《因式分解-公式法(第一课时)》教案

教学目标教学目标：1.掌握平方差公式的特点，会运用平方差公式进行因式分解；2.理解运用平方差公式分解因式的方法，掌握提公因式法和公式法分解因式的综合运用；3.经历利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，感受数学知识的关联性和完整性．教学重点：利用平方差公式分解因式．教学难点：提取公因式和平方差公式结合进行因式分解教学过程时间教学环节主要师生活动2分钟5分钟13分钟2分钟1.5分钟0.5分钟2复习回顾探究新知例题讲解归纳总结拓展提升课后作业一．复习引入问题：什么叫做因式分解？（把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的变形叫做因式分解，也叫作分解因式.）问题：已学习过什么因式分解的方法？（已经学习了提公因式法）问题：整式乘法中的平方差公式是什么？若将此公式的左右交换位置，可以看做对多项式做什么变形？（整式乘法的平方差公式，将此公式交换位置后得到,由于因式分解是把一个多项式化为了几个整式乘积的形式，所以可以看做对多项式的因式分解变形.）二．探究新知这样我们就得到了a2-b2因式分解的方法：，即：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。前面我们在学习平方差公式时，分析了公式的结构以及推理过程.那么利用平方差公式法因式分解时，多项式需要具备什么特点呢？此多项式应是一个两项式;这两项均为平方的形式;它们符号相反.符合平方差公式法因式分解的多项式，分解结果是什么呢？分解后得到这两个底数的和，这两个底数的差的乘积.因此在应用此公式时，同样需要我们找到哪项为公式中的a,哪项为公式中的b.√练习：判断下列各式能否用平方差公式因式分解：√×××√√×××√√分析：若能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反.(1)中两项可以写成平方形式，即，并且这两项分别是，符号是相反的，所以可以利用平方差公式进行因式分解；把(2)变形为，可以写成，并且符号相反，可以利用平方差公式进行因式分解；(3)中虽然可以写成平方形式，但符号确是相同的，所以不可以；同理（4）满足上述两个条件，可以利用平方差公式进行因式分解；(5)的符号相同，均为负的，所以不行；(6）要先化简一下，化简后为，符号相同，所以不行。综上，可以用平方差公式进行因式分解有（1），（2），（4）三．例题讲解例：分解因式：分析：在（1）中，由于所以可以写成平方的形式，即：，且这两项符号相反，所以可以用平方差公式分解因式；在（2）中，把和各看成一个整体，设，，则原式化为.解：练习：下列因式分解错误的是（D）分析：A中利用加法交换律将原式进行变形得，再利用平方差公式分解，对比A项，正确.B中为两项，这两项有公因式x，所以提出公因式后即为：x(x2+1)，故B分解正确；C中利用平方差公式分解后得a2-b2c2=(a+bc)(a-bc)，C正确；D项可以写成-16a2+1=1-16a2=12-(4a)2，可以写成两项平方之差形式，对比公式可知，1相当于公式中的a，4a相当于公式中的b，所以可得，D分解因式不正确；故分解不正确的选D例：分解因式： 分析：对于（1）可以写成的形式，这样就可以利用平方差公式分解成，然而分解到这一步我们发现还没分解完，可以继续分解，所以原式分解为；（2）中有公因式ab，应先提出公因式，再进一步分解.解：小结：在运用平方差公式分解因式时，我们应该注意：1.若多项式中有公因式，应先提取公因式，再进一步分解因式；2.因式分解要彻底，直到每个因式不能继续再分解为止.练习：分解因式分析：对于（1）可以先交换一下两项的位置，得到，进而写成两项平方差的形式，即根据平方差公式分解即可；或者也可先对原式提取一个负号，得，这样也可直接利用平方差公式因式分解；（2）中5a+2b看成一个整体，原式为平方差的形式，可以利用公式进行分解，分解后得，仍需继续做合并同类项得，我们发现合并后有公因数，提取完公因数得；（3）中公因式为，提取公因式后，仍能继续用平方差公式分解，故原式分解为：；（4）中提取公因式要取较小的字母指数，提公因式，原式为，然而还能继续分解，所以最终分解结果为；解：例：利用因式分解计算分析：(1)中可利用平方差公式分解成，进而再进行化简运算；（1）中可以先提取共同的因数3.14，再利用平方差公式分解计算.解：例：如图，在一块长为a的正方形纸片的四角，各减去一个边长为b的正方形，其中a=1.86，b=0.34，求剩余部分面积.分析：求正方形减去四角后的面积，即用大正方形的面积，减去四个小正方面即可。先可以列出式子为a2-4b2，若直接带入数值，发现运算量较大，所以可以先将a2-4b2因式分解后，再代入数值运算，可大大简化运算过程。解：S剩=a2-4b2=(a+2b)(a-2b)把a=1.86，b=0.34带入S剩=(1.86+2×0.34)×(1.86-2×0.34)=2.72×1=2.72四．归纳总结问题：今天我们主要学了哪些知识？利用平方差公式分解因式：问题：怎样判断能否利用平方差公式因式分解？利用平方差公式分解需要满足所给多项式能够写成两项平方差的形式，或者在变形后能够写成两项平方差的形式.平方差公式中的字母a,b可以表示数、单项式或多项式.问题：在运用平方差公式分解因式时，我们应该注意哪些问题？(1)若多项式中有公因式，应先提取公因式，再进一步分解因式；(2)因式分解要彻底，直到不能继续再分解为止.五．拓展提升如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为100cm，向里依次为99cm，98cm，…，1cm，那么在这个图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积的差，而正方形的面积是其边长的平方，这样就可以逆用平方差公式计算了．则S阴影＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050(cm2)．答：所有阴影部分的面积和是5050cm2.六．课后作业1.下列所向是能否用平方差公式分解因式？为什么？2.分解因式3.已知x+2y=3,x2-4y2=-15,求x-2y的值和x,y的值.知能演练提升一、能力提升1.下列因式分解正确的是()A.a2-b2=(a-b)2B.x2+4y2=(x+2y)2C.2-8a2=2(1+2a)(1-2a)D.x2-4y2=(x+4y)(x-4y)2.若x2+2(m-3)x+16是完全平方式,则m的值为()A.-5 B.3 C.7 D.7或-13.已知多项式x+81b4可以分解为(4a2+9b2)·(2a+3b)(3b-2a),则x为()A.16a4 B.-16a4 C.4a2 D.-4a24.将下列多项式分解因式,结果中不含因式x-1的是()A.x2-1 B.x(x-2)+(2-x)C.x2-2x+1 D.x2+2x+15.已知x为任意实数,则多项式x-1-14x2的值(A.一定为负数B.不可能为正数C.一定为正数D.可能为正数或负数或零6.如果x+y=1,那么12x2+xy+12y2的值是7.分解因式:9x2-y2-4y-4=.

