大象群落的稳定发展

大象群落的稳定发展

摘要

本文根据非洲某国的国家公园近两年内从公园运出的大象的大致年龄和性

别的统计情况，探讨大象的合理的存活率并推测当前的年龄结构，针对不同情况

给出如何进行避孕注射以达到控制大象数量的目的。

首先，充分利用给出的近两年来运出的大象的数量与性别统计表，分析近两年来

的大象群落的情况，建立一个线性方程组的数学模型，通过求解方程组得到年龄

在2岁到60岁之间的大象的总数，并且求出了存活率为：98.9718%;因为假设

公园内2岁到60岁之间的大象占总大象的比例等于运出的2岁到60岁之间的

大象占总移出大象的比例，所以通过一些比例之间的关系得到这个大象群落的当

的的年龄结构（见表1）。

然后，建立一个按年龄分组的种群增长的差分方程模型，运用第一问求出的各年

龄段大象的存活率以与繁殖率，求解当前大象群落对应的Leslie矩阵的特征根,

发现该特征根大于1,根据Leslie矩阵的稳定性理论知道：如果不进行避孕注射

该大象种群将无限增长（如果环境允许）；据此，利用Leslie矩阵稳定的充要条

件求出应该保持多大的繁殖率才能使种群保持稳定，求解的主要思路是：特征根

取为1、把繁殖率当成未知数，将此时的各年龄段的存活率代入方程VI,求解这

个以繁殖率为未知数的方程可以得到要使种群保持稳定繁殖率的取值；根据需要

避孕掉母象所生的幼象的数目等于注射避孕药使得母象没有繁殖幼象的数目这

一条件建立一个方程，最后求得每年注射避孕药的母象头数为：1393（头）。

最后，假设被转移的大象只考虑处于1—60岁之间，这样可以认为转移后的大象

看成每年多死了这么多头大象，即意味着死亡率将增加，存活率将减少；仍然按

照解决第二问的模型，只需将此时不同的各年龄段大象的存活率代入那个以繁殖

率为未知数的方程（方程VI）,求出应该保持多大的繁殖率才能使种群保持稳定。

考虑到求解的数据比较多，采取计算机模拟的方法来确定移出大象后所需要进行

避孕的母象头数（见表2）,为了检验计算机模拟的正确性，用理论去验证。模

拟的思路方法见计算机模拟流程图一图2。

关键词：关键字：线性方程组、差分方程模型、Leslie矩阵、计算机模拟

问题重述

1.位于非洲某国的国家公园中栖息着近11000头大象。管理者要求有一个健康

稳定的环境以便维持这个1100。头大象的稳定群落。管理者逐年统计了大象

的数量，发现在过去的2。年中，整个大象群经过一些偷猎枪杀以与转移到外

地还能保持在1100。头的数量，而其中每年大约有近600头到800头是被

转移的。由于近年来，偷猎被禁止，而且每年要转移这些大象也比较困难，现

决定采取避孕注射法以维持大象数量的平衡。我们已知此公园近两年内从这

个地区运出的大象的大致年龄和性别的统计。根据这些信息我们需要解决以

下问题：

2.探讨年龄在2岁到60岁之间的象的合理的存活率的模型，推测这个大象群落

的当前的年龄结构。

3.估计每年有多少母象要注射避孕药，可以使象群固定在1100。头左右。这里

不免有些不确定性，是否能估计这种不确定性的影响。

假如每年转移50至300头象到别处，那么上面的避孕措施将可以有怎样的改

变？

问题假设

L假设大象的性别比近似认为1:1,并且采用措施维持这个性别比；

2.假设母象可以怀孕的年龄为11岁一60岁、最高年龄为70岁，70岁的死亡率

为100%,并且61—70岁的大象的头数呈线性递减；

3.假设大象在各年龄段中的分布率不变，即年龄结构不变，并采用各种措施维持

这一结构；

4、假设被转移的大象只考虑处于1一60岁之间，转移后的大象看成每年多死了

这么多头大象；

5.假设。岁大象能够活到1岁的比例为75%;

符号说明

□：表示一年中大象的头数（i=0表示0岁大象的头数，i=1表示1-60岁大象头数,

i=2表示61-70岁大象的头数）；

□：表示存活率（口表示0岁大象的存活率，□表示1一60岁大象的存活率，□表示

61岁一70岁大象的存活率）；

□：表示时段k第i年龄组的大象数量；

□:第i年龄组每个（母象）个体在1个时段内平均繁殖的数量；

□:第i年龄组的存活率；

□：Leslie矩阵；

U：LI矩阵的那个唯一止特征根;

