《弧长和扇形面积(第一课时)》教案

《弧长和扇形面积（第一课时）》教案教学目标教学目标：（1）经历探索弧长和扇形面积公式的过程，培养学生的探索能力，并会利用弧长公式、扇形面积公式解决问题.（2）在弧长和扇形面积计算公式的探究过程中，理解局部与整体之间的关系，感受转化、类比的数学思想.教学重点：弧长公式及扇形面积公式的推导和应用教学难点：利用扇形面积公式解决与弧有关的不规则图形的面积问题教学过程时间教学环节主要师生活动1分钟30秒提出问题教师通过复习与弧和弧长有关的概念，提出问题：弧长的大小由那些量来决定？如何求弧长呢？学生通过观察和思考发现弧长与圆心角和半径有关，并思考弧长的求法2分钟问题探究一师生循序渐进共同解决以下三个问题：（1）半径为R的圆,周长是多少？（2）在半径为R的圆中，90°的圆心所对的弧长是多少？（3）若设⊙O的半径为R，n°的圆心角所对的弧长为l，则从特殊到一般，教师引导学生抓住弧长和圆周长的比例关系来推导公式；教师对弧长公式进行解析，使学生更加清楚公式中涉及到的量。1分钟30秒公式的直接应用：练习学生独立解决以下问题：1.半径为R的圆中，120°圆心角所对的弧长是多少？2.半径为2的圆中，一段弧长为2π的弧，求它所对的圆心角的度数？2分钟公式在生活中的应用例1.制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度L.(结果取整数)教师引导同学们先观察思考一下：要这个弯形管道的展直长度包括哪些部分？进而求弧AB的长，学生分析题目给出的圆心角和半径的信息，运用弧长公式求解。2分钟公式在几何图形圆中的应用例2.如图,在△AOC中，∠AOC=90°，∠C=20°，以O为圆心，OA为半径的圆交AC于点B，若OA=6，求弧AB的长。2分钟明确扇形的几何定义及表示方法教师引导学生观察共同总结出扇形的几何定义；1分钟提出问题教师提出问题：（1）扇形的面积由哪些量决定？（2）如何求扇形的面积呢？学生通过前面弧长公式的学习，类比思考扇形面积的求法.2分钟问题探究二学生尝试独立解决以下问题：（1）半径为R的圆,面积是多少？（2）若设⊙O的半径为R，圆心角为n°的扇形面积为类比弧长公式的推导过程，得到扇形面积公式；教师对扇形面积公式进行解析，使学生更加清楚公式中涉及到的量。2分钟公式的直接应用：练习学生独立解决以下问题：1.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积等于多少？2.已知扇形面积为1/3π，圆心角为60°，则这个扇形的半径R等于多少？3.已知半径为2的扇形，其弧长为4/3π，则这个扇形的圆心角为多少度？教师加以指导6分钟公式在生活中的应用例3.如图,水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积。（精确到0.01m2）。教师引导学生通过读题和识图，需要把文字语言和图形语言对应起来，排水管道的截面就是图中的圆.把已知条件转化成几何元素标在图上，进而分析出所求面积=S扇形OAB－S△OAB进而分别去求扇形和三角形的面积.教师引导学生求扇形和三角形时需要的量，如何得到？最终解决问题。1分钟30秒课堂小结总结本节课所学的内容和方法，提升数学感悟能力。（1）弧长公式和扇形面积公式分别是什么呢？（2）你还记得我们是如何得到这两个公式的吗？如何运用呢？10秒布置作业课后练习1.已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（）．A．3B．4C．5D．62．如图所示，把边长为2的正方形ABCD的一边放在定直线L上，按顺时针方向绕点D旋转到如图的位置，则点B运动到点B′所经过的路线长度为_____.3.如图，在正方形ABCD中，分别以B，D为圆心，以正方形的边长a为画弧，形成树叶形(阴影部分)图案，则树叶形图案的面积为_________.知能演练提升一、能力提升1.如果一个扇形的弧长等于它的半径,那么此扇形称为“等边扇形”,则半径为2的“等边扇形”的面积为()A.π B.1 C.2 D.22.如图,在扇形OAB中,已知∠AOB=90°,OA=2,过AB的中点C作CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,则图中阴影部分的面积为()A.