《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(第四课时)》教案

《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质（第四课时）》教案教学目标教学目标：1.通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求解析式的方法。2.能灵活地根据条件恰当地选取解析式，体会二次函数解析式之间的转化。3.从“数”的特征向“形”的特征转化，进一步体验并形成“数形结合”的思想方法。4.通过观察，思考，归纳等探究活动，能够从多角度看问题，丰富解决问题的策略，为进一步学习函数，体会函数思想积累经验。教学重点：用待定系数法求二次函数解析式教学难点：灵活地根据条件恰当地选取解析式教学过程时间教学环节主要师生活动1分302分304分6分2分4分2分30一、问题引入二、类比探究三、应用新知四、课堂小结五、布置作业我们知道，已知一次函数图象上两点的坐标，（两点的连线不与坐标轴平行）可以用待定系数法确定这个一次函数的解析式。二次函数的形式有，等多种形式，如何来确定它们的解析式呢？例1如果一个二次函数的图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）三点，试求出这个二次函数的解析式．解：设所求二次函数为由函数图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）三点，得到关于的三元一次方程组解这个方程组，得：所求二次函数为：归纳：当已知二次函数图像上不在同一直线上的三个点的坐标（其中任意两点的连线不与y轴平行）时，可以设一般式解决问题。例2已知二次函数图象的顶点为（3，-4），与轴的交点为（0,2）。求这个二次函数的解析式。解法一：设所求二次函数为与轴的交点为（0,2），得到顶点为（3，-4）得到：解得：所求二次函数为：方法二：设所求二次函数为顶点为（3，-4）可得到：即二次函数为和轴的交点为（0,2），得到：解得：所求二次函数为：归纳：求抛物线的解析式，只要知道顶点坐标和图像上异于顶点的另一点坐标即可。例3已知二次函数中自变量x与函数值y的部分对应值如下表，求二次函数的解析式解：方法一：任意取三个点，得到关于的三元一次方程组，即可求出二次函数的解析式。方法二：取点（0，-2），可以得到，再任意取两个点，得到关于的二元一次方程组，即可求出二次函数的解析式。方法三：观察表格，发现顶点为，再任意取一个点，得到关于的一元一次方程组，即可求出二次函数的解析式。所求二次函数为：归纳：挖掘题目中所给条件的特点，选择最适当的解析式的形式解决问题，避免不必要的繁琐运算。练习1已知二次函数的最小值为-4，它的图象经过点（-2,0）与（6,0），求这个二次函数的解析式.解：二次函数的图象经过点（-2,0）和（6,0）二次函数图象的对称轴为直线最小值为-4，二次函数图象的顶点为（2，-4）设二次函数为过点为（6,0），得到：解得：所求二次函数为：练习2已知二次函数中，当自变量x=-4时，函数值y=-2，当x=-5与x=1时，所对应的函数值相等.求这个二次函数的解析式.方法一：解：由已知，当自变量x=-4时，函数值y=-2，得到：由已知，当x=-5和x=1时，所对应的函数值相等，代入解析式，得到：得到关于b,c的二元一次方程组，解这个方程组，得到：则所求二次函数为：方法二：解：由已知，当x=-5和x=-1时，函数值相等，可以确定抛物线的对称轴为直线x=-2由对称轴公式，可以得到由已知，a=1，可以求得b=4则二次函数为：由已知，当自变量x=-4时，函数值y=-2，代入解析式，得到：解得：c=-2则所求二次函数为：1.用待定系数法求二次函数解析式；2.根据不同的条件特征，选取适合的解析式的形式：（1）已知二次函数图象上不在同一直线上的三个点的坐标（其中任意两点的连线不与y轴平行），选取一般式；（2）当已知抛物线的顶点坐标，或对称轴，或二次函数的最值时，选取顶点式求解.1.一个二次函数，当自变量x=0时，函数值y=-1，当x=-2与时，y=0.求这个二次函数的解析式.2.一个二次函数的图象经过（0，0），（-1，-1），（1，9）三点.求这个二次函数的解析式.3.已知一条抛物线的对称轴是x=1，且经过（4,5）与（-1,0）两点，求这条抛物线的解析式.知能演练提升一、能力提升1.二次函数y=ax2+x+1的图象必过点()A.(0,a) B.(-1,-a)C.(-1,a) D.(0,-a)2.已知(-3,y1),(-2,y2),(1,y3)是抛物线y=-3x2-12x+m上的点,则()A.y3<y2<y1 B.y3<y1<y2C.y2<y3<y1 D.y1<y3<y23.已知二次函数y=ax2-bx+c(a≠0)的图象经过第一象限的点(1,-b),则一次函数y=bx-ac的图象不经过()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限4.如图,现要在抛物线y=x(4-x)上找点P(a,b),针对b的不同取值,所找点P的个数,三人的说法如下:甲:若b=5,则点P的个数为0;乙:若b=4,则点P的个数为1;丙:若b=3,则点P的个数为1.下列判断正确的是()A.乙错,丙对B.甲和乙都错C.乙对,丙错D.甲错,丙对5.某同学利用描点法画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时,列出的部分数据如下表:x01234y30-203经检查,发现表格中恰好有一组数据计算错误,请你根据上述信息写出该二次函数的解析式:.