□:表示移出大象的头数；

问题分析

对于问题一，利用给出的近两年来运出的大象的数量与性别统计表，可以分析近

两年来的大象群落的情况，比如移出的各个年龄段的大象占移出的总的大象的头

数的比例是多少，还可以根据两年移出大象后大象总数都是11000来建立方程,

用于求解存活率。

对于问题二，因为考虑的是公园在未来很长一段时间的大象种群控制问题，所以

可以建立一个按年龄分组的种群增长的差分方程模型，根据差分方程的Leslie

矩阵的特征根，结合Leslie矩阵的稳定性理论对当前大象种群的情况进行分析。

为了保持大象种群的稳定，必须使得Leslie矩阵的最大特征根为1,而这样，特

征根取为1.把繁殖率当成未知数，将此时的各年龄段的存活率代入方程特征方

程，求解这个以繁殖率为未知数的方程可以得到要使种群保持稳定繁殖率的取

值；根据需要避孕掉母象所生的幼象的数目等于注射避孕药使得母象没有繁殖幼

象的数目这一条件建立方程来求解应该对多少头母象进行避孕。

对于问题三，由于假设被转移的大象只考虑处于1—60岁之间，故可以认为转移

后的大象看成每年多死了这么多头大象，即意味着死亡率将增加，存活率将减

少。按照解决第二问的模型，只需将此时不同的各年龄段大象的存活率代替原来

的存活率，就可以求出此时应该保持多大的繁殖率才能使种群保持稳定。为了方

便，可用采用计算机模拟的方法来确定移出的大象在哪个年龄段，考虑到计算机

模拟的不确定性，可以对模拟结果进行检验。

探讨大象的存活率和当前大象的年龄结构

下面将根据给出的近两年来运出的大象的数量与性别统计表，分析近两年来的大

象群落的情况，建立一个线性方程组数学模型，通过求解方程组得到年龄在2岁

到60岁之间的大象的存活率，并给出大象各年龄所占的比例，进而得到这个大

象群落的当前的年龄结构。

1.线性方程组模型的建立

(1)首先，计算一年中大象的头数。

大象群是山0岁，1—60岁，61岁一70岁组成，且稳定在

11000头。设。岁的头数为X0,1—60岁大象头数为XI,61岁一70岁大象头

数为X2。所以得到第一个方程：

X0+X1+X2=11000

(D

(2)其次，考虑到前一年大象的总数等于前两年存活卜来的大象加上新生

的幼儿再减去运出的大象数。

设。岁大象的存活率为，1—60岁大象的存活率为，61岁

-70岁大象的存活率为。则经过一年后，新生的大象存活下来的头数为

X0;1到60岁的大象存活下来的头数为XI;61岁一70岁的大象能

存活下来的头数为X2，因此得到第二个方程：

(Xox+Xixpi+X2xp?)+X0-622=l1000

(II)

联立(I)、(II)得到方程组：

Xo+X,+X2=llOOO

'X。XPo+X,XPl+XXP2+X-622=11000

2o

2.模型的求解

根据近两年来运出的大象的数量与性别统计表，得到如下分析结果：

(1)计算0岁的大象头数

由表中统计，1岁一10岁的大象占1岁一60岁的大象比例为：

(67/622+169/876)/2=15.032%

所以得到：11岁―60岁能生小象的母象占1岁—60岁的大象比例

为：

(1-15.032%)x0.5=42.48%

因为能生小象的母象每3.5年生一头小象，且双胞胎的机会为

1.35%,相当于每年生0.2896头，所以。岁的大象占1岁一60岁的大象比例

为：

0.4248x0.2896=0.12303

这样0岁的大象共有：=0.12303(III)

(2)计算61岁一70岁的大象头数

从表中计算运出的59岁的大象占运出的总大象比率为：

(14/622+22/876)/2=0.0238

由于运出的大象都是1岁一60岁的，所以0.0238也可看为59岁的大象占

1—60岁的大象的头数比例，得到60岁的大象占的比例为0.0238,由假设可

以知道：

61岁一70岁的大象头数为：

X2=1/2X10X0.0238XP1XX1（IV）

61岁——70岁的大象经过一年能存活下来的头数为:

