《全等三角形的性质与判定的综合运用(第二课时)》教案

《全等三角形的性质与判定的综合运用(第二课时)》教案教学目标教学目标：1.熟练掌握全等三角形性质和判定；2.能分析已知条件和待证结论，添加简单的辅助线构造全等三角形，或从复杂的几何图形中分离出简单的几何图形证全等.教学重点：分析已知条件和待证结论，选择合适的判定方法证明两个三角形全等．教学难点:基于已知条件推导出全等条件，选择合适的判定方法证明两个三角形全等.教学过程时间教学环节主要师生活动3min复习导入同学们，大家好！上节课我们进行了补全全等条件的练习，我们通过审题，明确题目已知的边角条件，再添加一个适当的图形关系条件，判定两个三角形全等.这节课，我们要更进一步，不再是直接添加，而是要深入挖掘题目已知，推导出缺失的条件.20min例题讲解接下来，通过例题我们一起学习如何基于已知条件推导出全等条件，并运用三角形全等的性质和判定来解决问题.例1.已知：如图1，AB∥CD，∠1=∠2，O为AD中点，EF、AD交于点O.求证：O为EF的中点.图1图1分析：首先，我们根据题干标图其次，再看要证什么，需要证明什么要证要证O为EF的中点即证即证OF=OE需证需证△OFD≌△OEA已知的条件可否直接证明△OFD≌△OEA？如果不够还缺少什么？已知已知OA=OD∠∠FOD=∠EOA还缺少∠还缺少∠FDO=∠EAO题目中还有什么条件没用到？如果用上可否找到我们需要的∠FDO=∠EAO？已知已知AB∥CD，∠1=∠2∠∠CDA=∠BAD，∠1=∠2∠∠CDA-∠1=∠BAD-∠2即即∠FDO=∠EAO可以找到缺少的条件，问题可以解决.最后我们看本题的具体推理过程.证明：∵AB∥CD,∴∠CDA=∠BAD.又∵∠1=∠2,∴∠CDA-∠1=∠BAD-∠2.即∠FDO=∠EAO.∵O为AD的中点,∴OA=OD.在△OFD和△OEA中,∴△OFD≌△OEA（ASA）.∴OF=OE.∴O是EF的中点.例2.如图2，在△ABC和△DBC中，∠1=∠2，∠3=∠4，P是BC上任一点.求证：PA=PD.图2图2分析：根据题干标图要证PA=PD，可证△ABP≌△DBP或者△ACP≌△DCP，不妨先试证△ABP≌△DBP，题目中已知∠1=∠2且有隐含条件BP=BP，还缺边AB=DB即可证明，如何得到AB=DB呢？如果不能直接看出来，现在可以结合已知条件∠1=∠2，∠3=∠4且有隐含条件BC=BC，ASA易得△ABC≌△DBC，进而可得AB=DB，问题迎刃而解.我们一起整理本题的推理过程.证明：在△ABC和△DBC中,∴△ABC≌△DBC.∴AB=DB.在△ABP和△DBP中,∴△ABP≌△DBP（SAS）.∴PA=PD.例3.如图3，AB=AE,∠B=∠E，BC=ED，AF⊥CD，求证：点F是CD的中点.图3图3分析：请同学们根据题干标图，要证点F是CD的中点，需证CF=DF,同学们知道三角形全等是证明两线段相等的重要方法，本题中并没有三角形，我们该怎么办？连接AC、AD可以构造三角形.现在请同学们尝试分析本题，我们一起写推理过程.证明：连接AC、AD.在△ABC和△AED中,∴△ABC≌△AED（SAS）.∴AC=AD.∵AF⊥CD.∴∠AFC=∠AFC=90°.在Rt△AFC和Rt△AFD中,∴Rt△AFC≌Rt△AFD（HL）.∴CF=DF.∴点F是CD的中点.例4.如图4，点A,B,C,D在一条直线上，且AB=CD，若∠1=∠2，EC=FB．求证：∠E=∠F.图4图4分析：依据题干标图：要证∠E=∠F，需证△AEC≌△DFB，已知AB=CD则AB+BC=CD+BC,即AC=BD；已知∠1=∠2，∠ABC=∠BCD=180°则∠ABC-∠1=∠BCD-∠2，即∠DBF=∠ACE；又知EC=FB，SAS可证明△AEC≌△DFB，问题得以解决.证明：∵AB=CD,∴AB+BC=CD+BC.即AC=BD.∵∠ABC=∠BCD=180°，∠1=∠2,∴∠ABC-∠1=∠BCD-∠2.即∠DBF=∠ACE.在△AEC和△DFB中,∴△AEC≌△DFB.∴∠E=∠F.练习1.如图5，点B,F,C,E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD.求证：AB=DE,AC=DF.图5图5请同学们先读题并进行标图:请同学们核对，你标的和老师一样吗？我们要证明AB=DE,AC=DF只需证明△ABC≌△DEF，题目中有能直接证明两个三角形全等的条件吗？仔细寻找并没有，现在该怎么办呢？可以从条件入手，看是否可以等到三角形全等的条件.由FB=CE，可得FB+FC=CE+FC;由AB∥ED，得∠B=∠E，由AC∥FD，得∠ACB=∠DFE，ASA可以得到∴△ABC≌△DEF，问题得以解决.证明：∵FB=CE,∴FB+FC=CE+FC.即BC=EF.∵AB∥ED,∴∠B=∠E.∵AC∥FD,∴∠ACB=∠DFE.在△ABC和△DEF中,∴△ABC≌△DEF（ASA）.∴AB=DE,AC=DF.解决此类问题时，可以先从问题入手，再结合已知条件寻找解决问题得突破口.2min课堂小结证明题的分析思路：①要证什么②已有什么③还缺什么④推导条件注意：全等三角形，是证明两条线段或两个角相等的重要方法之一，证明时：①要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中；②有公共边的，公共边一定是对应边，有公共角的，公共角一定是对应角，有对顶角，对顶角也是对应角；总之，证明过程中能用简单方法的就不要绕弯路。证明的书写步骤：①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；②三角形全等书写三步骤：写出在哪两个三角形中摆出三个条件用大括号括起来写出全等结论作业如图，AC、BD交与点O,AC=BD,AB=CD.求证：（1）∠C=∠B（2）OA=OD.2.如图,AB=AC,AE=AD,∠1=∠2,求证:BD=CE.综合训练一、选择题1.下列说法正确的是()A.有三个角对应相等的两个三角形全等B.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等C.有两个角与其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等D.有两个角对应相等,还有一条边也相等的两个三角形全等2.如图,△ABC≌△AEF,AC与AF是对应边,则∠EAC等于()A.∠ACBB.∠CAFC.∠BAFD.∠BAC3.如图,给出下列四组条件:①AB=DE,BC=EF,AC=DF;②AB=DE,∠B=∠E,BC=EF;③∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F;④AB=DE,AC=DF,∠B=∠E.其中,能使△ABC≌△DEF的条件共有()A.1组 B.2组 C.3组 D.4组4.如图,将两根钢条AA',BB'的中点O连在一起,使AA',BB'能绕着点O自由转动,就做成了一个测量工具,则A'B'的长等于内槽宽AB,其中判定△OAB≌△OA'B'的理由是()A.SAS B.ASA C.SSS D.HL5.如图,AC=BD,AB=CD,图中全等的三角形共有()A.2对 B.3对 C.4对 D.5对6.如图,AB∥CF,DE=EF,AB=10,CF=6,则DB等于()A.3 B.4 C.5 D.67.要测量河两岸相对的两点A,B间的距离,先在AB的垂线BF上取两点C,D,使CD=BC,再定出BF的垂线DE,使A,C,E在一条直线上,如图,可以证明△EDC≌△ABC,得到DE=AB,因此测得ED的长就是AB的长.判定△EDC≌△ABC的理由是()A.SAS B.ASA C.SSS D.HL8.如图,在△ABC中,已知AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为点D,E,AD,CE交于点H.若EH=EB=3,AE=4,则CH的长是()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题9.如图,已知△ABC≌△A'B'C,点B'在边AB上,若∠A=40°,∠B=60°,则∠A'CB的度数为.

