同角三角函数的基本关系说课课件2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

同角三角函数的基本关系说课目录01教学内容分析02学习者分析04学习目标确定05学习重难点03课标要求学习评价设计0607学习活动设计01教学内容分析/教材分析本节选自普通高中课程标准实验教科书新人教版A版必修一第五章第二节的第2课时“同角三角函数的基本关系”。本节内容承前启后，它是继“任意角的三角函数概念”之后的重要深化内容，标志着学生从“认识函数值”走向“探索函数间内在联系”的关键一步。本节课核心内容分析本节课的核心是揭示同一个角的正弦、余弦、正切三个三角函数之间的两种基本关系：平方关系（sin²α+cos²α=1）

和

商数关系（tanα=sinα/cosα）。”这不仅是三角恒等变换的起点，更是后续学习诱导公式、和差角公式、解三角形乃至物理中简谐运动建模的理论基石。知识结构分析从知识结构上看，本节课是对函数“关系性”本质的进一步体现。它要求学生不仅知道“一个角对应一组函数值”，更要理解“这组值之间是相互制约、彼此关联的”。这种从孤立到关联的认知跃迁，深刻体现了数学的统一美与逻辑美。思想方法分析内容承载了丰富的数学思想方法：数形结合（借助单位圆推导平方关系）、分类讨论（例1中象限判断）、方程思想（知一求二）、转化与化归。02学习者分析学习者分析已有基础学生已掌握任意角三角函数的定义、单位圆的几何意义，以及初中阶段锐角三角函数的相关知识，具备一定的知识迁移和探究基础。认知不足学生能利用终边上点的坐标求三角函数值，但对“同角”的本质理解可能存在局限，在运用关系进行恒等变形和分类讨论时，思维的严谨性有待提升。教师引导

学生适合通过问题链引导、动手操作、例题变式等方式突破难点，深化理解。03课标要求课标要求理解同角三角函数的关系式：sin²α+cos²α=1、tanα=sinα/cosα，(α≠kπ+π/2，k∈Z）。04学习目标确定学习目标1.通过小组合作探究，发现同角三角函数的平方关系（sin²α+cos²α=1）和商数关系（tanα=sinα/cosα，α≠kπ+π/2，k∈Z），明确关系式的成立条件；并能熟练运用关系式进行求值、化简和证明，提升抽象概括和归纳总结的能力。学习目标2.通过探究单位圆与任意角的终边交点坐标的特征，经历从特殊到一般、从几何直观到代数定义的推导过程，提升抽象概括和逻辑推理能力。学习目标3.感受三角函数定义的合理性与严谨性，体会数形结合的数学思想，激发对三角函数知识的探究兴趣，增强数学学习的自信心。05学习重难点学习重难点学习重点学习难点1、同角三角函数的平方关系和商数关系的推导与理解；2、利用关系式进行求值、化简和证明的基本方法。1、准确理解“同角”的含义（与角的表达形式无关，仅指同一个角）；2、运用关系式求值时，根据角的象限进行分类讨论；3、证明三角恒等式时技巧的选择（如1的代换、弦切互化）。06学习评价设计学习评价设计1.通过课堂提问（如“同角的含义是什么？”“关系式成立的条件是什么？”）、小组探究成果展示，评价学生对概念的理解和参与积极性；通过课堂练习的即时反馈，关注学生运算的规范性和思路的合理性。学习评价设计2.通过随堂小测检测关系式的基本应用能力；通过课后分层作业评估知识巩固和拓展应用水平。学习评价设计3.能准确表述关系式及成立条件；求值时能正确判断角的象限并分类讨论；化简和证明过程逻辑清晰、步骤规范；能灵活运用数学思想解决问题。07学习活动设计（一）情境引入·温故知新情境引入1、展示单位圆模型和上节课三角函数定义：已知角α的终边与单位圆交于点P(x,y)，请写出sinα、cosα、tanα的表达式，并分析x与y之间满足的关系式。引导学生利用单位圆以及三角函数的定义分别从代数和几何角度推导同角三角函数的基本关系。（一）情境引入·温故知新学生活动请学生四人一组进行讨论1）几何法：单位圆中构造直角三角形，x²+y²=12）代数法3）特值法采用特值检验，由特殊到一般并论证。（一）情境引入·温故知新教师活动提出问题链（小组合作探究）：①

