用列举法求概率

25.2用列举法求概率

考点一用列举法求概率

一般地，如果在一次试验中，有n种可能户।的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件

A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=d

n

考点二：用列表发求概率

当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常用列表

法。

列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，

并求出概率的方法。

考点三：用树形图求概率

当一次试验要涉及3个或更多的因素时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用

树形图，树形图是反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，并求出概率的方法。

（1）树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时求概率的方法。

（2）在用列表法和树形图法求随机事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同，

题型一：列举法求概率

1.（2023•湖南永州•统考中考真题）今年2月，某班准备从《在希望的田野上》《我和我的祖国》《十送红军》三首

歌曲中选择两首进行排练，参加永州市即将举办的“唱响新时代，筑梦新征程”合唱选拔赛，那么该班恰好选中前面

两首歌曲的概率是（）

A.yB.—C.日D.1

233

【答案】B

【分析】根据概率公式，即可解答.

【详解】解：从三首歌曲中选择两首进行排练，有《在希望的田野上》《我和我的祖国》、《在希望的田野上》《十送

红军》、《我和我的祖国》《十送红军》共三种选择方式，

故选到前两首的概率是:，

故选：B.

【点睛】本题考查了根据概率公式计算概率，排列出总共可能的情况的数量是解题的关键.

2.（2023上•山东青岛•九年级校考期中）为了解我国的数学文化，小明和小红从《九章算术》《孙子算经》《海岛算

经》（依次用力、氏C表示）三本书中随机抽取一本进行阅读.

（1）从三本书中随机抽取一本，恰好是《九章算术》的概率为.

（2）小明先随机抽取一本，小红再从剩下的两本中随机抽取一本.请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结

果.并求抽取两本书中有《九章算术》的概率.

【答案】⑴:

（2）t

【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出再从中选出符合事件力或

8的结果数目，然后根据概率公式计算事件4或事件8的概率.

（1）用直接列举法求出概率即可：

（2）面树状图展示所有6种等可能的结果，再找出抽取两本书中有《九章算术》的结果数，然后根据概率公式计算.

【详解】（1）从中随机抽取一本书可能是力、大C.共有3种等可能结果，抽取的是《九章算术》的有1种.即概

率为：!；

（2）解：画树状图为：

共有6种等可能的结果，其中抽取两本书中有《九章算术》的结果数为4种，所以抽取两本书中有《九章算术》的

概率为24=2

63

3.（2023上•陕西汉中•九年级统考阶段练习）一部好的纪录片可以让学生开阔眼界，建立认知，构建宏大的世界观，

某中学为了丰富学生课外生活，向学生们推荐了《地球脉动》《蓝色星球》《冰冻星球》《地球的力量》这四部纪录

片，要求每名学生从这四部纪录片中随机选择一部来观看.

（1）该校学生小明选择观看纪录片《蓝色鼠球》的概率是；

（2）现有两名没有看过这四部纪录片的学生准备从这四部纪录片中各自随机选择一部来观看，请用树状图或列表法求

他们选择同一部纪录片的概率.

【答案】⑴!

4

（2，

【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.画出树状图，得出总的情况数和他们选中同•名著的情况数，

然后利用概率公式即可求出概率，画出树状图是解此题的关键.

【详解】（1）解：因为《地球脉动》《蓝色星球》《冰冻星球》《地球的力量》共四部纪录片，

所以该校学生小明选择观看纪录片《蓝色鼠球》的概率是!：

4

（2）解：将《地球脉动》《蓝色星球》《冰冻星球》《地球的力量》分别记作4民。,。画树状图可得：

所以，共有16种等可能得结果，其中选中同一部纪录片的有4种，

41

故户（两人选中同一部纪录片）

164

题型二：游戏的公平性

4.（2023•河北石家庄•统考模拟预测）甲、乙两人一起玩如图4的转盘游戏，将两个转盘各转一次，指针指向的数

的和为正数，甲胜，否则乙胜，这个游戏（）

A.公平B.对甲有利C.对乙有利D.公平性不可预测

【答案】A

【分析】采用列表法列举分别求出指针指向的数的和为正数的概率和为非正数的概率，比较二者概率即可作答.

【详解】列表如下：

总的情况数为8种，为正数的情况有4种，为非正数的情况有4种，

指针指向的数的和为正数的概率为：4+8=；：

指针指向的数的和为非正数的概率为：4・8二;：

~»概率相同，

22

••・甲、乙获胜的概率相同，

即游戏对二人公平，

故选：A.

