《三角形全等的判定-ASA、AAS》教案

《三角形全等的判定——ASA、AAS》教案教学目标教学目标：1.探索并掌握“ASA”和“AAS”判定方法;2．会用“ASA”和“AAS”判定方法证明两个三角形全等;3.经历猜想，作图验证，逻辑推理的几何探究过程，发展问题分析能力和几何表述能力.教学重点：用“ASA”和“AAS”判定方法证明两个三角形全等，并能进行简单的应用．教学难点：1.“AAS”判定方法的证明.2.用“ASA”和“AAS”判定方法证明两个三角形全等.教学过程时间教学环节主要师生活动2分钟复习巩固，引发思考复习：我们已经学习了哪些判定两个三角形全等的方法，它们分别需要哪些条件呢？思考：将条件替换为两组对应角相等，一组对应边相等后，是否能判定两个三角形全等呢？注：相等的边可能为两角的夹边，也可能为其中一角所对的边，应进行分类讨论.8分钟条件探索，作图归纳探究1：先在一张纸上画一个△ABC，然后在另一张纸上画△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B．△A′B′C′和△ABC能重合吗？根据你画的两个三角形及结果，你能得到又一个判定两个三角形全等的方法吗？作法：（1）画A′B′=AB；（2）在A′B′的同旁画∠DA′B=∠A，∠EB′A=∠B，A′D、B′E相交于点C′．现象：两个三角形放在一起能完全重合．说明：这两个三角形全等．归纳概括“ASA”判定方法:两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（简称为“角边角”或“ASA”）．几何语言：在△ABC与△A′B′C′中，∵∠A=∠A'AB=A'B'∠B=∠B探究2：如果△ABC和△A′B′C′满足，使B′C′=BC，∠A′=∠A，∠B′=∠B．△A′B′C′和△ABC是全等的吗？【思路】利用三角形的内角和，转化为“ASA”进行证明.【结论】两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等（简称为“角角边”或“AAS”）．几何语言：在△ABC与△A′B′C′中，∵∠∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）13分钟知识应用例1.如图，点D在AB上，点E在AC上，BA=AC，∠B=∠C．求证：AE=AD．证明：在△ABE与△ACD中，∵∠B=∠C∴△ABE≌△ACD（ASA）∴AE=AD注意：找到图形中隐含的等量【练习】如图,AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B，D，∠1=∠2，求证：AB=AD.证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，

∴∠B=∠D=90°，

在△ABC和△ADC中∵∴△ABC≌△ADC（AAS），

∴AB=AD．例2.如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC=CD，再画出BF的垂线DE,使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长度就是AB的长，为什么？解：∵AB⊥BF，DE⊥BF∴∠B=∠CDE=90°在△ABC和△EDC中∵∴△ABC≌△EDC（ASA），

