概率论(计算)习题

概率论计算：

1.已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，作不施加抽样，求下列事件的概率.(1)

两只都吴正品？(2)两只都是次品？(3)一只是正品，一只是次品？(4)第二次取出的是次品？

解：设A1、A2表示第一、二次取到正品的事件，由等可能概型有：(1)

户浦也)・依小仍为1小)

—

10945

(2)

尸(A|,八2)

=P(A|)P(42|A|)

—

10945

P(AA2)^P(A]A2)

-HA}P(A2M|)+P(A\)P(A2\AI)Pd2)

(3)(4)=尸(八1)而217)”次1)雨21麻)

IC910982211

=生1091095

45

2.某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的，根据以往记录有如下数据〜~~设三

家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。(1)在仓库中随机地取一只晶体管，

求它是次品的概率。(2)在仓库中随机地取一只晶体管，发现是次品，问此次品是一厂产品的

概率？

解：设Bi(1=1,2,3)表示任取一只是第I厂产品的事件，A表示任取一只是次品的事件。

(1)由全概率公式

P(A)»P(B\)P(A\80+Pith)

P(4|82)Sg)HAI与)(2)由贝叶斯公式

=0.5x0.02+0.30x0.01+0.05x0.03

-0.0125

P(A}

=015x002=O24

0.0125

3.房间里有10个人，分别佩威从1号到10叼的纪念章，任选三人记录其纪念章的号码，求：(1)

最小号码为5的概率；(2)最大号码为5的概率.

解：由等可能概型有：

⑴尸辱+

CIO12

⑵「系』

4.6件产品中有4件正品和2件次品，从中任取3件，求3件中恰为1件次品的概,率。

解：设6件产品编号为1,2……6,由等可能概型屋姿」

C5

5.设随机变量X具有概率密度.・,%、>0。(1)确定常数k;(2)求P(X>0o1)

[o,x«0

J

解：(1)由有°3)。(2)

*所我=3

J

Ptr>n1)==c74DR

6.一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明，在任一时刻t,每个设备被使用的概率为。1,

问在同一时刻(1)恰有2个设备被使用的概率是多少？(2)至多有3个设备被使用的概率是多

少？(3)至少有1个设备被使用的概率是多少？

解：由题意，以X表示任一时刻被使用的设备的台数，则X〜b(5,0。1),于是

(1)

P(X-2)-C^O.I^.V3-0.0729

(2)

P(X<3)-P(A-0)fP(X-I)

+r(X=2)+«X=3)

=I-P(X>3)

=1-|P(X=4)^P(X=5)1

=l-|C^0.l40.9+(^0.15

-0.9995

(3)

MX"),"冏X-0)

=I-C^O.I°O.95

=0.40951

7.设随机变量X的概率密度为人加7-

0.其它

r<i-3i

解：*—J科

2

8.由某机器生产的螺栓的长度(cm)服从参数11=1005,。=0.06的正态分布，规定长度在范围

10.05±0。12内为合格品。求一螺栓为不合格品的概率。

解：由题意，所以为

I-310.05-0.12<.v<10.05+0.12)

.入0.12、

=1-10(-------->)

0.060.06

=2(1-眄2”

=0.0456

9.设X〜N(3,2?)求:(1)A255)MY<EO).

---------------------------------------------------汽IxA2),代x>3)

(2)P(.v>e)=P(x£c)

解：⑴

42-3、P(-4<x^l0)

M2VXWS)=9(F)：-<(>(------)

24/°-3、-4-3

=<1>(---)-<!>(---

=0>(1)-0(-0.5)

=-0.5328(!)(3.5)-<^(-3.5)

=0.9996

P(|x|>2)=1-P(|.r|£2)

=l-/\-2<x<2)

2-3-2-3

,I—)-<!>(—^―)|

=0.6977

P(X>3)=1-<xo)=0.5

(2)由P>c=P(xWc),即

1-0>(、2)=帆、2)

J与)=:

22

匚工=0.所以，=3

2

10.设随机变量X的分布律为

求Y二X?的分布律.

