数字通信（微课版）课件 第2章信号与通信信道第2讲 信号的频谱分析基础

数字通信原理课程主讲人：李斯伟

在对数字通信系统的研究中，人们感兴趣的问题是信号怎样在系统中传输。因此，了解描述信号特征的频谱等概念及利用这些知识对信号进行处理涉及的相关基础知识都是非常必要的，同时也是学习数字通信原理的基础。尽管信号原本表示的是物理量，但当它一旦变换为函数表达式时，信号的相关问题就变为如何处理这些函数的数学问题了。本章的目的是把一些将在本书中出现的数学定义、公式和理论集中在一起，不追求数学上的严密性，力争使物理上的直观和理论上的系统能很好地结合起来。本章的主要内容围绕信号与通信信道展开讨论。引言2学习完本章，你应重点掌握以下内容：

典型信号的点及其数学表达式识记

信息量的计算

周期信号的傅里叶级数展开式及频谱图绘制

非周期信号的傅里叶变换简单计算及频谱的物理含义

信号的能量谱和功率谱、互相关与自相关的物理意义

随机过程的数字特征的数学表示式及物理含义

信道的定义和分类及信道容量的相关计算

通信信道的噪声及特征

本章学习重点学习指南34本讲教学主要内容内容提要1信号如何承载信息？2信号的时域与频域特性3周期信号的傅里叶级数及频谱4

非周期信号的频谱5通信中的相关5学习路线图123概念的物理意义概念的数学意义熟练相关计算6信号如何承载信息？信号是消息的载体，通过信号的振幅、频率或相位的不同变化来表示消息。模拟信号振幅变化模拟信号频率变化7模拟信号相位偏移信号如何承载信息？8数字信号信号如何承载信息？9周期信号的振幅、周期和相位信号如何承载信息？10比特率和比特间隙（时间宽度）信号如何承载信息？11二、信号的时域与频域特性为什么要对信号进行频谱分析？①频率是信号的一个特有属性。

②对时间域的信号很难分析,频谱只是一种数学工具，就像高中数学要引入向量一样，采用频谱分析更能够了解信号的特性。③不同通信系统对不同频率的信号表现出来的特性是不一样的，所以要知道这个信号的频率成分。例如要滤波，先要知道信号的频谱在哪里才好设计滤波器。

频谱分析仪12信号的时间特性表示确定信号的时间函数，包含了信号的全部信息量，信号的特性首先表现为它的时间特性。时间特性主要指信号随时间变化快慢的特性。同一形状的波形重复出现的周期长短信号波形本身变化的速率（如脉冲信号的脉冲持续时间及脉冲上升和下降边沿陡直的程度）以时间函数描述信号的图象称为时域图，在时域上分析信号称为时域分析。13信号的频率特性信号还具有频率特性，可用信号的频谱函数来表示。在频谱函数中，也包含了信号的全部信息量。频谱函数表征信号的各频率成分，以及各频率成分的振幅和相位。频谱：对于一个复杂信号，可将其各正弦分量的振幅与相位分别按频率高低次序排列成频谱。频带：复杂信号频谱中各分量的频率理论上可扩展至无限，但因原始信号的能量一般集中在频率较低范围内。