【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结

果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件.注意概率=所求情况数与总情况数

之比.

5.（2022・湖北武汉・武汉第三寄宿中学校考模拟预测）甲、乙两人玩“石头，剪刀，布”的游戏，约定只玩一局，描

述错误的是（）

A.甲，乙获胜的概率均低于0.5B.甲，乙获胜的概率相同

C.甲，乙获胜的概率均高于0.5D.游戏公平

【答案】C

【分析】根据游戏结局共有三种情形，其中甲、乙获胜的概率都为即可求解.

【详解】解：甲、乙两人玩“石头，剪刀，布''的游戏，约定只玩一局，结局有甲获胜（乙输）、平局、乙获胜（甲

输），三种结局，其中，甲、乙获胜的概率都为:，则A,B,D,选项正确，C选项错误.

故选C

【点睛】本题考查了概率公式求概率，游戏的公平性，求得概率是解题的关键.

6.（2020上•湖南长沙•九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）众所周知，“石头、剪刀、布“游

戏规则是比赛时双方任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种.石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，若双

方出相同手势，则算打平，小明和小红玩这个游戏，他们随机出一种手势，则小明获胜的概率为（）

I114

'•3B-iCaD,§

【答案】B

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明获胜的情况，再利用概率公式即可

求得答案.

【详解】解：根据题意画出树状图：

・•・共有9种等可能的结果，小明获胜的有3种情况,

・••小明获胜的概率

故选:B.

题型三：列表法或者树形图求概率

7.（2023上•山东枣庄•九年级统考期中）如图，某公园有一个入口，力、B、C三个出口，甲、乙两人进入这个公园，

活动后从同一个出口出来的概率是（）

1八1_1r1

A.—B.-C.-D.—

2346

【答案】B

【分析】此题考查的是用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以

上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

画树状组，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人进入这个公园，活动后从同一个出口出来的结果有3种，再由

概率公式求解即可.

【详解】解：画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人进入这个公园，活动后从同一个出口出来的结果有3种，

31

，甲、乙两人进入这个公园，活动后从同一个出口出来的概率为3=5，

故选：B.

8.（2023上•浙江温州•九年级校联考期中）已知一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的球，其中1个白球，3

个红球.

（1）求从袋中随机摸出一个球是红球的概率.

（2）从袋中随机摸出•个球，记录颜色后放回，摇匀，再随机摸出•人球，请用树状图或列表法求两次摸出的球恰好

颜色不同的概率.

（3）若在原袋子中再放入小个白球和川个红球，搅拌均匀后，使得随机从袋中摸出1个球，颜色是白色的概率为:，

求m的信.

【答案】（1喘20

（2）|

（3）3

【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；

（2）先列表得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解可得；

（3）根据已知列出关于/〃的方程，解之可得.

【详解】（1）解：（1）•・•袋中共有4个小球，其中红球有3个，

••・从袋中随机摸出一个球是红球的概率为3:，

4

由表知共有49种等可能结果，其中两次摸出的球恰好颜色不同的有20种结果,

・•・两次摸出的球恰好颜色不同的概率为2会0；

49

（2）列表如下:

白红红红

白泊，白）（红，白）（红，白）（红，白）

红（白，红）（红，红）（红，红）（红，红）

红（白，红）（红，红）（红，红）（红，红）

红（白，红）（红，红）（红，红）（红，红）

由表知共有16种等可能结果，其中两次摸出的球恰好颜色不同的有6种结果，

，两次摸出的球恰好颜色不同的概率为二

16o

（3）解：根据题意,得:

\+m=2

4+2w-5?

解得加=3；

：.m的值为3.

【点睛】此题考查了概率公式的应用.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

9.（2023上•辽宁锦州•九年级统考期中）辽西九华山风景区位于辽宁省凌海市西南部，距离市中心3千米，是国家

4A级名胜风景区.辽西九华山因大凌河城之战，明清在此降和闻名，是连接东北与中原的咽喉.景观有小布达拉

宫广场、荷花池、长城、白塔、音乐喷泉......每处景观都让人流连忘返.小华和小丽利用“十一”放假期间对旅

游公交线路的满意度进行调查.如图是凌海市1号线南端的五站路线图，小华和小丽分别在这五站中随机选取一站

作为调查的站点.