解：Y二妙的全部取值为0,1,4,9且P(Y=O)=P(X=O)=1,

P(丫二1)二P(X二一1)+P(X=1)二L7

6I530

P(Y二4)二P(X=—2)=1,

pg)=P(X=3)5攵Y的分布律为

X0149

P27工11

305而

11.设二维随机变量(x,y)具有概率密度“xj"⑵+?求分布函数F(x,y);

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(0.其它-----------------------------------------

(2)求概率P(YWX)

解：(1)

F(X.y)=J：y)dxdy

J沏;"YWdtx>0.y>0(2)

0.其它

=(1-^-24：)(1-^).x>0.y>0

-0.其它

p(ysx)="/(”)y

="8小+'7

g.常知(xY)中联合分律为

'\iorr

X

Y

M巧

1/43/8

求X及Y的边缘分布律.

解：X的分布律为

X01

P35

88

Y的分布律为

X12

P35

87

13.设随机变量（X,Y）的联合概率密度为边缘概率密度/•-,、》.

解：

，+00

Zv（x）=JfCy

一8

0.其它

6(x-x^).05x21

0.共它

-------.d<x<b

/(x)=b-a

0.其它

口X)=CMM=*£d\

a-b

=-------

2

怨2)=匿

=^x2j_dx=<rab^_

12b-a3

D(X)=E(X2)-(£(.V»2

“2+ub+b2(4+〃)2

S‘'

12

18.设随机变量X服从分布，其概率密度为

/(x)=5°">0.故.中。>0是

0.xMO

常数.求£(X).&X}.

解：E(X)・rX'方杰・0

X

£(X2)-。杰・2好

D(X)=E(X2)-(E(X))2

=%2_屏=屏

19.已知X—N(U,。2),求E(X),D(X).

1

ft?.£(X)-Aj；ed.K

■(土上设为。

(7

r

=j।j曹(ea2dr=〃

(x-〃/

EX?』篌Je切：dx

=(设乙二巴=，)

a

=JJ曹(6a2$=“2+,2

D(X)=£(X2)-[£(X))2

=«2+“2_,2=02

20.在总体N(52,6.3‘)中随机抽一容量为36的样本，求样本平均值上落在50。8到53.8之间

的概率.

W：P(5O.8<X<53.8)

50.8-52Z-5253.X-52

636363

.~6VT.

T盖M部)

=飘1・71)-3-1.14)

=0.8293

21.已知X—t(n),求证*2下(1,n)

u

证明:由XFn泌有X=

/v/n

其中"-yv<o.isv-/⑻，

旦亍与正相互独立于是

2U2叫I

X=■.-,.

V/VV/zr

由F分布定义即如"KIM

22.设为.X2.…X”为总体的一个样本，求下列各总体的密度函数中未知参数的极大似然估计量。

10.x5<•

共中c>0为已知。>0.

0为未知参数

(2)/(.r)-疝*RosxSl.

0,其它

其中@>0.6为K如参数

解：。)似然函教为

£«?)-R«%,re+1)

1=1

=*•""(XM2...XQ-3D

似然方程为包装

do

="+/rlnc-=0.解得

°f=l

6=-------------------

n

ginX/-dnc

i=l

(2)似然函数为

〃。)=人向'值

1=1

•届XiX》.“x”护

似然方程为好的

解褥6=—2——

〃-)

(2>灯厂

f-1

23.设总体为随机变量X,且E(X)二a(常数，未知)，试说明样本平均值豆是a的无偏估计量。

解：E(%・d，£x,

l"i=l

IJ?I

■-yE(X;)---a

nr•=.ln

即观”的无偏估计量

24.设总体X在［a,b］上服从均匀分布，a,b未知，毛心,./“是一个样本，试求a,b的矩估计量.

解：*=£(X)=(tf+*)/2

/n=E(x2)=必一°>2〃2

+(〃+加2/4

(a+Z»/2=4|=X

令(s-n)2/|2+(〃+Zo2/4

卜公*

解得力=X_J。(也_为)2

25.设某种清漆的9个样品，其干堞时间(以小时计)分别为6。1,6。0,5。1,5.8,6。5,7.0,

6。3,5。6,5.0。设干燥时间总体服从正态分布N(u,/)，求小的置信度为。95的置信区间.

解：a沅知时.口信区间为

卜咛均卜在父啥均

=6.010.2x1.96

..,,,、，、■,所以置信区间为S.6086392)

(1)若由以往经脸知C二。6(小时)；(2)若。为未知。(2”未尔M.置信R间为

X±a(〃I)现在.

