《三角形的外角》教案

《三角形的外角》教案教学目标教学目标：理解三角形的外角的概念．掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．探索并证明三角形的外角定理.经历应用三角形内角和定理得到外角结论的过程，提高发现问题和解决问题的能力.在解决问题的过程中，发展运算能力、几何直观和逻辑推理.教学重点：探索并证明三角形的外角定理.教学难点：外角定理的应用.教学过程时间教学环节主要师生活动2分钟复习引入指出△ABC各角的度数，并说明理论依据:9分钟探究新知图（1）中，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.显然，∠ACD是∠ACB的邻补角，那么能画出∠ACB的几个邻补角呢？两个.∠1、∠2都是∠ACB的邻补角，∠1、∠2互为对顶角，是相等的，它们也都是△ABC的外角.由此，我们知道，一个三角形共有6个外角，每一个顶点处有一对相等的外角.每个外角与它相邻的内角是邻补角.你能求出∠ACD的度数吗？显然，∠ACD是∠ACB的邻补角，所以∠ACD=180°-∠ACB=180°-50°=130°.那么，∠ACD与∠A，∠B又有什么关系呢？∵∠ACD=180°-∠ACB=130°，∠A+∠B=70°+60°=130°，∴∠ACD=∠A+∠B任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角是否都有这种关系？已知：∠ACD是△ABC的一个外角，求证：∠ACD=∠A+∠B.证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°,∴∠ACB=180°-∠A-∠B.∵∠ACB+∠ACD=180°,∴∠ACD=180°-∠ACB.∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-(180°-∠A-∠B)=∠A+∠B.一般地，由三角形内角和定理可以推出下面的推论:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.推论是由定理直接推出的结论.和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据.∵∠ACD是△ABC的外角∴∠ACD=∠A+∠B.10分钟应用新知练习1如图，口答：（1）∠1=+；（2）∠2=+．练习2说出图形中∠1的度数．例1如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？解法一：∵∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=（∠2+∠3）+（∠1+∠3）+（∠1+∠2）=2（∠1+∠2+∠3）．∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2×180°=360°.解法二：由∠1+∠BAE=180°，∠2+∠CBF=180°，∠3+∠ACD=180°，得∠1+∠2+∠3+∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°．由∠1+∠2+∠3=180°，得∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°.三角形的每个顶点处有两个外角，它们相等，所以每个顶点处只取一个外角，把它们的和叫做三角形的外角和.结论：三角形的外角和等于360°.例2如图B,C,D，E是同一条直线上的四个点，∠B=∠BAC=30°，∠CAD=60°，你能求出∠ADE的度数吗？分析：∠ADE是△ABD的一个外角，所以∠ADE=∠B+∠BAD，而∠BAD=∠BAC+∠CAD，由此可求；另外，∠ADE也是△ACD的一个外角，所以∠ADE=∠ACD+∠CAD，而∠ACD也是△ABC的一个外角，∠ACD=∠B+∠BAC，由此可求．练习3如图，D是△ABC的BC边上一点，∠B=∠BAD，∠ADC=80°,∠BAC=70°.求：（1）∠B的度数；（2）∠C的度数．分析：∠B是△ABC的一个内角，已知∠BAC=70°，但不知道∠C的度数，所以在△ABC中不能解决问题；同时，∠B也是△ABD的一个内角，∠ADC=80°是△ABD的一个外角，即∠ADC=∠B+∠BAD，而∠B=∠BAD，由此可以求出∠B的度数，由∠B的度数就能利用三角形内角和，求出∠C的度数．2分钟课堂小结课堂小结：三角形的外角的定义三角形外角定理的内容是：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和三角形的外角和等于360°.怎样探索并证明“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”?布置作业教科书：P16-175、6知能演练提升一、能力提升1.将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起,则∠α的度数是()A.165° B.120° C.150° D.135°2.如图,在△ABC中,AD为边BC上的中线,在△ABD中,AE为边BD上的中线,在△ACD中,AF为边DC上的中线,则下列结论错误的是()A.∠1>∠2>∠3>∠C B.BE=ED=DF=FCC.∠1>∠4>∠5>∠C D.∠1=∠3+∠4+∠53.如图,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于()A.120° B.115°C.110° D.105°4.将一副三角尺按如图摆放,点E在AC上,点D在BC的延长线上,EF∥BC,∠B=∠EDF=90°,∠A=45°,∠F=60°,则∠CED的度数是()A.15° B.20° C.25° D.30°5.如图,∠ABC的平分线与∠ACD的平分线相交于点P.若∠A=60°,则∠P等于()A.30° B.40° C.50° D.60°6.如图,AB∥EF,∠ABC=75°,∠CDF=135°,则∠BCD=.7.如图,已知在△ABC中,D是AB上一点,E是AC上一点,BE与CD相交于点F,∠A=62°,∠ACD=35°,∠ABE=20°,则∠BDC=,∠BFC=.

8.如图,D,E,F分别是△ABC三边延长线上的点,求∠D+∠E+∠F+∠1+∠2+∠3的度数.9.如图,在△ABC中,D是边BC上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°,求∠DAC的度数.10.如图,在△ABC中,∠ACB>∠B,AD平分∠BAC,P为线段AD上的任意一点,EP⊥AD交直线BC于点E.(1)若∠B=35°,∠ACB=75°,求∠E的度数;(2)求证:∠E=12(∠ACB-∠B)二、创新应用★11.如图①,有一个五角形图案ABCDE,你能说明∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E=180°吗?如果点B向下移动到AC上(如图②)或AC的另一侧(如图③),上述结论是否依然成立?请说明理由.

知能演练·提升一、能力提升1.A如图,∵∠2=90°-45°=45°,∴∠1=∠2-30°=15°.∴∠α=180°-∠1=165°.2.C由三角形的一个外角大于与它不相邻的内角,知∠1>∠2>∠3>∠C,故选项A正确;根据三角形中线的定义,知BE=ED=DF=FC,故选项B正确;∠4与∠5的大小不能判定,故选项C错误;根据三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和,知∠1=∠2+∠4,∠2=∠3+∠5,所以∠1=∠3+∠4+∠5,故选项D正确.3.B4.A5.A利用三角形的外角性质,得∠P=∠PCD-∠PBD=12(∠ACD-∠ABC)=12∠A=6.30°7.97°117°8.解∵∠D+∠3=∠CAB,∠E+∠1=∠ABC,∠F+∠2=∠ACB,∴∠D+∠E+∠F+∠1+∠2+∠3=∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°.9.解∵∠3是△ABD的外角,∴∠3=∠1+∠2.∵∠1=∠2,∠3=∠4,∴∠4=2∠2.在△ABC中,∵∠2+∠4=180°-∠BAC=180°-63°=117°,∴∠1=∠2=39°.∴∠DAC=∠BAC-∠1=63°-39°=24°.10.(1)解∵∠B=35°,∠ACB=75°,∴∠BAC=70°.∵AD平分∠BAC,∴∠DAC=35°,∴∠ADC=70°.又∠DPE=90°,∴∠E=20°.(2)证明∵∠B+∠BAC+∠ACB=180°,∴∠BAC=180°-(∠B+∠ACB).∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=12∠BAC=90°-12(∠B+∠ACB∴∠ADC=∠B+∠BAD=90°-12(∠ACB-∠B)∵PE⊥AD,∴∠DPE=90°,∴∠