（1）小华选取的站点是小布达拉宫的概率为:

（2）请用列表或画树状图的方法，求小华和小丽选取的站点相邻的概率.

【答案】（1）：

⑵Y

【分析】本题考查概率的计算，掌握概率公式和用树状图法或列表法求概率是解题的关键.

（1）根据概率的计算公式可直接得出；

（2）用树状图法或列表法求概率即可.

【详解】（1）解：・・•共五个站点，小布达拉宫是其中一个，

・•・小华选取的站点是小布达拉宫的概率为g,

故答案为：;；

（2）解法一：树状图如下，

共有25种可能出现的结果，其中小华和小丽选取的站点相邻的有8种结果，所以小华和小丽选取的站点相邻的概

率为「脸

解法二：列表如下：

ABCDE

AAAABACADAE

BBABBBCBDBE

CCACBCCCDCE

DDADBDCDDDE

EE4EBECEDEE

共有25种可能出现的结果，其中小华和小丽选取的站点相邻的有8种结果，所以小华和小丽选取的站点相邻的概

率为八条

一、单选题

1（）.（2D23上•浙江杭州•九年级统考期中）一枚质地均匀的正方体骰子，骰子各面分别标有数字1、2、3、4、5、6,掷两次

所得点数之和为11的概率为（）

A.-B.—C.—-D.—

18361215

【答案】A

【分析】此题考查的是用树状图求概率.可知共有36种等可能的情况，两次掷得骰子朝上一面的点数之和为11的

情况有2种，再由概率公式求解即可.

【详解】解；画树状图为；

共有36种等可能的结果数，其中掷两次所得的点数之和等于11的结果数为2,所以掷两次所得的点数之和等于11

2I

的概率为厂=.，

36Io

故选：A.

2124

11.（2023上•河北保定•九年级统考期中）桌面上有4张卡片.4张卡片的正面分别标有数字这些卡片

JJJJ

除数字外完全相同，将卡片背面朝上且打乱摆放顺序，随机抽取2张卡片，抽取的卡片数字都是方程

（3x+2：|（3x-4）=O的解的概率是（）

【答案】A

【分析1本题考查了列表法求概率，解一元二次方程，先解一元二次方程，然后根据概率公式，即可求解.

【详解】解：（3X+2）（3X-4）=0

・•・3x+2=0或34-4=0,

解得：x=-92或x4

JJ

列表如下，

_224

~3333

_2_212224

-33'33'33'3

12J.24

一，一

333葭33,3

22_22J24

3针~3〈3屋3

4424142

9

33'33'333

共有12种等可能结果，其中解都是方程（3x+2）（3x-4）=0的解的情形有2种,

・•・抽取的卡片数字都是方程（3x+2）（314）=0的解的概率是怖•=:

126

故选：A.

12.（2023上•山西太原•九年级统考期中）某校矩形以《大国重器》为主题的演讲比赛，其中一个环节是即兴演讲,

该环节共有三个题目，由电脑随机给每位参赛选手派发一个题目，选手根据题目对应的内容进行90秒演讲.小亮

和小敏都参加了即兴演讲，则电脑给他们派发的是同一个题目的概率是（）

A.1B.-C.-D.J

3642

【答案】A

【分析】本题考查了列举法求概率.根据题意正确的列表是解题的关键.

记三个题目为1，2,3,由题意列表，然后求概率即可.

【详解】解：记三个题目为1,2,3,

由题意列表如下：

123

1(1,1)(1,2)(1,3)

2⑵）（2,2）（2,3）

3⑴）(3,2)(3,3)

由表可知，共有9种等可能的结果，其中派发的是同一个题目共有3种等可能的结果，

・・3/

.9-3）

・•・派发的是同一个题目的概率为1,

故选：A.

13.（2023上•广东茂名•九年级统考期中）班主任邀请甲、乙、丙三位同学参加圆桌会议.如图，班主任坐在。座

位，三位同学随机坐在力、8、C三个座位，则甲、乙两位同学座位相邻的概率是（）

211）

A.—B.—C.-D.—

3342

【答案】A

【分析】本题主要考查了树状图求概率.画树状图，共有6种等可•能的结果，其中甲、乙两位同学座位相邻的结果

有4种，再由概率公式求解即可.正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数

之比.

【详解】解：画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中甲、乙两位同学座位相邻的结果有4种，即力8、BA、BC、CB,

••・甲、乙两位同学座位相邻的概率为二4二：2,

63

故选：A.