π-1 B.π2-1 C.π-12 D3.如图,半径为10的扇形AOB中,∠AOB=90°,C为AB上一点,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E.若∠CDE为36°,则图中阴影部分的面积为()A.10π B.9π C.8π D.6π4.如图,水平地面上有一面积为30πcm2的扇形OAB,半径OA=6cm,且OA与地面垂直.在没有滑动的情况下,将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止,则点O移动的距离为()A.20cm B.24cmC.10πcm D.30πcm5.某花园内有一块五边形的空地如图所示,为了美化环境,现计划在以五边形各顶点为圆心,2m长为半径的扇形区域(阴影部分)内种上花草,那么种上花草的扇形区域总面积是()A.6πm2 B.5πm2C.4πm2 D.3πm26.如图,△ABC是正三角形,曲线CDE……叫做“正三角形的渐开线”,其中CD,DE,EF……的圆心依次按A,B,C循环,它们依次相连接,若AB=1,则曲线CDEF7.如图,在四边形ABCD中,AB=CB,AD=CD,我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.筝形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.以点B为圆心,BO长为半径画弧,分别交AB,BC于点E,F.若∠ABD=∠ACD=30°,AD=1,则EF的长为.(结果保留π)

8.图中的粗线CD表示某条公路的一段,其中AmB是一段圆弧,AC,BD是线段,且AC,BD分别与圆弧AmB相切于点A,B,线段AB=180m,∠ABD=150°.(1)画出圆弧AmB的圆心O;(2)求A到B这段弧形公路的长.★9.如图,AB为☉O的直径,CD⊥AB,OF⊥AC,垂足分别为E,F.(1)请写出三条与BC有关的正确结论;(2)当∠D=30°,BC=1时,求圆中阴影部分的面积.二、创新应用★10.图①是某学校存放学生自行车的车棚的示意图(尺寸如图),车棚顶部是圆柱侧面的一部分,其展开图是矩形.图②是车棚顶部截面的示意图,AB所在圆的圆心为O.车棚顶部是用一种帆布覆盖的,求覆盖棚顶的帆布的面积.(不考虑接缝等因素,计算结果保留π)知能演练·提升一、能力提升1.C使用扇形的面积公式S=12lR可求出其面积,即S=12×2×2=2.B3.A4.C点O移动的距离即扇形OAB所对应的弧长,先运用扇形的面积公式S扇形=nπR2360求出扇形的圆心角n=300°,再由弧长公式l=nπR180,5.A6.4π关键是确定圆心角和半径.因为△ABC是边长为1的正三角形,所以CD,DE,EF的圆心角都为因此CD=2π3,DE=4π3,EF=6π7.π8.解(1)如图,过点A作AO⊥AC,过点B作BO⊥BD,AO与BO相交于点O,O即为圆心.(2)因为AO,BO都是圆弧AmB的半径,O是其所在圆的圆心,所以∠OBA=∠OAB=150°-90°=60°.所以△AOB为等边三角形,即AO=BO=AB=180m.所以AB=60π(m),即A到B这段弧形公路的长为60πm.9.解(1)答案不唯一,只要合理均可.例如:①BC=BD;②OF∥BC;③∠BCD=∠A;④BC2=CE2+BE2;⑤△ABC是直角三角形;⑥△BCD是等腰三角形.(2)连接OC(图略),则OC=OA=OB.∵∠D=30°,∴∠A=∠D=30°.∴∠AOC=120°.∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.在Rt△ABC中,BC=1,∴AB=2,AC=3.∵OF⊥AC,∴AF=CF.∵OA=OB,∴OF是△ABC的中位线.∴OF=12BC=1∴S△AOC=12AC·OF=12×3×12=34,S扇形AOC=13π·OA2=π3.二、创新应用10.分析车棚的顶棚的展开图是矩形,顶棚的横截面是弓形,求出弓形的弧长,即得到了展开图的宽.解连接OB,过点O作OE⊥AB,垂足为点E,并延长交AB于点F,如图.由垂径定理,知E是AB的中点,