X2xp2=（1/2）x9x0.0238xp,xX,（V）

（3）、将（in）、（V）和（iv）两个式子代入上面方程组（*）得：

（）.12303xX,+Xl+（l/2）x10x0.0238x/；（xX,=iKXX）

0.12303xX1x/%+X]xn+（1/2）x9x0.0238xnxX1+0.12303xX「622=11000

又由假设知道，0岁大象的存活率为=75%代入上述方程组,

然后用Mathematica解之得：

px=0.989719

X,=8864.85

再依次将、代入（HI）、（V）和（IV）求得：

X2=1044.07

Xo=1090.66

所以，。岁大象的总头数为1091（头）；1-60岁的大象的存活率为

98.9719%,总头数为8865（头）；61岁―70岁的大象头数为1091（头）。

把0—70岁的大象分为八个年龄段，由假设知道，各个年龄段占总

数可以用各个年龄段移出的头数除以移出的总头数来衡量。下面以1—1。年龄段

的大象头数计算为例：

前一年总共移出622头，其中1—10岁移出为67头；前两年总共

移出876头，其中1—10岁移出169头。故1—10年龄段的大象头数可以这样

计算：

X“=8865x[（2+繇/2]=1333（头）

其他的年龄段用同样的方法计算，得到如下表（附饼形图）：

表1(大象年龄结构)

年龄01-1011-2021-3031-4041-5051-6061-70

头数10911333177710691255188815441044

嬲101216101117149

图1(大象年龄结构饼图)

3.结果分析

(1)由结果可以知道，2-60岁大象的存活率为98.9718%,这与题目给出

的大于95%是相一致的，所以可以认为结果是合理的；

(2)从图1可以看出，各个年龄段的大象所占的比例基本上是一样的，21

-30岁和41-50岁的大象比例相对比较大，因为这段大象正处于年龄的黄金

时期。由此，可以认为求出的大象年龄也是合理的。

估计每年注射避孕药的母象头数

为了估计每年注射避孕药的母象头数，首先建立一个按年龄分组的种群增长的差

分方程模型；然后用Leslie矩阵稳定的充要条件分析如果不进行避孕注射种群的

增K情况；最后仍然利用Leslie矩阵稳定的充要条件求出应该保持多大的繁殖率

才能使种群保持稳定，进而利用一个方程求出每年注射避孕药的母象头数。

1.按年龄分组的种群增长的差分方程模型的建立

记时段k第i年龄组的大象数量为，k=0,1,2,2,…n,第i年龄组的

繁殖率为，即第i年龄组每个(母象)个体在1个时段内平均繁殖的数量，第i

年龄的存活率为，我们这里假设和不随时段k变化，在稳定的环境F这个

假设是合理的。和可由统计资料获得。的变化规律由以下的基本事实得到:

时段k+1第1年龄组种群数量是时段k各年龄组繁殖数量之和，即

用伙+1)=才2若(幻

/=1

时段k+1笫i+1年龄组的种群数量是时段k第i年龄组存活下来的数量，即

XM(A+1)=s/j(k),z=1,2...n-\

记时段k种群按年龄组的分布向量为

x(k)=[%(k),%伏)%⑹F

由繁殖率e和存活率士构成的矩阵为

飞a…为九b\\.........do*…％)“70

So0...000...............00...00

0...000...............00...00

00...000...............00...00

00…§900...............00...00

00...0鸟00.........00...00

L=••••••...00...............00...00

♦••♦♦・...000.........00...00

00...000...............00...00

00...000..............$600...00

00...000...............0%...00

00...000...............00...00

00...000.........00…$690

根据Leslie矩阵的性质可以得到如下的定理:

定理1：矩阵有唯一的正特征根，且它是单重根的，对应正特征向量

L矩阵的其他n-1个特征根人都是满足同工4丛=2,3,...,〃

该定理表明L矩阵的特征方程

=

4"一(4++bn_xSxS2...Sn_2X+)0

只有一个正根，并且易知，

2.如果不进行避孕注射种群的增长情况

(1)建立Leslie矩阵

首先，由第一问的求解知道，0岁的大象的存活率为075;1-60岁大象的存

活率为0.989718;根据假设61-70岁大象头数是线性递减的，而且到7。岁

所有的大象都死完了，所以很容易求出存活率为(1-0.1)

=0.90.989718=0.8907;11一60岁大象的繁殖率为0.1448。

然后根据上面的矩阵L建立起如果不进行避孕注射种群的增长的Leslie矩阵如下

所示：

■00...00.14480.1448........0.14480...00'

0.750...000........00...00

00.9897...000........00...00

00...000........00...0()

