变化率问题课件2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

为了描述现实世界中的运动、变化现象,在数学中引入了函数概念.在对函数的深入研究中,数学家创立了微积分,这是具有划时代意义的伟大创造,被誉为数学史上的里程碑.

牛顿（IsaacNewton，1643年－1727年），英国物理学家、数学家.

莱布尼茨（GottfriedWilhelmLeibniz，1646年－1716年），德国哲学家、数学家.一、情境引入在40年代，陈省身结合微分几何与拓扑学的方法，为大范围微分几何提供了不可缺少的工具。已远远超过微分几何与拓扑学的范围，成为整个现代数学中的重要组成部分。20世纪我国重要的微分几何学家，被誉为“微分几何之父”。

今年11月，比利时15岁少年劳伦特·西蒙斯在安特卫普大学成功通过博士论文答辩，成为世界上最年轻的量子物理学博士之一。劳伦特出生于2009年，智商高达145（全球仅0.1%的人能达到这一水平），有着过目不忘的记忆力。4岁接受小学教育、8岁高中毕业、11岁以85%的最高分获物理学学士学位、12岁以最优等成绩获得量子物理学硕士学位，研究方向是玻色子和黑洞；15岁攻克博士学位，将同龄人二十年的学业压缩至短短数年。今年才15岁的他，已凭借毕业论文《超流体和超固体中的玻色极化子》，成为一名量子物理学博士。微积分主要与四类问题的处理相关:1.已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;2.求曲线的切线;3.求已知函数的最大值与最小值;4.求长度、面积、体积和重心等.

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具.

章

节

导

读5.1.1变化率问题

选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用学

习

目

标123体会由平均速度过渡到瞬时速度的过程，理解平均速度、瞬时速度的区别和联系，体会极限思想.掌握瞬时速度的概念，会求解瞬时速度的相关问题，培育数学运算的核心素养.理解割线斜率与切线斜率的关系，会求其斜率.创设情境问题1高台跳水运动员的速度hto课例1高台跳水运动员的速度二、探究新知--平均变化率

在一次高台跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系：

如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？h(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11．

问题(1)如何求运动员从起跳到0.2秒，起跳后1秒到1.5秒这两段时间的平均速度？二、探究新知--平均变化率htoh(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11．

问题(1)如何求运动员从起跳到0.2秒，起跳后1秒到1.5秒这两段时间的平均速度？二、探究新知--平均变化率htoh(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11．

在0≤t≤0.2这段时间里，在1≤t≤1.5这段时间里，问题(1)如何求运动员从起跳到0.2秒，起跳后1秒到1.5秒这两段时间的平均速度？hto二、探究新知--平均变化率问题(2)如何求运动员起跳后t1秒到t2秒这段时间的平均速度？h(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11．

hto二、探究新知--平均变化率二.平均变化率的定义:一般地，函数f(x)在区间[x1

,x2]上的平均变化率为：注意:（1）平均变化率不能脱离区间而言，不同区间上平均变化

率可能不同．（2）若设

x=x2-x1，

y=y2-y1，则函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率可写为

.平均变化率的实质就是：

.

函数值的改变量与自变量的改变量之比第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1；第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；求函数平均变化率的三个步骤注．求平均变化率的一个关注点B外卖配送的“速度谜题”h(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11．

hto追问：你认为用运动员该时段内的平均速度，近似描述在这段时间内的运动状态有什么问题？

运动员平均速度为0，但显然在此期间运动员并非静止状态，因此平均速度不能准确反映运动员在一段时间内的运动状态.

故为了精确刻画运动状态，需要引入瞬时速度的概念，来描述物体在某一时刻的速度.二、探究新知--平均变化率三.瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.问题(4)瞬时速度与平均速度有什么关系？如何求运动员在t=1s时的瞬时速度吗？平均速度缩短时间段长度瞬时速度v(t0)三.瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.问题(4)瞬时速度与平均速度有什么关系？如何求运动员在t=1s时的瞬时速度吗？平均速度缩短时间段长度瞬时速度v(t0)1．瞬时速度与平均速度的区别和联系区别：瞬时速度刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关．联系：瞬时速度是平均速度的极限值．2．x的变化量Δx≠0，但可正可负．说明：4.“Δx→0”的含义是Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx－0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx≠0.这里的极限思想就是无穷逼近思想，即f′(x0)等于当x0＋Δx无穷逼近x0时，y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率．说明：这就涉及我们的数学极限问题！3.平均变化率可正可负，也可为零．但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，不能说明该函数在此区间上的函数值都相等．△t<0时，在[1+△t，1]这段时间内△t>0时，在[1，1+△t]这段时间内-0.010.01-0.0010.001-0.00010.0001-0.000010.00001-0.0000010.000001…………运动员在t=1附近时间段的平均速度表：-7.049-7.0049-7.00049-7.000049-7.0000049-6.951-6.9951-6.99951-6.999951-6.9999951从表中发现什么规律？

当△t趋近于0时,即无论t从小于1的一边,还是从大于1的一边趋近于1时,平均速度都趋近于一个确定的值–7.

计算是有限的,不能断定平均速度是否永远具有这种特征,需要从更加理性的角度加以说明.

因为h(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11,所以运动员在时间段[1,1＋Δt]（或[1＋Δt,1]）的平均速度为当Δt无限趋近于0时,－4.9Δt也无限趋近于0,所以,无限趋近于－7.四.数学极限

逼近(极限)思想四.数学极限解:典例分析例2解:典例分析例2巩固作业答案（教科书第61-62页练习第3题）巩固作业答案（教科书P70页习题5.1第3题）数学文化

渊源流长刘辉“割圆术”：割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣.数学文化博大精深多边形逼近

圆

平均速度与瞬时速度的关系1.平均速度：运动员在时间段[t0,t0＋Δt]内的平均速度为当Δt无限趋近于0时，平均速度的极限为瞬时速度，记为2.瞬时速度：无限逼近取极限物体运动的平均速度物体运动的瞬时速度

我们知道，物体在做曲线运动时，速度的方向是与运动轨迹相切的.例如，如图所示的砂轮打磨下来的微粒，是沿着飞轮的切线飞出去的.这也就意味着，求切线是研究曲线运动时经常要做的事情.

我们在平面解析几何中已知知道怎样求圆锥曲线的切线.不过，可能会让你感到意外的是，那种求切线的方法并不适用于一般的曲线.然而，借助于导数来讨论曲线的切线更具有一般性.课本p62页

抛物线的切线的斜率五、切线问题Poxyy=f(x)割线切线T

请看当点沿着曲线逐渐向点

接近时,割线

绕着点逐渐转动的情况.

我们发现,当点P沿着曲线无限接近点

即Δx→0时,割线

如果有一个极限位置.则我们把直线

称为曲线在点

处的切线.在点P0(1,1)附近任取一点P(1+△x,(1+△x)2)当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置P0T，故把直线P0T称为抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线.切线位置割线位置无限逼近本质：切线斜率是割线斜率的极限例3.

求抛物线f(x)＝x2－x在点(2,2)处的切线斜率？解：f(2＋Δx)－f(2)＝(2＋Δx)2－(2＋Δx)－2