6.若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(2,1),且经过点B(1,0),则抛物线的函数解析式为.

7.已知实数x,y满足x2+3x+y-3=0,则x+y的最大值为.

8.已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图所示.(1)试求该二次函数的解析式和它的图象的顶点坐标;(2)观察图象回答,何时y的值随x值的增大而增大,何时y的值随x值的增大而减小?(3)如果将图中抛物线先向左平移3个单位长度,再向下平移4个单位长度,试确定所得到的抛物线的解析式.★9.如图,四边形ABCD是菱形,点D的坐标是(0,3),以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c恰好经过x轴上A,B两点,CE⊥AB于点E.(1)求A,B,C三点的坐标;(2)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式;(3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过点D,求平移后抛物线的解析式,并指出平移了多少个单位长度?二、创新应用10.已知二次函数y=x2-2mx(m为常数),当-1≤x≤2时,函数值y的最小值为-2,则m的值是()A.32 B.2 C.32或2 ★11.在平面直角坐标系中,抛物线y=mx2-2mx+m-1(m>0)与x轴的交点为A,B.(1)求抛物线的顶点坐标.(2)把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.①当m=1时,求线段AB上整点的个数;②若抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有6个整点,结合函数的图象,求m的取值范围.

知能演练·提升一、能力提升1.C2.B3.C4.C5.y=x2-4x+3由于表格中只有一组数据计算错误,根据抛物线的轴对称性及图象经过点(0,3),(4,3)可得抛物线的对称轴为直线x=2,而根据图象经过点(1,0),(3,0)亦可得抛物线的对称轴为直线x=2,所以抛物线的对称轴可确定为直线x=2,而且能断定这四组数据都不会错.所以从这四个点中任意选3个可求得其解析式.如设二次函数解析式为y=a(x-1)(x-3),把x=0,y=3代入得3=a(0-1)·(0-3),解得a=1,所以y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3.6.y=-x2+4x-3设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+1,将B(1,0)代入y=a(x-2)2+1,得a=-1.因此抛物线的函数解析式为y=-(x-2)2+1,即y=-x2+4x-3.7.4易知y=-x2-3x+3,则x+y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,所以x+y的最大值为4.8.解(1)由图象知,抛物线过点(1,0),(4,0),将坐标代入函数解析式,得a-5+故所求二次函数的解析式为y=x2-5x+4.又因为y=x2-5x+4=x-522-94,所以函数图象的顶点坐标为52(2)由(1)知,a=1>0,抛物线的对称轴为直线x=52,从图象知,当x>52时,y随x值的增大而增大;当x<52时,y随(3)由(1)知,y=x2-5x+4=x-522−94,将抛物线先向左平移3个单位长度,再向下平移4即y=x2+x-6.9.解(1)由抛物线的对称性可知AE=BE.在Rt△AOD和Rt△BEC中,∵OD=EC,AD=BC,∴Rt△AOD≌Rt△BEC(HL).∴OA=EB=EA.设菱形的边长为2m,在Rt△AOD中,m2+(3)2=(2m)2,解得m=1.∴DC=2,OA=1,OB=3.故A,B,C三点的坐标分别为(1,0),(3,0),(2,3).(2)设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+3,代入点A的坐标(1,0),得a=-3,所以抛物线的解析式为y=-3(x-2)2+3.(3)设平移后抛物线的解析式为y=-3(x-2)2+k,代入点D的坐标(0,3),得k=53,所以平移后的抛物线的解析式为y=-3(x-2)2+53.所以平移了53−3=43二、创新应用10.Dy=x2-2mx=(x-m)2-m2,①若m<-1,则当x=-1时,y=1+2m=-2,解得m=-32,符合题意②若m>2,则当x=2时,y=4-4m=-2,解得m=32<2,不符合题意③若-1≤m≤2,则当x=m时,y=-m2=-2,解得m=2或m=-2<-1(不符合题意,舍),综上可知,m的值为-32或2.11.解(1)∵y=mx2-2mx+m-1=m(x-1)2-1,∴抛物线的顶点坐标为(1,-1