•in—

X±-^rw(n-l)

2

=6.0士里卢0.025⑻

所以置信区间为(5.558464416)

26.随机地取某种炮弹9发做试验，得炮口速度的样本标准差S=11(m/s),设炮口速度服从正态

分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差o的置信度为0。95的置信区间。

解:由您条件,标准差雨信度为

0.95的置信区何为

代人有关数化15表计算得

(7.43.21.1)

27.某种电子元件的寿命x(以小时计)服从正态分布，u,力均未知，现测得16只元件的寿

命如下：

159280101212224379179264222362168250149260485170问是否有理由认为元件

的平均寿命大于225小时(取a=0。05)

解：此检命如下：〃0：〃W〃n225

H］：“>225拓地域为

“在…

l5

计簿得,「0.66S5.r0,05<>-mi

由于0.6685<1.7531,故按原假设他，

认为元件平均寿命不火于225小时

28」已知(X,Y)的联合分布律为

X012

Y

101/60

24/601/6

求X及Y的边缘分布律

ft?:E(X)=-2x0.4+0x03+2x0,3

=-0.2

E(X2)=(-2)2XO.4+O2XO.3+22

x0.3=2.8

30.盒子有4个新乒乓球，2个旧乒乓球，甲从中任取一个用后放回(此球下次算旧球)，乙再

从中取一个，那么乙取到新球的概率是多少？

好：设8衣示第1次取到新球的

维件:我示第2次取到新球的事

件由仝概率公式

P(A)=P(B)P(.K\B)+

P(B)P(A\B)

4124

=­X-十-X-

6266

=一I+一2

39

5

=—

9

31.对于正态总体的大样本(n>30),S近似服从正态分布N(。，。2/20,其中。为总全的标准

差，试证：。的100(/)％的置信区间为

解：证:vS近似服从，丫(。，”2⑵)

二上鼻近似41从M0J)

a/-J2n

。I16-，

s2=」一E(Zi-Z)2,试求满足

16-1；=1

W-.P(X>u+ks)

32.总体X~N(U,。)X],X2“..X“是来自总体区的容量"16的样本，S?是样本方差-4磊>K叫

,”16-1)>4幻0.95

P{r(l5)<1,75)=0.95

^-1.75=4*.-,A-=0.4375

33.已知离散型随机变量X服从对数为2的泊松分布，即pa=K、=3K=>.2...求X=3X-2的数学期望E(X)。

解"E(X)=2

・•.£(X)=E(3X-2)=3E(X)-2

=3x2-2=4

.\E(X)=4

34.设随机变量X与Y独立，且X~N(1,2)Y〜N(0,1)试求X=2X—Y+3的概密度。

Wr.E(X)=&2X-r+3)

=2E(X)-E(r：+3=5

D(X)=D(2X-r+3)

=4D(X)+D(n=9

(x-5)2

正亡"18

35.设随机变量的分布律为P(Z二K)二令.=O.I.2....)A>(),确定a。

<XJ

W：­.■ZP(Z=«)=I

yJt=o&

36.设(X,Y)的密度函数为/("V)•波…求X,Y的边缘密度函数判别其独立性。

解:当x>则,

/；(X)-J**7(.v.y)rfr

e”>细理

/(r.y)=

0*其它

ye'',r>0

/y(y)=

0.其它

•••/(xy)*A(r)/y(y)

;.Z与次独立

37.设随机变量(X,Y)的概率密度为=晨―求：常数C及联合分布主数F(X,Y)。

解，•仁O内MM2

・•巴图”%2的

=碟用<%的力哈

."=12

尸(•”>=3M0

=(l-e-3-v)(l-f-4v)

•••F(x'y)

」(I-e~^x)(l-e-4v)x>0,y>0

1。,其它

F(x.y)*

38.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数L-㈠当rf求二维随机变量(X,Y)的联合

0.其它

。(x,y)

解：可验证F(x,y)是连续型二维随机变量的分布函数，则

出乐田=簪

oxcy

—=3-xln3-3-JC->ln3

dX

--3--*-y(ln3)2

Sxdy

3*四3『x*O.y*O

・•・利

“其它

39.测定某种溶液中的水份，它的10个测定值给出S=0.037%,设测定值总体为正态分布，o?