若α=30°，计算sin²30°+cos²30°和sin30°/cos30°的值；②

若α=60°，重复上述计算，你有什么发现？③

猜想对于任意角α，这两个关系式是否仍然成立？

请结合x,y之间的关系进行分析。引导学生结合单位圆图形，思考关系式的几何意义。（一）情境引入·温故知新设计意图1、设置疑问，激发学生的求知欲和对数学学习的兴趣。2、通过讨论搭建探究桥梁，以特殊角的计算引发猜想，借助单位圆的几何直观降低抽象难度，培养学生由特殊到一般的认识事物过程和探索发现问题等能力。（二）探究推导·深化理解a=1,b=根据三角函数定义，sinα=y，cosα=x，结合单位圆性质x²+y²=1，推出sin²α+cos²α=1；再由tanα=y/x（x≠0），推出tanα=sinα/cosα（cosα≠0，即α≠kπ+π/2，k∈Z）。强调“同角”的内涵：举例说明“sin²2α+cos²2α=1”“tan(π-α)=sin(π-α)/cos(π-α)”均满足“同角”条件，帮助学生突破认知误区。

组织小组讨论：①

公式的适用条件是什么？②为什么商数关系有定义域限制？（二）探究推导·深化理解设计意图1、让学生经历“猜想—推导—验证—辨析”的完整过程，培养逻辑推理能力，明确公式的来龙去脉，加深对“同角”和定义域的理解。2、充分观察同角三角函数的关系式，解决化简问题、求值问题和证明问题这三个基本问题。（二）探究推导·深化理解设计意图1、让学生经历“猜想—推导—验证—辨析”的完整过程，培养逻辑推理能力，明确公式的来龙去脉，加深对“同角”和定义域的理解。2、充分观察同角三角函数的关系式，解决化简问题、求值问题和证明问题这三个基本问题。（三）例题剖析·巩固应用展示例题1（三角函数值互求）：已知sinα=3/5，且α是第二象限角，求cosα、tanα的值；若α为第三象限角，结果又如何？

引导学生分析：先根据平方关系求cosα，重点强调符号判断的依据（角所在象限），再用商数关系求tanα。（三）例题剖析·巩固应用（三）例题剖析·巩固应用设计意图通过分层例题和变式练习，巩固公式应用，突破符号判断这一难点，培养数学运算和逻辑推理能力，掌握三角恒等式证明的基本技巧。设计说明1、《同角三角函数的基本关系》教学设计以“知识建构—能力提升—素养培育”为核心主线，类比三角函数概念的探究路径，构建起“温故知新—探究推导—应用深化”的教学框架。课程紧扣育人为本理念，将数学学科核心素养培育融入教学各环节，着力提升学生逻辑推理、数学运算等综合能力。设计说明2.为破解公式抽象性难题，教学设计以旧知为依托，通过特殊角计算创设探究情境，串联“猜想—推导—验证”的认知链条，让学生在循序渐进的思考中理解公式本质。教学活动注重分层设计，从基础的公式推导到进阶的符号判断，再到综合的恒等式证明，层层递进引导学生突破难点。同时，融入数形结合、分类讨论等数学思想，借助单位圆动态演示、小组合作探究等形式，既强化知识的直观感知，又培养学生的协作与思辨能力。设计说明3.整个设计兼顾知识的严谨性与学习的趣味性，通过变式练习、拓展任务满足不同层次学生需求，让学生在解决问题的过程中感受数学知识的内在逻辑，收获学习成就感，激发持续探究三角函数知识的兴趣。作业拓展与设计基础作业课后练习题A组2、3、5题（巩固公式应用，侧重三角函数值互求与化简）。提升作业课后练习题B组2、4题（强化恒等式证明与综合应用）。拓展任务：探究“1”的其他三角代换形式，尝试用不同方法证明同一恒等式，体会解题思路的多样性。

5.课堂小结思维导图2、体现知识学习为载体，渗透数学思想为方向，掌握数学方法，提高数学思维能力为目的的数学教学理念，从而全面提升学生的数学学习能力。1、采用思维导图的形式进行知识小结，不仅直观清晰，有利于学生知识结构的建构，而且培养学生归纳概括的能力。特色学习资源分析、技术手段应用说明010203特色学习资源渗利用几何画板动态演示单位圆中x²+y²=1与三角函数的关联，强化数形结合认知；通过PPT