00...0.989700........00...00

00...00.98970........00...00

^71x71=・・•・・•・・・000.9897........00...00这是一

.・・・・・・・・000........00...00

00...000........00...00

00...000........0.98970...00

00...000........00.8907...00

00...000........00...00

00...000........00...0.89070

个71，71的矩阵。

(2)讨论的特征根，分析种群增长规律

用Matlab软件求得特征根为R=1.0481,根据定理1知道，如果不进行避孕注

射，该大象种群将无限增长下去(如果环境允许)，所以要进行避孕注射。

3.求出每年注射避孕药的母象头数

根据Leslie矩阵的性质知道，要保持种群稳定，必须使得特征根r=l,

即使得下面式子成立：

=

%+睁0+力2sosI+•••+S2,,'Sn-2^nS0SiS2,,'Sn-\1(VI)

具体到本题来就是使得如下成立：

)O24y

bo-S-S(1H-S-l-SH-...H-S)=1

解这个方程求出要保持大象种群的稳定，繁殖率应该为=0.0377

保持大象种群数量不变的繁殖率b0与没采取避孕时的繁殖率b有一定的差

距，所以需要避孕掉具有(b-b0)繁殖率母象所生的幼象。假设每年要避孕

头大象，由于一次注射可以使得一头成熟的母象在两年内不会受孕，所以每年实

际上共有2头大象处于避孕期。

这样根据需要避孕掉具有(b-b0)繁殖率母象所生的幼象的数目等

于注射避孕药使得母象没有繁殖幼象的数目这个条件得到一个方程：

(1/2)x85%xX]x(0.1448-0.0377)=2n0xO.l448

解之得n°=1393

所以每年注射避孕药的母象头数为：1393(头)

4.分析不确定因素的影响

(1)最初一两年避孕母象发情期增多，与未避孕母象产生竞争求偶的公象,

使部分能怀孕的母象不能怀孕。而避孕的母象每月发情一次，会扰乱了正常求偶

的母象，这样会造成未避孕母象的繁殖率出现下降，避孕的母象数量应该减少。

(2)随着时间的增长，如果持续使用避孕药，会使象的年龄结构发生变化,

象的结构呈老龄化，所以随着时间的增K,要保证象群的稳定，避孕药的使用量

必定会逐年减少直至禁用。

考虑转移大象时母象的避孕策略

被转移的大象只考虑处于1-60岁之间，转移后的大象看成每年多死了这么多

头大象，即意味着死亡率将增加，存活率将减少。下面首先通过计算机模拟来确

定移出大象后所需要进行避孕的母象头数；然后用理论去验证计算机模拟的正确

性。

1.通过计算机模拟确定需要进行避孕的母象头数

产生了n(可自己指定)个0~1的随机数。具体算法如下页图所示。

图2（计算机模拟流程图）

初始化：按照各个年龄段

大象所占比重，给每个年

龄段分配一个区间，每个

产生n个0~1随机数

记为向量a（i）

()<a(i)W0.148<a(i)

kl=kl+

0.346<a(i)三

经k3=k3+

0.469va(i)k4=k4+

0.6!7<a(i)三堡k5=k5+

0.827<a(i)W1醇k6=k6+

根据kL・k6求出各年龄段

大象的存活率、运用Leslie

No

i=i+Li=n矩阵稳定的条件求出此时

繁殖率应该为多少才能保

持大象种群稳定，进而求

出需避孕的大象头数

下面议n=100为例进行计算机模拟。

令n=100,进行10次计算机模拟，得到当运出大象头数为100头时，要

使大象头数稳定在1100。头需避孕的大象头数如下：

第一次模拟：1164（头）

第二次模拟：1195（头）

第三次模拟：1192（头）

第四次模拟：1167（头）

第五次模拟：1206（头）

第六次模拟：1163（头）

第七次模拟：1207（头）

第八次模拟：1190（头）

第九次模拟：1173（头）

第十次模拟：1178（头）

10次模拟得到需避孕的大象头数的平均数为1184头。因此可以认为当运

出大象头数为100头时，要使大象头数稳定在11000头需避孕的大象头数为

1184头。

同理，可以得到题目中要求的当运出大象50-300头要使大象头数稳定在

11000头需避孕的大象头数分别为：

表2（移出大象与对应得避孕母象头数）

彩

出

5060708090100110120130140150160170

头

数

避12127125123121118116115111109103103101

孕97731244026600

头

数

移

出18

190200210220230240250260270280290300

头0

数

遽

学97714

932917860838822764738654653591570

头0

数

图3（运出大象数目与应该避孕母象数目的关系）

1400

戴

冰

£

<

的

S

群

缀

粕

国

名

日

滨

象

的母

避孕

应该

0头而

100

定在1

数稳

象总

使大

为了

看出

可以

趋势

变化

图的

从该

数得

次函

合二

行拟

乘进

小二

过最

系。通

数关

次函

成二

近似

头数

象的

出大

与运

数目

：

关系

数y

象头

孕母

与避

数X

象头

出大

到移

为:

图像

画出

）

比图

系对

合关

与拟

关系

数据

（原始

图4

原始关系与拟合得到关系对比图

1300^----------(------------1------------1-----r----------

——原始关系-

1200"-----拟合图像

1100

o

100o

90

80

O

2.用理论去验证计算机模拟的正确性

假设所转移的大象是有目的的挑选的，即挑选大象时是按照第i(i=l,2,3,4,

5,6)年龄组所占比例进行的，这也是符合情理。设每年被转移的大象共有M头,

1—60岁的大象共有W头。

设第i年龄组占1—60岁的比例为，第i年龄组的存活率，则有

5lf.=(X[xMxWj-Mx叱)/(X]x叫)=(X|xI-M)/X[

则要保持大象群落稳定，如第二问的做法有：

2

Z?X50Xx(l+5,4-52+...+)=1

当移出大象头数M=50时，解得b=0.0455。

又由第三问，把这个方程的换为n、0.0377换为0.0455,求得

n=1291o

所以，现在只需避孕1291头，由计算机模拟得到的是1297头，非常地接

近。同样的道理可以验证当M=60,70,80…的时候也是与计算机模拟很接近的。

由此，可以说明我们用计算机模拟的方法是有效的。

模型的评价和改进方法

（1）1.模型的优点

（2）本文解决问题的模型都是比较简单的，但是这并不影响得到的结果的准确

性，因为这些简单的模型都有很强的理论依据；

（3）在求解第二问的时候，充分利用Leslie矩阵稳定性理论来求解应该让多少

母象进行避孕注射，这些理论在差分方程中都是经典的理论，经得起许多

事实的考验；

（4）第三问的求解中运用了计算机模拟方法来模拟移出大象属于哪个年龄段,

这样不仅求解方便、简洁（只需要把算法程序写好就可以得到结果），得

到的结果与实际也更接近；

第三问用计算机模拟得到数据后，又用理论去验证，这样使得结果更具有说服

力；

2.模型需要改进的地方

（1）因为假设了大象性别是严格地1：1关系，而实际中不一定那么地严格是这

样，所以如果能够把各个年龄段大象的性别比例分别计算，那么模型的结

果可能更接近实际；

（2）在进行计算机模拟时，最开始的随机数的产生个数只有几十个，这几十个

随机数不能很好的反映各个年龄段的大象所占的比重，这样势必会对结果

造成一定的误差;

参考文献：

L姜启源数学模型（第三版）[M].北京：高等教育出版社2003

2.赵静数学建模与数学实验（第2版）[M].北京：高等教育出版社

2003

3.冏晓阳数学实验与Matlab[M].武汉：华中科技大学出版社2002

4.郑谏当代数学的若干理论与方法[M].上海：华东理工大学出版社2002

5、李尚志数学建模竞赛教程[M].江苏：江苏教育出版社1996

6.北峰数模网2006-8-13

附录：

1.计算机模拟Matlab程序代码

function[bys,bO]=moni(n)

b=[121610121714];

c=b/sum(b);

b=cumsum(c)';

a=rand(n,1);

kl=0;k2=0;k3=0;k4=0;k5=0;k6=0;

i=l；

fori=l:n

if(a(i)v=b⑴)

kl=kl+l；

elseif(a(i)>b(l)&a(i)<=b(2))

k2=k2+l;

elseif(a⑴>M2)&a(i)v=b⑶)

k3=k3+l;

elseif(a⑴〉b⑶&a(i)<=b⑷)

k4=k4+l;

elseif(a(i)>b(4)&a(i)<=b(5))

k5=k5+l;

else(a(i)>b(5)&a(i)<=b(6))

k6=k6+l;

end

end

sl0=l-(11000*0.12*(l-0.9897)+kl)/(l1000*0.12);

s20=1-(11000*0.16*(1-0,9897)+k2)/(ll000*0.16);

s30=l-(l1000*0.l*(l-0.9897)+k3)/(l1000*0.1);

s40=l-(11000*0.12*(l-0.9897)+k4)/(l1000*0.12);

s50=l-(l1000*0.17*(l-0,9897)+k5)/(l1000*0.17);

s60=l-(l1000*0.14*(l-