概率论与数理统计教学计划5

《概率论与数理统计》教学计划

一、课程说明

概率统计是一门重要的理论性基础课，是研究随机现象统计规律性的数学学科,

本课程的任务是使学生掌提概率论与数理统计的基本概念，了解它的范本理论和方法,

从而使学生初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分

析和解决、处理实际不确定问题的基本技能和基本素质。通过本课程的学习，要使学

生初步理解和掌握概率统计的基本概念和基本方法，了解其基本理论，学习和训练运

用概率统计的思想方法观察事物、分析事物以及培养学生用概率统计方法解决实际问

题的初步能力。

二、概率统计的理论和方法的应用是非常广泛的，几乎遍及所有科学技术领域，工农业

生产和国民经济的各个部门，例如使用概率统计方法可以进行气象预报，水文预报以及地

震预报，产品的抽样检验，在研究新产品时，为寻求最佳生产方案可以进行试验设计和数

据处理，在可靠性工程中，使用概率统计方法可以给出元件或系统的使用可靠性以及平均

寿命的估计，在自动控制中，可以通过建立数学模型以便通过计算机控制工业生产，在通

讯工程中可用以提高抗干扰和分辨率等。

三、课程内容与考核目标

第一章概率论的基本概念

(-)考核知识点

1.随机试验；

2.样本空间、随机事件：

3.频率与概率；

4.等可能概型(古典概型)；

5.条件概率；

6.独立性。

㈡考核要求

1.理解随机实验、随机事件、必然事件、不可能事件等概念。

2、理解样本空间、样本点的概念，会用集合表示样本空间和事件。

3.掌握事件的基本关系与运算。

4.了解频率与概率的统计定义。

5.掌握古典概率的计算。

6.了解概率的公理化定义，掌握用概率的性质求概率的方法。

7、理解和掌握条件概率，乘法公式、全概率公式和Bayes公式。

8、理解事件的独立性，会求有关的概率。

第二章随机变量及其分布

㈠考核知识点

1.随机变量

2.离散型随机变量及其分布

3.随机变量的分布函数

4.连续型随机变量及其概率密度

5.随机变量的函数的分布

㈡考核要求

1.理解随机变量的概念。

2、理解罔散型随机变量及其分布律的定义，理解分布律的性质。

3.掌握(()1)分布、二项分布、Poisson分布的概念、性质。

4.热练掌握分布函数的定义及其性质。

5.理解连续型随机变量的定义、概率密度函数的基本性质。

6.掌握均匀分布、正态分布和指数分布的概念、性质。

7、掌握一维随机变量函数的分布

第三章多维随机变量及其分布

㈠考核知识点

1.二维随机变量

2.边缘分布

3.条件分布

4.相互独立的随机变量

5.两个随机变量的函数的分布

㈡考核要求

1.了解多维随机变量及其分布函数的定义。

2.理解二维离散型与连续型随机变量的定义.

3.掌握二维离散型随机变量的联合分布律和边缘分布律。

4、了解联合概率密度函数和边缘概率密度函数的关系，会求边缘概率‘密度。

5.了解条件分布的概念并会进行计算。

6.了解随机变量独立性的概念。

7、知道随机变量函数的分布，掌握两个随机变量的和的函数的分布

第四章随机变量的数字特征

㈠考核知识点

1.数学期望

2.方差

3.协方差及相关系数

㈡考核要求

1.理解数学期望、方差的定义，熟练掌握数学期望和方差的基本性质。

2.掌握随机变量函数的数学期望、方差的求法。

3.了解协方差、相关系数的概念。

第五章大数定律及中心极限定理

㈠考核知识点

1.大数定律

2.中心极限定理

㈡考核要求

1.了解大数定律的直观意义。

2.掌握Chebyshev不等式°

3.知道Chebyshev大数定理和贝努里大数定理。

4.会用中心极限定理求概率。

第六章样本及抽样分布

㈠考核知识点

1.随机样本

2.抽样分布

㈡考核要求

1.理解数理统计的基本概念。

2.理解分布、t分布、了解F分布的定义并会查表计算。

3.理解正态总体的某些常用统计量的分布。

4.知道样本均值和方差的计算。

第七章参数估计

㈠考核知识点

1•点估计

2.基于截尾样本的最大似然估计法

3.估计量的评选标准

4.区间估计

5.正态总体均值与方差的区间估计

6.(0-1)分布参数的区间估计

7.单侧置信区间

㈡考核要求

1.了解估计量的优劣标准。

2.掌握矩估计法和极大似然估计法。

3.掌握正态总体均值和方差的置信区间。

三、复习题重点

（-）选择题

1.骰子是一个正六面体，各面分别标有1,2,3,4,5,6,在进行抛掷骰子的随机

试验中，A=｛出现偶数｝,B=｛出现小于5的数｝,则A-B=（C

A｛出现1,2｝B｛出现2,4,6)

C｛出现6｝D｛出现3,5)

2.设随机变量X的概率密度为/（幻=JJl-V，求C=(B).

ATCB

71

2

cfD

3.设二维连续随机变量（X,Y）的概率密度为

一\14f3y)o

/(X,y)=〈匕I…，求吊数A=(C)。

[。，其匕

A-B2

6

C6D3

4.设X,Y相互独立，且D(x)=3,D(y)=4,求D(X-Y)是(A

A7B-1

C1D5

5.设抽样得到样本值如下：

17.3,16.9,18.2,17.7,16.5,18.5,15.9,16.8,18.3,17.6,

17.9,18.4,求X为（B）.