14.（2023上•浙江杭州•九年级校联考期中）从2,-1,3,6这四个数中任取不同的两数，分别记为〃3〃，那么点

（小，〃）在函数y=£图象上的概率是：）

x

\1-11

A.-B.-C.-D.—

6432

【答案】A

【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，列表法或树状图法求概率.用到的知识点为：概率=所求情

况数与总情况数之比.首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与点恰好在反比例函

数y=2图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案.

x

【详解】解：画树状图得：

•・•共有12种等可能的结果，点（〃?，〃）恰好在反比例函数j，=9图象上的有：（2,3）,（3,2）,

x

・••点佃，〃）在函数y=勺图象卜的概率是：

X"6

故选：A.

15.（2023上•陕西咸阳・九年级咸阳彩虹学校校考期中）如图，将一个可自由转动的转盘平均分成4份，分别标上

“最，“关”减”.阳,，四个字，随意转动转盘一次，待转盘停止转动后，记录下指针所指区域的汉字（若指针指在分割

线上，则重新转动转盘），通过转动两次转盘后，指针所指区域的汉字可以组成词语“咸阳”的概率为（）

A.AB.gC.1D一

【答案】B

【分析】先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可.

21

・••通过转动两次转盘后，指针所指区域的汉字可以组成词语“咸阳”的概率为3=9

168

故选B.

【点睛】本题主要考查了用树状图法或列表法求解概率，正确列出表格或画出树状图是解题的关键.

16.（2023上•河南郑州•九年级校考阶段练习）袋中装有编号为1,2,3的三个质地均匀、大小相同的球，从中随机

取出一球记下编号（不放回），再从袋中随机取出第二个球，两次所取球的编号的和是偶数的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

9639

【答案】C

【分析】列表法求概率即可.

【详解】解：由题意，列表如下：

123

134

235

345

共6种等可能的结果，其中和为偶数的情况有2种,

9

故选c.

【点睛】本题考查列表法求概率，熟练掌握列表法，是解题的关键.

17.（2023上•河北保定•九年级校考期中）2022年10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕.某市

举行“学习二十大奋进新征程”知识竞答活动，共有10道必答选择题，每道选择题都有A,B,C,D四个选项，有

且只有一个选项是正确的.小琳已答对前8题，如果答对最后两道题就能顺利通关.假设最后这两道题小琳都不会，

只能从所有选项中随机选择一个.

（1）小琳答对第9题的概率是；

（2）小琳在答第10道题各使用一次“求助"，排除「错误答案A,请你用画树状图或列表的方法分析小琳竞答通关的概

率有多大？

【答案】⑴

4

（2）树状图见解析，g

【分析】本题考查概率公式，列表法或树状图法求概率，解题的关键是掌握概率公式的运用.

（1）根据四个选项中，正确的选项只有一个，结合概率公式可得答案：

（2）假设A表示第9题正确的选项，C表示第10题正确的选项，根据树状图，列出所有可能的结果即可.

【详解】（I）解：•・•每道选择题都有A,B,C,D,四个选项，有且只有一个选项是正确的，

工小琳答对第题的概率为：

4

（2）解：假设A表示第9题正确的选项，C表示第10题正确的选项，

画树状图如下：

共12种等可能的结果，小琳竞答通关的只有1种情况，

工小琳竞答通关的概率为

18.（2023上•吉林长春•九年级统考期中）网上购物已经成为人们常用的一种购物方式，售后评价特别引人关注，消

费者在网店购买某种商品后，对其有，好评“、“中评”、“差评”三种评价，假设这三种评价是等可能的.

（1）小明对一家网店销售某种商品显不的"?条评价信息进行了统计，并绘制了两幅不完整的统计图.

利用图中所提供的信息解决以下问题：

①求〃?的值.

②补全条形统计图.

（2）若甲、乙两名消费者在该网店购买了同一商品，请你用画树状图（或列表）的方法，求两人中至少有一人给“好

评”的概率.

【答案】（1）①300②见解析

【分析1（1）①根据中评和差评的人数及所占百分比即可求得m的值；②m减去中评和差评的人数即为好评的人数,

据此补全统计图即可；

（2）列出表格，就可得出所有可能的结果，利用概率公式从而得出答案.

【详解】（1）©/W=（80+40）4-（I-60%）=300（条）.

