《最短路径问题(第一课时)》教案

《最短路径问题（第一课时）》教案教学目标教学目标：（1）利用轴对称解决最短路径的问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟化归思想。（2）在将实际问题抽象成几何图形的过程中，提高分析问题、解决问题的能力，渗透数学建模的思想。教学重点：利用轴对称解决最短路径的问题教学难点：如何利用轴对称将问题转化为“两点之间，线段最短”的问题。教学过程时间教学环节主要师生活动复习引入在我们的学习生活中，接触过很多“最值问题”：最多最少，最长最短。思考以下两个问题：复习1：如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？答：路线2最短，因为两点的所有连线中，线段最短，简称：两点之间，线段最短复习2：点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？答：PC最短，因为连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。设计意图：复习“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”，为最短路径问题做好铺垫。通过识别，也让学生有动态的思想，在比较中，找到最短路径。探索新知教师：刚刚的两个问题都是识别最短路径，接下来，我们尝试通过画图，找到最短路径。引例1：如图，在直线l上求作一点C，使得CA+CB最短。教师：（1）点C是直线l上的一个动点。我们不妨先画一个一般的点C，连接CA，CB，我们的目标：找到一个点C，使得CA+CB最小。（2）观察几何画板的演示：当C在运动的过程中，线段CA，CB也在移动，观察：什么时候线段和最短？（3）同学们可以观察到：当C是线段AB和l的交点，即ACB共线时，CA+CB最短。依据是：两点之间，线段最短。作图方法：连接AB，交直线l于点C，点C即为所求。总结：从一般的点C出发，从运动变化的角度观察图形，并用到“两点之间，线段最短”解决问题。教师：接下来，我们用这样的方法，研究数学史上经典的“牧马人饮马问题”。例1：如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ABlABl教师：（1）实际问题，首先做什么？将实际问题抽象为数学问题，用文、图、示的语言表达。图形语言：把AB两地看成两个点，把河近似看成一条直线，C为直线l上的一个动点。文字/符号语言：在直线l上求作一点C，使CA+CB最短（2）观察几何画板：从一般的点C出发，连结CA，CB，观察：什么时候线段和最短？遇到了问题：无法通过观察，找到满足条件的点C的位置。（3）继续思考：若AB在l异侧，只需连接AB即可。能否通过图形的变化（轴对称、平移等），将问题转化为我们研究过的问题呢？问题的关键：如何把同侧的点B移到另一侧B’，同时CB=CB’呢？解决的方案：利用轴对称的知识。做法如下：（2）连接AB′交直线l于点C；（3）则点C即为所求的点.教师：如何证明这条路径最短？为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，只需证明AC+CB<AC′+C′B即可。证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线.因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.根据两点之间，线段最短：AB′<AC′+B′C′，（△AB′C′中，两边之和大于第三边）所以AC+B′C<AC′+B′C′，所以AC+BC<AC′+C′B.总结：（1）实际问题可以抽象成数学问题，用数学语言（文、图、示）表达。需要注意，C是l上的动点，A，B为定点。（2）轴对称的目的是转移线段，即：将点B转移到直线的异侧，同时CB=CB′，从而转化为研究过的引例：即两点之间，线段最短的问题。练习：有两棵树位置如图，树的底部分别为A，B，地上有一只昆虫沿着A—B的路径在地面上爬行。小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处。问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置。教师：类比例1分析方法。（1）先把实际问题抽象成数学问题。小虫在A——B路径爬行，即小虫P是线段AB上一个动点，小鸟的路线为：DP，PC。那么D，C是两个定点。（2）将文字转化成文/图/示的语言，在AB上求作一点P，使得PC+PD最短。（3）回顾刚刚例1的做法即可。转化成数学问题，迎刃而解啦。能力提升例2：如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为_________.思考：（1）图形中，B，E，F三个点，哪些是定点，哪些是动点？B，E是定点，F是线段AD上的动点（2）剥离出基本图形，求作一点F，使得BF+FE最小。考虑：AD是河，牧马人在点B，去河边饮马，再去点E。方法：作对称点（3）B和E，作哪个点的对称点更方便？△ABC为等边三角形（轴对称图形），点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值。总结：（1）此类求线段和的最小值问题，分析题目中的定点和动点，转化为我们熟悉的最短路径问题。（2）找准对称点是关键（利用等边三角形的轴对称性）。而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解.小结课堂小结（1）解决最短路径问题的基本方法利用轴对称实现线段的转移，从而转化为“两点之间，线段最短”的问题。（2）进行轴对称变换需要注意的事情可以从一般点入手，既要弄清楚选哪条直线为对称轴，也要区分哪些点是动点，哪些点是定点。作业如图,P、Q为边上的两个定点.在BC边上求作一点M,使PM+MQ最短知能演练提升一、能力提升1.如图,OA,OB分别是线段MC,MD的垂直平分线,MD=5cm,MC=7cm,CD=10cm,一只小蚂蚁从点M出发爬到OA边上任意一点E,再爬到OB边上任意一点F,然后爬回点M处,则小蚂蚁爬行的路径最短可为()A.12cm B.10cm C.7cm D.5cm2.如图,在四边形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC,CD上分别找一点M,N,使△AMN的周长最小,则∠AMN+∠ANM的度数为()A.60° B.120° C.90° D.45°3.如图,牧童在A处放牛,其家在B处,A,B到河岸的距离分别为AC和BD,且AC=BD.若点A到河岸CD的中点的距离为500m,则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家,所走的最短路程是m.

4.如图,某公路(视为x轴)的同一侧有A,B,C三个村庄,要在公路边建一货栈(即在x轴上找一点)D,向A,B,C三个村庄运送农用物资,路线是:D→A→B→C→D(或D→C→B→A→D).试问在公路上是否存在点D使送货路程之和最短?若存在,请在图中画出点D所在的位置;若不存在,请说明理由.5.如图,单位A与B分别位于一条封闭式街道的两旁,现在准备合作修建一条过街天桥(桥必须与街道垂直).在图中画出桥,使由A到B的路程最短.二、创新应用★6.某中学八(2)班举行文艺晚会,桌子摆成如图所示的两直排(图中的AO,BO),AO桌面上摆满了橘子,BO桌面上摆满了糖果,站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果,然后到D处座位上,请你帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短.

知能演练·提升一、能力提升1.B设CD与OA的交点为E,与OB的交点为F.因为OA,OB分别是线段MC,MD的垂直平分线,所以ME=CE,MF=DF,所以小蚂蚁爬行的路径最短为CD=10cm,故选B.2.B如图,作点A关于BC和CD的对称点A',A″,连接A'A″,交BC于点M,交CD于点N,则A'A″即为△AMN的周长的最小值.∵∠DAB=120°,∴∠A'+∠A″=180°-120°=60°.∵∠A'=∠MAA',∠NAD=∠A″,且∠A'+∠MAA'=∠AMN,∠NAD+∠A″=∠ANM,∴∠AMN+∠ANM=∠A'+∠MAA'+∠NAD+∠A″=2(∠A'+∠A″)=2×60°=120°,故选B.3.10004.解存在点D使所走路线D→A→B→C→D的路程之和最短.作法:(1)作点A关于x轴的对称点A';(2)连接A'C,交x轴于点D.如图.则点D(3,0)就是要建货栈的位置.5.解设桥为CD,则这个问题中的路程为AD,CD,CB三条线段之和,