∴AB=DE．例3.如图，AE⊥BE，AD⊥DC，CD=BE，∠DAB=∠EAC．求证：AB=AC．证明：∵∠DAB=∠EAC，

∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠EAB∵AE⊥BE，AD⊥DC

∴∠D=∠E=90°

在△ACD和△ABE中，∵∴△ACD≌△EAB（AAS），

∴AB=AC．注意：利用等式的性质，构造全等所需的等量.【练习】如图，已知∠1=∠2，∠B=∠D，求证：△ABC≌△ADC.证：∵∠ACB+∠1=180°，∠ACD+∠2=180°，∠1=∠2∴∠ACB=∠ACD在△ABC与△ADC中，∵∴△ABC≌△ADC（AAS）思考：本题还有其他方法吗？另证：∵∠1是△ABC的外角，∠2是△ADC的外角∴∠BAC+∠B=∠1，∠DAC+∠D=∠2∵∠B=∠D，∠1=∠2∴∠BAC=∠DAC在△ABC与△ADC中，∵∴△ABC≌△ADC（AAS）2分钟课堂小结本节课学习了几种判断两个三角形全等的方法？分别是什么？它们之间有什么共同点和区别？ASA——两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等.AAS——两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等.共同点：都要求两角和一边相等.区别：ASA——夹边AAS——对边.由上述两个判定我们发现，当两个三角形有两个角对应相等后，相等的那条边可以为三边中的任意边。因此，我们可以归纳为“若两角一边相等，则三角形全等”来代替？在证明三角形全等的过程中，往往需要我们构造所需条件，此时需注意：①挖掘图形中的隐含条件：公共角、公共边、对顶角；②利用等式性质或几何知识转化条件.课后作业1.如图，∠1=∠2，∠B=∠D，求证：AB=CD.2.如图，∠ACB=90°，AC=CB，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E.求证：△ACD≌△CBE.3.如图，A，B两点被池塘隔开，某同学用以下方法测得池塘的宽度AB：过点B作BC⊥AB，作∠BCD=∠BCA，使A，B，D三点在一条直线上，则测量出BD的长即为AB的长，这是为什么呢？教学目标教学目标：1.探索并掌握“ASA”和“AAS”判定方法;2．会用“ASA”和“AAS”判定方法证明两个三角形全等;3.经历猜想，作图验证，逻辑推理的几何探究过程，发展问题分析能力和几何表述能力.教学重点：用“ASA”和“AAS”判定方法证明两个三角形全等，并能进行简单的应用．教学难点：1.“AAS”判定方法的证明.2.用“ASA”和“AAS”判定方法证明两个三角形全等.教学过程时间教学环节主要师生活动2分钟复习巩固，引发思考复习：我们已经学习了哪些判定两个三角形全等的方法，它们分别需要哪些条件呢？思考：将条件替换为两组对应角相等，一组对应边相等后，是否能判定两个三角形全等呢？注：相等的边可能为两角的夹边，也可能为其中一角所对的边，应进行分类讨论.8分钟条件探索，作图归纳探究1：先在一张纸上画一个△ABC，然后在另一张纸上画△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B．△A′B′C′和△ABC能重合吗？根据你画的两个三角形及结果，你能得到又一个判定两个三角形全等的方法吗？作法：（1）画A′B′=AB；（2）在A′B′的同旁画∠DA′B=∠A，∠EB′A=∠B，A′D、B′E相交于点C′．现象：两个三角形放在一起能完全重合．说明：这两个三角形全等．归纳概括“ASA”判定方法:两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（简称为“角边角”或“ASA”）．几何语言：在△ABC与△A′B′C′中，∵∠A=∠A'AB=A'B'∠B=∠B探究2：如果△ABC和△A′B′C′满足，使B′C′=BC，∠A′=∠A，∠B′=∠B．△A′B′C′和△ABC是全等的吗？【思路】利用三角形的内角和，转化为“ASA”进行证明.【结论】两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等（简称为“角角边”或“AAS”）．几何语言：在△ABC与△A′B′C′中，∵∠∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）13分钟知识应用例1.如图，点D在AB上，点E在AC上，BA=AC，∠B=∠C．求证：AE=AD．证明：在△ABE与△ACD中，∵∠B=∠C∴△ABE≌△ACD（ASA）∴AE=AD注意：找到图形中隐含的等量【练习】如图,AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B，D，∠1=∠2，求证：AB=AD.证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，

∴∠B=∠D=90°，

在△ABC和△ADC中∵∴△ABC≌△ADC（AAS），

∴AB=AD．例2.如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC=CD，再画出BF的垂线DE,使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长度就是AB的长，为什么？解：∵AB⊥BF，DE⊥BF∴∠B=∠CDE=90°在△ABC和△EDC中∵∴△ABC≌△EDC（ASA），

