常熟市高三上学期期中考试数学试题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2017-2018学年第一学期高三期中调研试卷数学第Ⅰ卷（共60分)一、填空题：（本大题共14个小题,每小题5分,共70分．将答案填在答题纸上．）1．已知集合，，，则．2．函数的定义域为．3．设命题；命题,那么是的条件(选填“充分不必要”、“必要不充分"、“充要”、“既不充分也不必要”)．4．已知幂函数在是增函数，则实数的值是．5．已知曲线在处的切线的斜率为2，则实数的取值是．6．已知等比数列中，，,则．7．函数图象的一条对称轴是，则的值是．8．已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集是．9．已知,则的值是．10．若函数(且)的值域为，则实数的取值范围是．11．已知数列，满足，,，则．12．设的内角的对边分别是，为的中点，若且，则面积的最大值是．13．已知函数,若对任意的实数，都存在唯一的实数，使，则实数的最小值是．14．已知函数，若直线与交于三个不同的点，，（其中）,则的取值范围是．第Ⅱ卷（共90分）二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．已知函数（）的图象与轴相切，且图象上相邻两个最高点之间的距离为.（1）求的值;（2）求在上的最大值和最小值。16．在中,角所对的边分别是，已知，且。(1）当，时，求的值；（2）若角为锐角,求的取值范围.17．已知数列的前项和是,且满足，。（1）求数列的通项公式;（2）在数列中，，,若不等式对有解，求实数的取值范围。18．如图所示的自动通风设施。该设施的下部是等腰梯形，其中为2米，梯形的高为1米,为3米，上部是个半圆，固定点为的中点.是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆(横杆面积可忽略不计），且滑动过程中始终保持和平行。当位于下方和上方时，通风窗的形状均为矩形（阴影部分均不通风）。（1）设与之间的距离为（且）米，试将通风窗的通风面积(平方米）表示成关于的函数；(2)当与之间的距离为多少米时，通风窗的通风面积取得最大值？19．已知函数,.（1）求过点的的切线方程;（2）当时，求函数在的最大值;（3）证明：当时，不等式对任意均成立（其中为自然对数的底数，）.20．已知数列各项均为正数，，，且对任意恒成立，记的前项和为.（1）若,求的值；（2）证明：对任意正实数，成等比数列;（3)是否存在正实数，使得数列为等比数列。若存在，求出此时和的表达式；若不存在，说明理由。2017-2018学年第一学期高三期中调研试卷数学（附加）21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答,若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A．（几何证明选讲)如图，为圆的直径,在圆上，于，点为线段上任意一点，延长交圆于，.（1)求证：;（2)若,求的值。B．（矩阵与变换）已知矩阵，，求的值.C．（极坐标与参数方程）在平面直角坐标系中,直线的参数方程为（为参数),以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为。（1）求直线和圆的直角坐标方程；(2）若圆任意一条直径的两个端点到直线的距离之和为，求的值.D．（不等式选讲）设均为正数,且，求证：.【必做题】第22、23题，每小题10分,共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22．在小明的婚礼上，为了活跃气氛，主持人邀请10位客人做一个游戏。第一轮游戏中，主持人将标有数字1，2，…，10的十张相同的卡片放入一个不透明箱子中，让客人依次去摸，摸到数字6,7，…，10的客人留下，其余的淘汰，第二轮放入1，2,…，5五张卡片，让留下的客人依次去摸,摸到数字3，4，5的客人留下,第三轮放入1,2,3三张卡片，让留下的客人依次去摸，摸到数字2,3的客人留下，同样第四轮淘汰一位，最后留下的客人获得小明准备的礼物。已知客人甲参加了该游戏.（1）求甲拿到礼物的概率;（2）设表示甲参加游戏的轮数，求的概率分布和数学期望.23．（1）若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围；（2)设，试比较与的大小,并证明你的结论.2017—2018学年第一学期高三期中调研试卷数学参考答案及评分标准正题一、填空题1．2．3．充分不必要4．15．6．47．8．9．10．11．12．13．14．二、解答题15．解:(1）∵图象上相邻两个最高点之间的距离为，∴的周期为，∴且，∴，此时,又∵的图象与轴相切，∴且,∴；（2）由（1)可得，∵，∴，∴当,即时，有最大值为;当，即时,有最小值为0.16．解:由题意得，。(1）当，时，，，解得或；（2），∵为锐角，∴，∴,又由可得，∴。17．解:（1）∵，∴,∴，又当时，由得符合，∴，∴数列是以1为首项，3为公比的等比数列，∴通项公式为;（2）∵，∴是以3为首项，3为公差的等差数列，∴，∴，即，即对有解，设,∵，∴当时，，当时，，∴，∴，∴.18．解：（1)当时，过作于（如下图)，则，，，由，得，∴,∴；当时，过作于，连接（如下图），则,，∴，∴，综上:;(2）当时，在上递减，∴；2°当时，，当且仅当，即时取“=”，∴,此时，∴的最大值为，答:当与之间的距离为米时，通风窗的通风面积取得最大值.19．解：(1）设切点坐标为，则切线方程为，将代入上式，得，，∴切线方程为；（2）当时，，,∴，，当时,，当时，，∴在递增,在递减，∴当时，的最大值为;当时，的最大值为;（3）可化为，设，,要证时对任意均成立,只要证，下证此结论成立.∵，∴当时，，设，则,∴在递增，又∵在区间上的图象是一条不间断的曲线，且，，∴使得,即，，当时，;当时,，；∴函数在递增，在递减，∴，∵在递增,∴，即，∴当时，不等式对任意均成立.20．解:(1)∵，∴,又∵，∴；(2）由，两式相乘得,∵，∴，从而的奇数项和偶数项均构成等比数列,设公比分别为，则，，又∵，∴，即,设，则，且恒成立,数列是首项为,公比为的等比数列，问题得证;（3）在（2）中令，则数列是首项为3，公比为的等比数列,∴，且，，，,∵数列为等比数列，∴即即解得(舍去），∴,，从而对任意有，此时，为常数，满足成等比数列，当时，，又，∴，综上,存在使数列为等比数列，此时,。附加题21．A.解：（1）证明:连接，∵，∴，又,∴为等边三角形，∵，∴为中边上的中线，∴；（2）解：连接，∵，是等边三角形，∴可求得，，∵为圆的直径，∴,∴,又∵，∴，∴，即。B.解：矩阵的特征多项式为，令，解得矩阵的特征值，，当时特征向量为，当时特征向量为，又∵，∴.C。解：（1)直线的普通方程为；圆的直角坐标方程为；（2）∵圆任意一条直径的两个端点到直线的距离之和为，∴圆心到直线的距离为，即，解得或.D.证：∵，,,∴，∴。22．解:（1）甲拿到礼物的事件为，在每一轮游戏中，甲留下的概率和他摸卡片的顺序无关，则，答：甲拿到礼物的概率为；（2