的值为300：

②300-80-40=180（条）,条形统计图为

（2）列表如下：

结果

好中差

好（好，好）（中，好）（差，好）

中（好，中）（中，中）（差,中）

差（好，差）（中，差）（差，差）

由表格表可知共有9种等可能结果，两人中至少有一人给“好评”的结果有5种

••・两人中至少有一人给“好评”的概率为：

【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解

决问题为关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

19.（2023上•广东深圳•九年级校考期中）“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号飞行乘组航天员翟志刚、

王亚平、叶光富讲了又一堂精彩的太空科普课.这场充满奇思妙想的太空授课，让科学的种子在亿万青少年的心里

生根发芽.小明和小亮对航天知识产生了极大兴趣，他们在中国载人航天网站了解到，航天知识分为“梦圆天路''、

“飞天英雄”、“探秘太空”、“巡天飞船”等模块.他们决定先从A：“梦圆天路”、8：“飞天英雄”、C：“探秘太空”

三个模块中随机选择一个进行学习.

⑴小明同学选择C：“探秘太空”模块的概率是;

（2）用画树状图或列表的方法求出小明和小亮选择相同模块的概率.

【答案】⑴]

【分析】本题考查了概率的计算、画树状图或列表法求概率，

（I）根据题意所有模块数是3个，选择C的概率，则根据概率的计算公式进行计算即可；

（2）根据题意画树状图或列表的方法得出所有的可能结果，再根据概率的计算公式进行计算即可；

熟练掌握概率的计算公式是解题的关健.

【详解】（1）解：•・・从A、B、C三个模块中随机选择一个,

・•・小明同学选择C：“探秘太空”模块的概率=".

故答案为：；；

（2）解：画树状图如下：

共有9种可能性结果，其中小明和小亮选择相同模块的结果有3种，

・•・小明和小亮选择相同模块的概率=；=；.

・、单选题

20.（2023上•内蒙古包头•九年级包钢第三中学校考阶段练习）在一个不透明的口袋中装有3个完全一样的小球，小

球上分别标有数字1，2,3.先摸出一个小球、上面的数字记为放回袋子中摇匀后再摸出一个小球、上面的数字

记为c,则使得一元二次方程ad+4x+c=0有实数解的概率为（）

A—B-C—D-

6323

【答案】D

【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到得一元二次方程ad+4x+c=0有实数解的结果数，再根据概率公式

求解即可.

【详解】解：列表得:

123

1(U)(2,1)(T)

2(1,2)(2,2)(3,2)

3(1,3)(2,3)(3,3)

所有等可能的情况有9种，其中使得一元二次方程a/+4x+c=0有实数解（444）的有6种结果,

所以使得一元二次方程收+4%+0=0有实数解的概率为?=|，

故选：D.

【点睛】本题考查了列表法与树状图法计算概率，计算概率的方法有树状图法与列表法，列表得出所有等可能结果

是解题关键.

21.（2023上•山西晋中•九年级校考阶段练习）如图所示的两张图片形状大小完全相同，把两张图片全部从中间剪断,

再把四张形状大小相同的小图片混合在一起.从四张图片中随机摸取一张，不放回，接着再随机摸取一张，则这两

张小图片恰好合成一张完整图片的概率是（）

1>1_1r1

A.-B.-C.-D.—

2345

【答案】B

【分析】四张形状相同的小图片分别为4、a、B、b表示,其中力和“合成一张完整图片，8和8合成一张完整图

片，用列表法或画树状图可展示所有12种等可能的结果，再找出两张小图片恰好合成一张完整图片的结果数，然

后利用概率公式计算即可.

【详解】解：四张形状相同的小图片分别为4、a、B、b表示,其中力和。合成一张完整图片，4和。合成一张完

整图片，

画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中两张小图片恰好合成一张完整图片的结果数为4,

41

・••两张小图片恰好合成一张完整图片的概率为7y=不

故选：B.

【点睛】本题考查用列表法或画树状图求概率、概率公式，掌握列表法或画树状图求等可能事件概率的方法是解题

的关键.

22.（2。23上•山西太原•九年级校考阶段练习）有三张正面分别写有数字1,2,-3的卡片，它们背面完全相同，现

将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取两张，记录卡片上的数字，则记录的两个数字乘积是正数的概率是（）

A.；B.|C"D.1

【答案】A

【分析】画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符号条件的结果数，然后利用概率公式即可得出答案.