A18B17.5

C19D20

6.袋中有2个白球,3个黑球，从中依次取出2个，取后不放回，求取出的两个都是白

球的概率是（A

，国＜1

7.设随机变量X的概率密度为/(x)=

求X落入(-3,)的概率(C)。

11

A-B-

32

2.)3

C

34

8.设二维随机变量(X,Y)是具有概率密度

，求C二(B)。

A1B2

C-D3

2

9.没X〜N((),1),令，则X与Y(C)。

A相互独立B相关

C不相关D以上都不对

10.设­■-是来自总体X的一个样本，设E(X)=,D(X)=,记是样本

均值，是样本方差，则E():(C)。

A〃

㈡填空题

1.三门高射炮对一架敌机一齐各发一炮，它们的命中率分别为10%,20%,30%,求敌机至少

中一弹的概率0.496。

2.若X服从泊松分布，则P{X=k)=•••)。

3.设随机变量(X,Y)的概率密度为，

0,y取其它值。

4.设X〜U(2,6),则D(X)=o

5.若F〜F(),则〜o

6.某车间中，一位工人操作甲、乙两台没有琰系的自动车床，由经验可知，这两

台车床在某段时间里停车的概率分别为。・15和0・2,这段时间里至少有一台不停车的概

率是0.97o

O

7.已知某种电子管的寿命X(小时)服从指数分布，概率密度为

,求这种电子管能使用1000小时以上的概率。

8.设随机变量(X,Y)的概率密度

求(X,Y)关于X的边缘概率密度。

9.设二维连续随机变量(X,Y)的概率密度为，当，则E(XY)=o

10.若〜，则D()=2n。

㈢计算题

1.一批晶体管元件，其中一等品占95%,二等品占4%,三等品占1%。它们能工作

5000小时以上的概率分别为90%,80%,70%。求任取一个元件能工作5000小时以上的概

率。

解：令={取到元件为i等品}（i=l,2,3）,

A={取到的元件能工作5000小时以上},则

尸⑷=P（8）P（41B）+P（B）尸（AIB）+P（8JP（AI8）

=95%X90%+4%X80%+1%X7O%

=0.894

2.设随机变量X的分布列X12-n…

P—1—1•••1•••

242〃

求随机变量丫=sin（工处的分布列。

2

解：

一1,〃=4Z-1

因为sin《x）=,0,n=2k,（k=l,2,—）

2

=42-3

所以随机变量只有三个可能：T,0,U

由于X取值3,7,11,…都对应Y的值-1,因此,

+•••=_=2

P{Y=~^=~3+~7+~7\

2221-115

16

同理，P{Y=0}=•••=

P{Y=1}=—+^-+-=---=—

225一―

16

于是得到Y分布列Y-101

18

317

：工设X,Y是相，L独立的随机变量,都服从标准止态分布N（0.1）,

求Z=X+Y的概率密度。

解：

则/z（z）=J二/X（X）/JZ7）公

1po_(zf

方Le262dx

1-Z.

X

令"K《得/z（Z）=（清匚，力

2-

1Z

4.设随机变量X具有概率密度

求D(X)o

解：E(X)=

=0

E（X2）=£f（i+x）公+£工2（1-外公

.1

6

D(X)=E(X2)~[E(X)]

6

5.某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机地取16M,设它们

的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率。（）

解：设第i只电器元件的寿命为(i=l,2,…，16)

E()=100,D()==10000

16

z=ZXi

/=i

16

P{-^—=----->1920}

p{Z-16xl00>1920)

716x100

1920-1600

1-0()

400

=1一①(0,8)

=0.2119

6.电报信号由“・”与“一”组成，设发报台传送“产与“一”之比为3:2,由于通

讯系统存在干扰，引起失真。发出“产而收到“一”的概率为0.2,发出“一”而收到“产

的概率为（）.1。若收报台收到信号“・"，求发报台确实发出“・”的概率。

解：令｛发送二｛发送“一”｝,

A=｛收到“则，，

P（8）P（AI8）

P(BI*=

P（8）P（48）+P（8）P（AIA）

0.6x0.8

0.6x（）.8+0.4x（）.1

=0.923

乙设随机变量X服从正态分布，令，求随机变量Y的概率密度。

解：Y是恒取正值的随机变量，所以当时，o

当y>0时，的反函数为，则

从而，y>0

0,y《0

8.设随机变量(X,Y)的分布函数为

求：⑴常数A,B,C

(2)(X,Y)的概率密度。

解：(1)由分布困数性质

F(-OO,+OD)=A(B+-)(C+-)=1

22

X71

F(x-oo)=A(3+arctan-)(C一一)=0

22

71V

F(-oo,y)=A(B一一)(C+arctan2)=0

23

从第二式，；第三式，，解得。

从而概率密度

f(x,y)=^vF(x,y)=6________

dxdy/(f+4)(y+9)

9.设随机变量X,Y相互独立，且X的概率密度为

Y的概率密度为,求：⑴E(X+Y)⑵E(XY)o

解：⑴E(X+Y)=

11

二一十一

24

_3

4

⑵E(XY)=E(X)E(Y)=-x-=-

248

10.计算机进行加法计算时，把每个加数取为最接近于它的整数来计算。设所有取整误

差是相互独立的随机变量、且服从均匀分布U[-0.5,0.5]。求300个数相加时误差总和的绝

对值小于10的概率。(〕

解：设为第i个加数的取整误差，E()=0,

D(Y.)=—(i=1,2,-,300)0

'12

E300x,-。

p[£x/<i°)=p(