为总体方差试在水干a-0。05下检脸假设

Ho：。=0.04%,从：a<O04%.

解：〃o:G=冲=0.04%

W|:CT<CTO=QO4%

拒绝域为

x2MML/5Tl-点ose'""25

现在

/_(/»1刀2『9XO.OOO372

4

=7,707>3,325

，接受，

40.设随机变量X的概率密度为仅°二2.JZ”。求Y二X2的概率密度函数Py(Y)。

0..v<0

W.P(Y^y)=Fy(y)

Fy(y)=0

y<0=

£、.(v)=44三ZMJv}

=铲2&T2dx

Py(y)=Fy(y)

小d”o

0,j<0

o,X<o

41,设随机变量X的分布函数为尸(”)AX2,O^G求常数A及X的概率密度P(X)。

好:=

%)=4

%叫=IA=I

O..v<O

F(x)=AX2.O<X<\

2Mo"SI

"(*)求寻褥/»(力-

0.其它

42.设随机变量X的概率密度函数是小)=+川…求X的分布函数F(x)

—e^-r<0

W：/(x)=；

-Ie-X.xiO

当x<(WfF(A)=E力;

当人占0«寸

F(x)=3"~2^~X

“xvO

•••F(x)=

43.在长为a线段上任取两点M与N,试求线段MN长度的数学期望。

«：

-T-.O£x£0。4y£a

P(.v.y)=

0.K-2

•••E(|Z-Y|)=$©x-rlga3

=讶心於7吁心阴一时心

44.设总体X服从区间［8,28］上的均匀分布，6〉0是未知参数,x,.x2....xM是来自总体X的容

量为n的样本，记z=-£z/o证明：3二2为施勺无偏估计.

nr=l~

解：X的分布概率定度函数

PC。-0

0,共它

•••.噌物充

-2

・••E(Z)=EZ=G。

・・•E(0)Eijz)=yE(Z)

2?

=•±•三0=0

45.设随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为…,巴丁v10<…求二的概率密度函数。

。•丹匕XX—Y

解：当x<a计F,Z=O

当osx

Fz(z^P(X-Y<Z)

=\-P(X-Y>Z)

「Z」Z3

22

当Z21时典(Z)=I

d„、-(I-Z2)X)SZSI

g(z)=7&⑴=2

d：。小它

46.设随机变量Z的概率密度为.•)=%/-00<x<-KCJ求E(Z)及D(Z)。

解：E(Z)=£^xx/T%=0

D(Z)=^X-E(Z^P(X)dx

=甘

=2

47.对圆的直径作挖测量，设其值均勺地分布在［a,b］内，求圆面积的数学期望。

解：设圆直径为随机变量Z,圆面积为Y.

则y=〃z)=gz2

•,小(幻=>”

o.其它

.­.£(n-£I/(X)]

也*

=­x2----1--J.x

为4b-a

="(〃2+ab+b2)

48.随机向量(X,Y)在区域D={(x,v)IO〈x〈1,IyI<x|｝上服从均匀分布.求关于Z的边

缘分布/求Z=2Z+1的方差.

解：.•面积为1

」(2八|f。l.O其<它x<l|y|<A

^0<x<lR|Al.v)-・lr

.P_J2A,0<X<I

£(Z)=j^x-2x<fr=-j

E(Z~)--Ixdx■；

«(Z)=£(Z2)-£2(Z)=—

18

DfZ)=D(2Z+l)=22D(Z)

49.设Xi—.了”是来自参数为人的泊松分布为总体的一个样本，试求人的极大似然估计.

W;HZ=*=

ntXi-A

In以义)=!n-U-X,nl(A/)r|

/=l；=l

令;Zq-〃・o

Ai=\

Ain一

么=-=z

3=i

0..r<0

50.已知随机变量Z的分布函数为F(x)=<-j,O<xS4求E(Z)和D(Z)。

l..v>4

—,0<.t£4

解:P(.r)=―-—4

dx

0,其它

Z眼从1041.的均匀分布

.皿)=等=2

fix.y)

51.设随机变量(X,Y)的概率密度为_f*(6-x-y)J)<A<2,0<,y<4(1)确定常数K：(2)求P{Z〈1.5}

一卜,其它

«：(1)

