第2课时等比数列前n项和的性质及应用课件2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.3.2等比数列的前n项和公式第2课时

性质及应用学习目标1.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题.(重点)2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.(难点)等比数列的性质pqp1/pp2pqp/q性质3.等比数列{an}中，下标成等差数列的项仍成等比数列推论1：a1·an＝a2·an－1＝a3·an－2＝…等式左右两边的项数相同|p|回顾引新知

已知量求和公式首项、公比与项数首项、公比与末项

等比数列的前n项和公式回顾引新知等比数列{an}前n项和Sn公式具的函数特性令回顾引新知新知探究问题1

你能否用等比数列{an}中的Sm，Sn来表示Sm+n？提示思路一：Sm+n=a1+a2+…+am+am+1+am+2+…+am+n

=Sm+a1qm+a2qm+…+anqm

=Sm+qmSn.思路二：Sm+n=a1+a2+…+an+an+1+an+2+…+an+m

=Sn+a1qn+a2qn+…+amqn

=Sn+qnSm.新知探究问题2在等比数列等片段和的性质中，你能用不同的方法推导Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…(n为偶数且q=-1除外)的关系吗？证明：

问题2在等比数列等片段和的性质中，你能用不同的方法推导Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…(n为偶数且q=-1除外)的关系吗？新知探究新知探究问题3类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的性质，等比数列是否也有相似的性质？

新知探究问题3类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的性质，等比数列是否也有相似的性质？提示若等比数列{an}的项数有2n+1项，其偶数项和为S偶=a2+a4+…+a2n，其奇数项和为S奇=a1+a3+…+a2n-1+a2n+1，从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是我们有S奇-a1=a3+…+a2n-1+a2n+1=a2q+a4q+…+a2nq=qS偶，即S奇=a1+qS偶.

知识梳理

S3n-S2nqnSm典例分析学习笔记30页例1

(1)已知等比数列{an}共有2n项，其和为-240，且(a1+a3+…+a2n-1)-(a2+a4+…+a2n)=80，则公比q=

.

2

(2)在等比数列{an}中，已知Sn=48，S2n=60，求S3n.

反思与感悟

学习笔记31页跟踪训练1(1)若等比数列{an}共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比q为

，项数为

.29

(2)记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4=3，S8=9，则S12等于A.12 B.18 C.21

D.27√方法一

因为Sn为等比数列{an}的前n项和，且S4=3，S8=9，易知等比数列{an}的公比q≠-1，所以S4，S8-S4，S12-S8成等比数列，所以(S8-S4)2=S4(S12-S8)，所以62=3(S12-9)，解得S12=21.方法二由方法一知，S4，S8-S4，S12-S8成等比数列，即3，6，12成等比数列，S12-S8=12，所以S12=S8+12=9+12=21.方法三

S8=S4+q4S4，即q4=2，则S12=S8+q8S4=21.

等比数列前n项和实际应用

典例分析学习笔记31页例2

《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么该人第一天所走路程里数为A.96 B.126 C.192

D.252√

等比数列前n项和实际应用分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列.因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算.典例分析

提炼数据20

6递增量：

5%增加量：1.5

14

公比：

1+0.05

通项公式：

学习笔记31页跟着训练2

中国三大名楼之一的黄鹤楼因其独特的建筑结构而闻名，其外观有五层而实际上内部有九层，隐喻“九五至尊”之意，现打算在黄鹤楼内部挂灯笼进行装饰，若在黄鹤楼内部九层塔楼共挂1

533盏灯笼，且相邻的两层中，下一层的灯笼数是上一层灯笼数的两倍，则内部塔楼的顶层应挂

盏灯笼.3

等比数列前n项和实际应用

(2)这是待定系数法的应用，可以将它还原为(1)中的递推公式形式，通过比较系数，得到方程组；(3)利用(2)的结论可得出解答.典例分析

√

如图，画一个边长为2的正方形，再将此正方形各边的中点相连得到第2个正方形，以此类推，记第n个正方形的面积为an，数列{an}的前n项和为Sn.求{an}的通项公式及S2

024.跟踪训练3

方法归纳：解数列应用题

(二)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，将数量关系用数学式子表达．(三)把复杂数列适当分为几种简单的数列，应用公式解题.

分组求和是一种常用的求和方法.

有固定比值关系的递推数列可以转化为等比数列.课堂小结性质1性质2性质3随堂演练

√2.已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1

011，偶数项之和为2

022，则这个数列的公比为A.8 B.-2 C.4

D.2√3.(多选)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若S2=1，S6=91，则A.S8=729 B.S8=820C.q=3 D.q=9√4.一个项数为偶数的等比数列{an}，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则数列的通项公式an=