第10章 数的开方期末复习（知识清单）（原卷版）-华东师大版(2024)八上

第10章数的开方一、平方根与算术平方根1.平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。2.算术平方根的定义：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。算术平方根具有非负性，即算术平方根的结果总是非负的。零的算术平方根是零；负数没有算术平方根。3.开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。二、立方根与开立方1.立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；零的立方根是零。立方根具有唯一性。2.开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。三、实数与数轴1.实数的定义：有理数与无理数统称为实数。2.数轴上的点：数轴上的每一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数（有理数或无理数）都可以用数轴上的一个点来表示。3.无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。四、运算与性质1.平方根与算术平方根的运算：会利用平方运算求平方根，会用数学符号“±√”表示平方根，用“√”表示算术平方根。能用计算器求一个数的平方根或算术平方根。2.立方根的运算：会用立方运算求立方根，会用数学符号“∛”表示立方根。能用计算器求一个数的立方根。3.实数的大小比较：有理数的所有运算法则及运算律均适用于实数的运算。对于无理数的大小比较，通常可以取它们的近似值来进行。一、平方根与立方根的概念混淆1.平方根的理解：易错点在于对平方根有两个值（一个正数和一个负数）的理解不清，特别是当题目只要求算术平方根时，容易误写为两个值。2.立方根的理解：立方根只有一个值，但学生在计算时容易受平方根的影响，错误地认为立方根也有正负两个值。二、被开方数的取值范围不清1.平方根的被开方数必须为非负数，学生在处理实际问题时，容易忽视这一点，对负数开平方。2.立方根的被开方数可以为任意实数，但学生在计算时，有时会因为对平方根的理解惯性，错误地认为立方根的被开方数也必须为非负数。三、开方运算与平方、立方运算的关系不清1.开平方与平方是互为逆运算，但学生在解题时，容易忽视这一点，特别是在解方程时，容易忘记对平方根的结果进行平方检验。2.开立方与立方也是互为逆运算，但学生在处理实际问题时，容易将开立方与平方根混淆，导致计算错误。四、无理数的处理不当1.无理数的表示：学生在表示无理数时，容易因为对根号的理解不清，导致表示错误。2.无理数的大小比较：无理数的大小比较通常需要通过取近似值来进行，但学生在比较时，容易忽视这一点，直接进行比较，导致错误。五、计算器的使用不当1.学生在使用计算器求平方根和立方根时，容易因为操作不当或理解不清，导致计算结果错误。2.特别是在处理复杂运算时，学生容易忽视计算器的精度限制，导致计算结果不准确。题型01平方根的概念1.下列说法中，错误的是（

）A．5是25的算术平方根 B．的平方根是C．0的平方根与算术平方根都是0 D．的平方根是2.下列说法中正确的有（

）①一个数的算术平方根一定是正数；②一个正数有两个平方根，它们互为相反数；③的平方根记为；④表示的平方根．A．个 B．个 C．个 D．个3.如果一个正数的平方根是与，那么的值为．4.若一个正数的两个平方根是和，则这个正数是．5.已知一个正数的两个不相等的平方根分别是与．(1)求的值及这个正数；(2)若，求的值．题型02立方根的概念1.下列结论正确的是（

）A．立方根等于本身的数只有 B．没有立方根C．的算术平方根是 D．的算术平方根是2.下列说法不正确的是（

）A．1的立方根是1 B．的立方根是C．的立方根是 D．125的立方根是3.方程的根是．4.已知x为实数，，则的平方根为．5.求下列各式的值：(1)；(2)；(3)．题型03算术平方根的非负性1.已知：，则的值为（

）A．0 B．4 C．12 D．162.若，则等于（

）A．－1 B．1 C． D．3.已知实数、满足，则代数式的值为；4.若，则的值是．5.若与互为相反数，试解关于x的方程．题型04开方运算1.下列计算正确的是（）A． B．C． D．2.下列各式中，正确的是（

）A． B．C． D．3.方程的解是．4.计算：，，．5.求下列各式中的值：(1)；(2)．题型05无理数的表示1.如图，在数轴上表示实数的点可能是（

）A．点 B．点 C．点 D．点2.如图，点表示的数为1，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（

）A． B． C． D．3.数轴上点A表示的数为，将点A沿数轴向右平移2个单位长度到达点B，则点B所表示的数．4.如图，正方形的面积为，顶点在数轴上，且表示的数为1．现以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点（点在点的右侧），则点表示的数为．5.现有五个实数：，，，，4．其中四个数分别对应如图所示数轴上的点A，B，C，D(1)点A表示数___________；点B表示数___________；点D表示数___________；(2)①用圆规在数轴上精确地表示出（提示：注意观察正方形的面积）；②将上述五个数按从小到大的顺序用“”连接题型06无理数的大小比较1.下列实数比较大小，正确的是（

）A． B． C． D．2.若，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．3.比较大小：（填“”“”或“”）4.比较大小：6；．5.比较下列各组数的大小：(1)与2；(2)与2.5；(3)与．题型07用计算器计算无理数1.用计算器求的近似值，其按键顺序正确的是（

）A．B．C．D．2.利用计算器依次按键如图：则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（

）A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．0.93.用计算器计算（结果精确到0.01）：（1）；（2）．4.若按DY-570型科学计算器的键后，再依次按键，则显示的结果为．5.用计算器求下列各式的值（结果保留小数点后两位）：(1)；(2)；(3)．题型08平方根与立方根的综合1.一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（）A． B． C． D．2.下列说法中，正确的是（