即确相(67->泗=8*

8K=IK=-

8

(2)P(Z<1.5)

C眼(6-L

27

=

32

52.Z的概率密度为/(x)=表"那)‘X>°其中8〉0,8为未知参数，求8的极大似然估计值。

0,其它

解:L(0)=g")

i=l

…-4

n

InIAO)=-IJIIJIO+£lnx(

53.设总体z的概率密度为.J向闪ME其中e>o,e为未知参数，求e的矩估计量,

0.其它

解：w/=E(Z)

令/一二7

W+a

54.设随机变量Z服从(0,2)上的均匀分布，则随机变量Y=Z2在(0,4)内的概率分布密度

函数&(y),求fy(y)。

T0<x<2

0,其它

y>0e%.(y)・pMy]

-P(Z2<v>-P(-JyJ7

=)£出#=心》

fy(y)=F^y)=-^~

1—^0<y<4

■,•介(y)=|3

[o.J沱

55.已知

P(A)二P(B)二P(C)二一,P(AB)=T，P(AC)=P(B),求A,B,C均不发生的概率。

解：P(ABC)=P(A+8+C)

=I-PM+H+C)

=1-|«A)+P(B)+P(O]

-lP(Afn-P(AC)-P(BC)

..3L7

=ITN=五

56.甲、乙、丙三人进行投篮比赛，已知甲的命中率为0.9,乙的命中率为0。8,丙的为0.7,

现每人各投一次，求三人中至少有两人投中的概率。

解：设A为“甲投中”，B为“乙投中”,C为“丙投中”则

产(人)=09P(例=0.8,P(C)=0.7

显然A.8C和互独立

P(AB^BC+CA+ABC)

-P(ABiBC^CA]

-PiAByiP(BC)।P(CA)

•P(A)P(B)^F(B)P(C)

-P(C)P(A)-2p(A)P(B)P(C)

=0.902

57.某工厂生产的100个零件中有5个次品，采用不放回抽样，每次任取一个，求（i）第一次抽

次品.（1）第一次和第二次都抽到次品（2）第一，二，三次都抽到次品.

阴：尸（A）==

P(AB)P(A)KB/A)

_541

=KX)99=455

P(ABC)P(AP(lilA)P(C/AB)

54q.I

-1009998-16170

P<B+C)=0.8^4-fiC)

制r.-A>B.A>C:.A>BC

58.若AB,A>C,P(A)二。9,.•皈一.・中)TBG

-----------------------------------------------------------=7P>(A(A)-()l-BPOSO)I

=P(A)-[\-PB+C)\

=0.9-(!-0.8)=0.7

59.对以往数据进行分析，结果表明，当机器调整良好时，产品的合格率为30%,每天早上机器

开动时，机器调整良好的概率为75%。设某日早上第一件产品是合格品，试问机器调整得主奶好

的概率是多少？

解：设A为•产合格”8为'机器

谓整良好”.则RA/B)=0.9.

P(A)B)=0.3,AB)=0.75所求

的概率为AB/八)

_，阴RA")

—P(B)P(A/B)+P(B)P(A(B)

---------0.75x0,9_

0.75x0.9+025x0.3'

60.房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的胸章，任选三人记录共胸章的号，求（1）最小

号码为5;（2）最大号码煤矿的概率。

解:⑴

H-4

61.一个工人看管12台同一类型的机器，在一段时间内每台机器需工人维修的概率为？，求这

段时间内至少有两台机器需要工人维修的概率。一

解:设&为“K台机器需维修”,则

叱=哈(#舄『

=+2

4"

0.341

62.制帽厂生产帽子合格率为08,一盒中装有帽子4顶.一个采购员从每盒中随机地取出两顶

帽子进行检脸，若两顶帽子都合格，则买下这盒帽子，求每盒帽子被买下的概.率。

解：设B为“一盒帽子被买下“，Ai为“一盒帽子中有I顶帽子合格”。则

P(Aj)=C^(O.8,(O.2)4-/

(i=0.l,2.3,4)

P(B/^)=W=O.I)

C?

P(即g=T：j=234)

r4

4

用々)

；=0

-£cikO&GO.2)4-q与

吃C1

=0.64

63.某种电子元件的寿命X(以小时计)服从正态分布，口，o?均未知，现