划分为面积相等的两个区域且kAB=∴直线AB的方程为：y−1=3x−2，即直线l:3x−y−5=0故答案为：3x−y−5=0.【分析】过A2,1、B3,4的直线平分四个圆，可实现两个区域面积相等，由此可确定直线AB的方程，即求出直线19．【答案】（1）解：线段AC的垂直平分线的方程为y=x，线段AB的垂直平分线的方程为x=2由x=2y=x，解得M(2,2)∴圆的半径r=AM=(2−1)∴圆的方程为(x−2)2（2）解：由题易得直线l的斜率存在，

设过点P的直线为y−1=k(x+1)，即kx−y+k+1=0，则圆心到直线的距离d=|3k−1|1+k2=直线方程为2x−y+3=0或x+2y−1=0.【解析】【分析】（1）利用垂直平分线的性质和联立方程的方法，从而计算可得点M的坐标，再利用两点间距离公式计算可得半径长，从而得出圆的标准方程.（2）由题易得直线l的斜率存在，再利用点斜式设出切线方程，再结合切线定义和点到直线的距离公式，从而得出直线的斜率，进而得出直线l的方程.（1）线段AC的垂直平分线的方程为y=x，线段AB的垂直平分线的方程为x=2，由x=2y=x，解得M(2,2)∴圆的半径r=AM=(2−1)∴圆的方程为(x−2)2（2）由题易得直线l的斜率存在，设过点P的直线为y−1=k(x+1)，即kx−y+k+1=0，圆心到直线的距离d=|3k−1|1+k2=直线方程为2x−y+3=0或x+2y−1=0.20．【答案】（1）解：因为f'(x)=aln(x+1)+xx+1+2x+1，

所以y=f(x)的切线方程为y=x.（2）解：因为f(x)=axln故x=0是函数f(x)的一个零点，由题意可知，方程aln显然a=0不合题意，令t=x+1>0，则−1设g(t)=lntt当t∈(0,e)时，g'当t∈e,+∞时，g故g(t)又因为t→0时，g(t)<0；t→+∞时，g(t)→0故0<−1a<【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得出切线的斜率，由代入法得出切点坐标，再结合点斜式得出曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程.（2）由题意可得x=0是函数f(x)的一个零点，故方程aln(x+1)+x+1=0有两个不同的非零实数根，显然a=0不合题意，令t=x+1>0，则可转化为求g(t)=ln（1）f'(x)=aln(x+1)+x所以y=f(x)的切线方程为y=x；（2）f(x)=axln故x=0是函数f(x)的一个零点，由题意可知，方程aln显然a=0不合题意，令t=x+1>0，则−1设g(t)=lntt当t∈(0,e)时，g'当t∈e,+∞时，g故g(t)又t→0时，g(t)<0，t→+∞时，g(t)→0故0<−1a<21．【答案】（1）解：由题意知：Sn+S两式相减，可得an∵an>0又∵a1=1，当n=1时，S解得a2=2或a2从而an+1−an=1(n≥1)所以数列an的通项公式为a​​​​​​​（2）解：由an可得b=4所以T【解析】【分析】（1）利用an=Sn−（2）利用（1）中数列an的通项公式得出数列bn的通项公式，再利用裂项相消法，从而求出数列bn（1）由题意知：Sn+S两式相减，可得an∵an>0又∵a1=1，当n=1时，S解得a2=2或a2从而an+1−a所以数列an的通项公式为a（2）由an可得b=4所以Tn22．【答案】（1）解：由已知得出，在△ABC中，∵cos∴AC=2，又因为四边形ABCD是平行四边形，∴AC=AD=2，取CD中点H，则AH⊥CD，∵AB∥CD，∴AH⊥AB，∴AB,AH,AP两两垂直，以AB,AH,AP为x,y,z轴建立直角坐标系A−x则B(23,0,0), 所以AH=A∴C(3因为M为AD中点，∴M−∴PC设平面APC的法向量为m=∴m∴3x1设平面MPC的法向量为n=∴n⋅PC=0, ∴∴平面MPC与平面APC夹角余弦值为5118（2）解：设N(m,1,0)，则BN=(m−2BN⋅∵S△PBN=则S=12|PB|d=∵BN⋅BP∴m=23另解：∵S△PBN=则S=12⋅PB⋅d=延长DC至E，使得CE=3，则EB⊥AB且EB=1又∵EB⊥PA,∴PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB，所以EB⊥平面PAB，因为PB⊂平面PAB，∴EB⊥PB，

所以E点即为N点，则NCCD【解析】【分析】（1）利用已知条件和余弦定理得出AC的长，由平行四边形的结构特征和等腰三角形三线合一得出线线垂直，再利用AB∥CD得出AH⊥AB，从而得出AB,AH,AP两两垂直，则以AB,AH,AP为x,y,z轴建立直角坐标系A−xyz，从而由勾股定理得出点的坐标和向量的坐标，再由两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面APC的法向量和平面MPC的法向量，再利用数量积求向量夹角公式得出平面（2）利用两种方法求解.解法一：设N(m,1,0)，再结合向量的坐标表示和数量积的坐标表示以及三角形的面积公式，再结合已知条件得出点N到直线PB的距离，再由数量积和勾股定理得出m的值，从而得出NCCD的值.解法二：先根据三角形的面积公式，从二求出点N到直线PB的距离，延长DC至E，使得C