【详解】根据题意画图如下：

由树状图知，共有6种等可能结果，其中两个数字乘积是正数的有2种

则记录的两个数字乘积是正数的概率是:=-

63

故选A.

【点睛】本题考查了列表法或者画树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能得结果，适合于两步

完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.熟练掌握

概率=所求情况数与总情况数之比.

23.（2023・湖南•统考中考真题）“千门万户瞳瞳日，总把新桃换旧符”.春节是中华民族的传统节日，古人常用写“桃

符”的方式来祈福避祸，而现在，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿.某商家在春

节期间开展商品促销活动，顾客凡购物金额满100元，就可以从“福”字、春联、灯笼这三类礼品中免费领取一件.礼

品领取规则：顾客每次从装有大小、形状、质地都相同的三张卡片（分别写有“福”字、春联、灯笼）的不透明袋子中，

随机摸出一张卡片，然后领取一件与卡片上文字所对应的礼品.现有2名顾客都只领取了一件礼品，那么他们恰好

领取同一类礼品的概率是（）

A.tB.1C.gD.g

【答案】C

【分析】分别用4SC表示写有“福”字、春联、灯笼的三张卡片，利用列表法求出概率即可.

【详解】解：分别用4B,C表示写有“福”字、春联、灯笼的三张卡片，列表如下:

ABC

AAtAA,BA,C

BB,AB,BB,C

CC,AC,BC,C

共有9中等可能的结果，其中他们恰好领取同•类礼品有3种等可能的结果,

故选C.

【点睛】本题考查列表法求概率，解题的关键是正确的列出表格.

24.（2023上•河南郑州•九年级郑州市第七十三中学校考阶段练习）2023年10月8口是“二十四节气”里的“寒露”.”二

十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明小文购买了“二十四节气''主题邮

票，他要将“立•秋”“寒露秋分”“霜降”四张邮票中的两张送给好朋友小乐.小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背

面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立秋”和“寒

露”的概率是（）

1

D.-

8

【答案】C

21

故其概率为：—=—

126

故选：C.

【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果〃，再从中选出符合事件力

或8的结果数目加，然后利用概率公式计算事件4或事件B的概率.

25.（2023上•陕西榆林•九年级榆林巾第一中学分校校考阶段练习）9月21日下午，“天宫课堂”第四课在中国空间

站开讲，3位航天员演示了：球形火焰实验、奇妙“乒乓球”实验、动量守恒实验以及又见陀螺实验.杨老师组织全

班同学观看四个实验后分享感受.她将四个实验的名称分别写在四张完全相同的卡片正面上，背面朝上洗匀后，每

位同学随机抽取一张，做好记录后放回.并向同伴分享对应实验的观看收获，该班的小军和同桌小华刚好都抽到写

有“动量守恒实验”卡片的概率是（）

A.—B.；C.—D.—

42416

【答案】D

【分析】川分别表示球形火焰实验、奇妙“乒乓球”实验、动量守恒实验以及又见陀螺实验.画出树状图即

可求解概率.

【详解】解：用分别表示球形火焰实验、奇妙“乒乓球”实验、动量守恒实验以及又见陀螺实验，

画出树状图：

一共有16种等可能的结果，其中小军和同桌小华刚好都抽到写有“动量守恒实验”卡片有一种可能结果，

故概率为：J

16

故选：D

【点睛】本题考查利用树状图或列表法求概率.熟记相关方法步骤即可.

二、填空题

26.（2023上•山西晋中•九年级统考期中）将分别标有“中”“国”“心”汉字的三个小球装在一个不透明的口袋中，这些

球除汉字外无其它差别.随机摸出一个球后放回搅匀，随机摸出一个球，两次摸出的球上的汉字能组成“中国”的概

率是.

【答案】|

【分析】本题考查列表法求概率.根据题意，正确的列出表格，利用概率公式进行求解即可.

【详解】解：由题意，列表如下：

中国心

中中中中国中心

国国中国国国心

心心中心国心心

共有9种等可能的结果，其中能组成中国的情况有2种,

故答案为：!

27.（2D23上•山西晋中•九年级统考期中）为落实教育部办公厅、中共中央宣传部办公厅关于《第41批向全国中小

学生推荐优秀影片片目》的通知精神，某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级学生

观看，则这两个年级选择的影片相同的概率为.

【答案】|

【分析】本题考查用树状图求概率，画出树状图，找出满足条件的结果即可得到答案.