∴AB=DE．例3.如图，AE⊥BE，AD⊥DC，CD=BE，∠DAB=∠EAC．求证：AB=AC．证明：∵∠DAB=∠EAC，

∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠EAB∵AE⊥BE，AD⊥DC

∴∠D=∠E=90°

在△ACD和△ABE中，∵∴△ACD≌△EAB（AAS），

∴AB=AC．注意：利用等式的性质，构造全等所需的等量.【练习】如图，已知∠1=∠2，∠B=∠D，求证：△ABC≌△ADC.证：∵∠ACB+∠1=180°，∠ACD+∠2=180°，∠1=∠2∴∠ACB=∠ACD在△ABC与△ADC中，∵∴△ABC≌△ADC（AAS）思考：本题还有其他方法吗？另证：∵∠1是△ABC的外角，∠2是△ADC的外角∴∠BAC+∠B=∠1，∠DAC+∠D=∠2∵∠B=∠D，∠1=∠2∴∠BAC=∠DAC在△ABC与△ADC中，∵∴△ABC≌△ADC（AAS）2分钟课堂小结本节课学习了几种判断两个三角形全等的方法？分别是什么？它们之间有什么共同点和区别？ASA——两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等.AAS——两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等.共同点：都要求两角和一边相等.区别：ASA——夹边AAS——对边.由上述两个判定我们发现，当两个三角形有两个角对应相等后，相等的那条边可以为三边中的任意边。因此，我们可以归纳为“若两角一边相等，则三角形全等”来代替？在证明三角形全等的过程中，往往需要我们构造所需条件，此时需注意：①挖掘图形中的隐含条件：公共角、公共边、对顶角；②利用等式性质或几何知识转化条件.课后作业1.如图，∠1=∠2，∠B=∠D，求证：AB=CD.2.如图，∠ACB=90°，AC=CB，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E.求证：△ACD≌△CBE.3.如图，A，B两点被池塘隔开，某同学用以下方法测得池塘的宽度AB：过点B作BC⊥AB，作∠BCD=∠BCA，使A，B，D三点在一条直线上，则测量出BD的长即为AB的长，这是为什么呢？知能演练提升一、能力提升1.如图,在△ABC和△DEF中,已知AB=DE,BC=EF,根据“SAS”判定△ABC≌△DEF,还需的条件是()A.∠A=∠D B.∠B=∠EC.∠C=∠F D.以上三个均可以2.已知A,B,C顺次在一条直线上,分别以AB,BC为边在直线的同侧作正三角形ABE和正三角形BCD,下列结论错误的是()A.△ABD≌△EBC B.∠DAB=∠CEBC.∠ABD=∠EBC D.△ABE≌△BCD3.如图,已知AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.下列结论不正确的是()A.∠BAD=∠CAEB.△ABD≌△ACEC.AB=BCD.BD=CE4.如图,有一面三角形镜子,小明不小心将它打破成1,2两块,现需配成同样大小的一面镜子.为了方便起见,需带上,其理由是.

5.如图,已知AC=FE,BC=DE,点A,D,B,F在一条直线上,根据“SAS”判定△ABC≌△FDE,还需添一个条件,这个条件是.

6.如图,已知AB∥CD,AB=CD,BE=CF.求证:(1)△ABF≌△DCE;(2)AF∥DE.7.如图,在△ABC中,BE,CF分别是AC,AB两条边上的高,在BE上截取BD=AC,在CF的延长线上截取CG=AB,连接AD,AG.求证:AG⊥AD.8.如图,AD=AE,BD=CE,AF⊥BC于点F,且F是BC的中点,求证:∠D=∠E.二、创新应用★9.已知△ABC和△ADE均为等腰三角形,且∠BAC=∠DAE,AB=AC,AD=AE.(1)如图①,点E在BC上,求证:BC=BD+BE;(2)如图②,点E在CB的延长线上,(1)的结论是否成立?若成立,给出证明;若不成立,写出成立的式子并证明.①②

知能演练·提升一、能力提升1.B2.D3.C因为∠BAC=∠DAE,所以∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE,选项A正确.因为AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,所以根据“SAS”可知△ABD≌△ACE,所以选项B正确.由全等三角形的对应边相等,得出BD=CE,所以选项D正确.只有选项C没有充分的条件可以证明,故选C.4.1两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(或SAS)5.∠C=∠E6.证明(1)∵AB∥CD,∴∠B=∠C.∵BE=CF,∴BE-EF=CF-EF,即BF=CE.在△ABF和△DCE中,AB=CD,∠B=∠C,(2)由(1)知△ABF≌△DCE,∴∠AFB=∠DEC,∴180°-∠AFB=180°-∠DEC,即∠AFC=∠DEB,∴AF∥DE.7.证明∵BE,CF分别是AC,AB两条边上的高,∴∠ACG+∠CAB=90°,∠DBA+∠CAB=90°,∴∠ACG=∠DBA.在△AGC和△DAB中,AC∴△AGC≌△DAB(SAS).∴∠G=∠BAD.又∠G+∠GAB=90°,∴∠BAD+∠GAB=90°,即∠GAD=90°,∴AG⊥AD.8.证明如图,连接AB,AC.∵F是BC的中点,∴BF=CF.∵AF⊥BC,∴∠AFB=∠AFC=90°.在△ABF和△ACF中,BF∴△ABF≌△ACF(SAS),∴