在工程应用上一般忽略高于某一频率的分量。频谱中该有效频率范围称为该信号的频带。以频谱描述信号的图象称为频域图，在频域上分析信号称为频域分析。14复合信号波形tf15数字信号的谐波16基伯斯（Gibbs）现象多个正余弦分量的频率信号合成17周期信号的傅里叶级数两种不同形式的展开式三、周期信号的傅里叶级数及频谱单击添加三角函数形式展开式指数形式展开式信号的频带宽度【引例】有三个不同的信号，分别是正弦波、方波和锯齿波，它们的频率都是1000Hz，这三个信号在音质上有区别吗？为什么？18信号分析的利器——傅里叶级数与变换对周期信号的分析，最早来自1784年欧拉对振动弦的研究。欧拉发现所有的振动模式都是x的正弦函数，并称其为谐波关系。欧拉得出结论：如果某一时刻振动弦的形状是其谐波的组合，那么在其后的任何时刻，振动弦的形状也都是这些振荡谐波的组合。1753年，伯努利声称一根弦的实际运动都可以用振动谐波的线性组合来表示。1759年，拉格朗日提出反对意见。1807年，傅里叶在热力学研究时，得出：任何周期信号都可以用成谐波关系的正弦函数来表示。最后由狄里赫利给出数学表达式。19傅里叶生平1768年生于法国1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”1829年狄里赫利第一个给出收敛条件拉格朗日反对发表1822年首次发表在“热的分析理论”一书中20周期信号的三角函数傅里叶级数展开式一个周期为T的周期信号f(t)，可以展开成如下的傅里叶级数，即直流分量余弦分量正弦分量21任何周期信号的波形是由一个平均分量（直流分量）和一系列谐波相关的正弦波和余弦波组成的。傅里叶级数可写成通信工程上更为实用的形式，即其中，

（谐波振幅）（谐波初相角）周期信号的傅里叶级数工程实用形式22将周期信号的各分量的振幅和相位用图形表示出来，称之为频谱图。频谱图中谐波分量的振幅随频率变化的关系称为振幅谱（或幅度谱），谐波分量的相位随频率变化的关系称为相位谱，一般习惯地将振幅频谱简称频谱。23例题讲解

【例1】试将下图所示的方波信号f(t)展开为傅里叶级数。

解答24矩形脉冲（或矩形脉冲串）也是由一系列谐波相关的正弦波组成，信号谱分量的幅度取决于占空比。一个矩形脉冲的傅里叶级数展开式表示为一个矩形脉冲的直流分量等于。脉冲宽度越窄，直流分量将越小。n次谐波的幅度为25？想一想1.如下式所示的一个信号，试问该信号有几个频率分量？分别是什么？并求该信号的直流功率、交流功率，以及信号输出的最大值和最小值。26？想一想2.下图所示的三个信号，它们的脉宽和频率都相同，它们所含的频率分量相同吗？TTT27周期信号不仅可以用三角函数以及工程实用形式表示，还可以用指数形式的傅里叶级数表示，这种指数形式简洁便于计算，在通信中也获得了广泛应用。（复傅里叶系数）

结论：任意周期信号f（t）可以分解为许多不同频率的虚指数信号

之和，

其各分量的复数幅度为

。周期信号的傅里叶级数复指数形式28实、复傅里叶系数的关系实傅里叶系数：

a0

an

bn复傅里叶系数：

29周期复指数信号的频谱图

周期矩形脉冲信号指数形式傅里叶级数的频谱是一个离散谱。30例题讲解

【例2】设有一个幅度为A，脉冲宽度为的周期性矩形脉冲，其周期为T，如图所示，求其复傅里叶系数。

解答31

频带宽度（带宽）频谱图上第一个零点以内的范围，记作B。例：对周期矩形脉冲信号，

Bω=2π/τ

或

Bf=1/τ32

频带宽度（带宽）33

频带宽度（带宽）34？想一想1.如下图所示的信号试回答下面的问题：（1）画出该信号指数形式的频谱图。（2）该频谱的第一个过零点对应的频率是多少？（rad/s）（3）该频谱的第一个过零点内有多少个频率分量？（4）试求信号的总功率。11-0.100.1135非周期信号的频谱傅里叶认为，非周期信号可以看做是周期无限长的周期信号。一个非周期信号f(t)可以用其傅里叶变换求其频谱函数，即通常把叫做f(t)的频谱密度函数，或简称频谱密度。36【例2-6】试求图2-13所示的矩形脉冲的频谱。解：利用式（2-5），有

37相关相关是现代通信中广泛应用的概念之一，它也是在时域中描述信号特征的一种重要方法。在通信中通常用相关函数衡量信号波形之间的相似程度或关联程度。互相关函数自相关函数38三字经人之初，性本善。性相近，习相远。苟不教，性乃迁。……养不教，父之过。教不严，师之惰。子不学，非所宜。幼不学，老何为。玉不啄，不成器。人不学，不知义。为人子，方少时。亲师友，习礼