【详解】解：将影片分别记为A,B,C,

共有九种结果，其中两个年级选择的影片相同的结果有3种，

故这两个年级选择的影片相同的概率为［=

故答案为：~.

28.（2D23•广东河源•统考二模）从-2,4,5这3个数中，任取两个数作为七b,则直线“，=仙+》在第一、三、四

象限的概率为.

【答案】|

【分析】先画树状图展示所有6种等可能的结果，然后根据概率公式计算，即可求解.

【详解】解：画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中直线y=米+6在第一、三、四象限（k>0,b<0）的结果有2种，

21

••・直线y=h+b在第一、三、四象限的概率为二=二，

63

故答案为：g.

【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率和点的坐标特征，通过列表法或树状图法列举出所有可能的结果求出

〃，再从中选出符合事件4或3的结果数目〃1,求出概率是解题的关键.

29.（2D23上•浙江杭州•九年级杭州市采荷中学校考阶段练习）游客平与游客乙将游玩杭州西湖中的“三潭映月，平

湖秋月，曲院风荷”这三景中的一景，求他们游玩同一景点的概率.

【答案】|

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两游客玩同一景点的情况，再利用概率

公式即可求得答案.

【详解】解：分别用4B,。表示三潭映月，平湖秋月，曲院风荷，

画树状图得：

•・•共有9种等可能的结果，两游客玩同一景点的有3种情况，

・••两游客玩同一景点的概率是：^3=-1.

故答案为：J.

【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

30.（2023上•重庆江北•九年级重庆十八中校考期中）有四张完全相同且不透明的卡片，正面分别标有数字-1、-2、

I、2,将四张卡片背面朝上，任抽一张卡片，卡片上的数字记为“，放回后洗匀，再抽一张，卡片上的数字记为A,

则函数），=仃+方的图像不经过第二象限的概率是.

【答案】［/0.25

4

【分析】画树状图得出所有的等可能的结果，根据当〃>0,人0时，函数J，=GX+方的图像不经过第二象限，即可

求解.

【详解】解：画树状图如下：

共有16种等可能的结果

•・•当q>0,6M0时，函数y=at+6的图像不经过第二象限

・•・满足条件的结果有4种

故函数y=+的图像不经过第二象限的概率是：747=41

164

故答案为：!

【点睛】本题考查了概率的求解和根据一次函数图像经过的象限判断参数的取值.熟记相关结论即可.

31.（2。23上•贵州六盘水•九年级统考阶段练习）为落实教育部办公，亍和中共中央宣传部办公厅关于《第41批向全

国中小学生推荐优秀影片片目》的通知精神.我市某校八、九年级分别从《我和我的父辈》《童年周恩来》《我心飞

扬》《向着明亮那方》四部影片中，随机选取一部影片组织本年级学生观看，则这两个年级选择的影片相同的概率

是.

【答案】7

4

【分析】先列出表，再根据概率公式计算即可.

【详解】设四部影片依次为力、B、CD,根据题意，列表如下：

影片ABCD

AAAABACAD

BBABBBCBD

CCACBCCCD

DDADBDCDD

共有16种等可能的结果，其中满足条件的有4种,

故相同的概率为,4=I

164

故答案为：.

4

【点睛】本题考查了画树状图法或列表法il•算概率，熟练掌握画树状图法或列表法是解题的关键.

32.（2023上•浙江绍兴•九年级校联考阶段练习）学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的

转盘，.4盘被分成面积相等的几个扇形，8盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120。.同学们同时转动两个转盘，如

果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，嬴得游戏.若小赵同学同时转动力盘和

B盘,她赢得游戏的概率是.

【答案】|

【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色、另一个转盘转出了蓝色的有3种情况，然

后由概率公式求解即可.

【详解】解：转盘8红色部分圆心角为240。，相当于2个蓝色部分，

画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色、另一个转盘转出了蓝色的有3种情况，

・•・小李同学同时转动4盘和8盘，她赢得游戏的概率是:=；.

故答案为：

【点睛】本题考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情

况数之比.

三、解答题

33.（2023上・江苏•九年级泰州市姜堰区第四中学周测）一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜

色外都相同，搅匀.

（1）从袋子中任意摸出1个球，则摸到的球是红球的概率为;

（2）从袋子中任意摸出1个球，记录颜色后放•回•、搅匀，再从中任意摸出1个球，求两次中至少有一次是红球的概率.