10.如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD,CE交于点H,请你添加一个适当的条件:,使△AEH≌△CEB.

11.雨伞开闭过程中某时刻的截面图如图所示,伞骨AB=AC,支撑杆OE=OF,AE=13AB,AF=13AC.当O沿AD滑动时,雨伞开闭.雨伞开闭过程中,∠BAD与∠CAD12.如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=10cm,BC=5cm,一条线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC和AC的垂线AX上移动,则当AP=cm时,才能使△ABC和△QPA全等.

三、解答题13.如图,C为线段AB上一点,AD∥EB,AC=BE,AD=BC.求证:△ACD≌△BEC.14.如图,BD平分∠ABC交AC于点D,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,AB=6,BC=8,若S△ABC=28,求DE的长.15.已知△ABN和△ACM位置如图所示,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2.求证:(1)BD=CE;(2)∠M=∠N.16.如图,已知Rt△ABC≌Rt△ADE,∠ABC=∠ADE=90°,BC与DE相交于点F,连接CD,EB.(1)图中还有几对全等三角形,请你一一列举;(2)求证:CF=EF.综合训练一、选择题1.C2.C3.C4.A5.B根据全等三角形的判定可得图中全等的三角形有:△ADB和△DAC;△ABC和△DCB;△ABO和△DCO.6.B7.B8.A二、填空题9.140°∵△ABC≌△A'B'C,∴∠A'=∠A=40°,∠A'B'C=∠B=60°,CB=CB',∠A'CB'=80°,∴∠BB'C=∠B=60°,∴∠BCB'=180°-60°-60°=60°,∴∠A'CB=∠A'CB'+∠BCB'=140°.10.AH=CB(或EH=EB或AE=CE)根据“AAS”需要添加AH=CB或EH=EB;根据“ASA”需要添加AE=CE.11.相等∵AE=13AB,AF=13AC,∴AE=AF.又OE=OF,OA=OA,∴△AOE≌△AOF(SSS).∴∠BAD=∠CAD.12.5或10三、解答题13.证明∵AD∥BE,∴∠A=∠B.在△ACD和△BEC中,∵AC∴△ACD≌△BEC.14.解∵BD平分∠ABC交AC于点D,DE⊥AB,DF⊥BC,∴DE=DF.∵S△ABC=28,AB=6,BC=8,∴12×6×DE+12×8×∴DE=DF=4.15.证明(1)在△ABD和△ACE中,AB∴△ABD≌△ACE(SAS).∴BD=CE.(2)∵∠1=∠2,∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE,即∠BAN=∠CAM.由(1),得△ABD≌△ACE,∴∠B=∠C.在△ACM和△ABN中,∠∴△ACM≌△ABN(ASA),∴∠M=∠N.16.(1)解2对,分别为△ADC≌△ABE,△CDF≌△EBF.(2)证法一∵Rt△ABC≌Rt△ADE,∴AC=A