【答案】（呜;

（哈

【分析】（I）由共有3种等可能结果，其中摸到红球可能的结果有2种，根据概率公式求解可得；

（2）画树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得.

【详解】（1）解：•・•袋中共有3个球，

・•・共有3种等可能结果，其中摸到红球可能的结果有2种，

•p--

••。搅到红球）3，

故答案为：：；

（2）画树状图为：

共有9种等可能的结果，所有的结果中，满足“至少有一次是红球”的结果有8种，

.p,8

,,1至少H一次是红球）—9•

【点睛】此题考查了列表法与树状图法求概率：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出〃，再从中选出

符合事件A或〃的结果数目m,然后根据概率公式求出事件A或〃的概率.

34.（2023上•云南・九年级统考期中）在一个不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒兵球，球面上分别标

有数字1、2、3,搅匀后先从袋子中任意摸出一个乒乓球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任意摸出一个乒乓

球，记下数字.

（1）用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；

（2）求两次摸到乒乓球上的数字之和是奇数的概率.

【答案】（1）见解析

⑵士

9

【分析】本题考查列表法与树状图法：

（1）到表即可得出所有等可能的结果.

（2）由表格可得出所有等可能的结果数以及两次摸到乒乓球上的数字之和是奇数的结果数，再利用概率公式可得

出答案.

熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键.

【详解】（1）解：所有可能出现的结果列表如下：

123

1(1,1)。，2）。，3）

2（2」）(2,2)（2,3）

3（3J）(3,2)（3,3）

由表格可知，共有9种等可能出现的结果.

（2）由（1）可知，共有9种等可能出现的结果，两次摸到乒乓球上的数字之和是奇数的结果有4种，

4

•••两次摸到乒乓球上的数字之和是奇数的概率为

35.（2023上•广东广州•九年级铁一中学校考期中）甲口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数值-1,2,5,

乙口袋中就有3个相同的小球，它们分别写有数值-4,2,3.现从甲口袋中随机取一球，记它上而的数值为x,再

从乙口袋中随机取一球，记它上面的数值为V.设点力的坐标为。，7）.

（1）请用树状图或列表法表示点A的坐标的各种可能情况，

（2）求点A落在一次函数＞=-2x图象上的概率.

*【答案】（1）见详解

【分析1本题主要考查概率及•次函数的性质，熟练掌握利用列表法进行求解概率；因此:

(1)根据列表法可进行求解：

(2)由(1)结合一次函数的性质可进行求解.

【详解】3)解：列表如下：

-423

-1(-1,-4)(7,2)(7,3)

2(2,-4)(2,2)(2,3)

5(5,-4)(5,2)(5,3)

总共有9种等可能的结果；

(2)解：由(1)可知：落在一次函数y=-2x图象上的点有(2,-4)、共2种情况，

・••点4落在一次函数y=-2X图象上的概率为2=(.

36.(2023•广东河源•统考二模)本期开学以来，初2015级开展了轰轰烈烈的体育锻炼，为了解考体育科目训练的

效果，九年级学生中随机抽取了部分学生进行了以此中考体育科目测试(把测试结果分为四个等级，力等：优秀；

B等:良好；C等:及格；。等：不及格)，并将结果汇成了如图1、2所示两幅不同统计图，请根据统计图中的信

息解答下列问题：

(1)本次抽样测试的学生人数是二

(2)图1扇形图中D等所在的扇形的圆心角的度数是」并把图2条形统计图补充完整；

(3)我校九年级有1800名学生，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计小及格的人数为二

(4)己知得力等的同学有一位男生，体育老师想从4为同学中随机选择两位同学向其他同学介绍经验，请用列表法或

画树形图的方法求出选中的两人刚好是一男一女的概率.

【答案】(1)25

(2)43.2，，补全图形见解析

(3)216

(4)j

【分析】(1)根据8级的人数除以8级所占的百分比，可得答案；

(2)先求出。等级的人数，即可将条形统计图补充完整；再求出。等级所占比例，根据圆周角乘以。等级所占的

比例，可得扇形的圆心角；

(3)利用样本估计总体的方法知，全校总人数乘以力级所占的比例，可得答案；

(4)根据题意列出表格或画出树状图表示出所有等可能的情况，找到符合题意的情况，再利用概率公式计算即可.

【详解】(1)本次抽样测试的学生人数为10・40%=25