8.分解因式:x(x-1)-3x+4=.

9.如图,利用1个a×a的正方形,1个b×b的正方形和2个a×b的长方形可拼成一个正方形,从而可得到因式分解的公式.

10.把下列各式分解因式:(1)a3b-ab;(2)x2-2xy+y2-9;(3)5mx2-10mxy+5my2;(4)(x2+y2)2-4x2y2.11.利用因式分解计算下列各题:(1)5352×4-4652×4;(2)1022+102×196+982;(3)17.82-2×17.8×7.8+7.82;(4)982+4×98+4.12.现有一种根据自己生日用“因式分解”法产生的密码,既简单又方便记忆.原理是:若某人的生日是8月5日,他选择了多项式x3+x2y,其分解因式的结果是x·x·(x+y),然后将x=8,y=5代入,此时各个因式的值分别是:x=8,x=8,x+y=13,于是就可以把“8813”作为密码.小明选择了多项式x3+2x2y+xy2,他的生日是10月22日,请你写出用上述方法产生的密码.(写出一个即可)二、创新应用★13.阅读下面的解题过程:分解因式:x2-4x-12.解:x2-4x-12=x2-4x+-42=x2-4x+4-4-12=(x-2)2-42=(x-2-4)(x-2+4)=(x-6)(x+2).请仿照上面的解法把下列各式分解因式:(1)a2+2a-8;(2)y2-y-6.知能演练·提升一、能力提升1.C2.D3.B4.D因为x2-1=(x+1)·(x-1),x(x-2)+(2-x)=(x-2)(x-1),x2-2x+1=(x-1)2,x2+2x+1=(x+1)2.5.B因为x-1-14x2=-14x2所以x-1-14x2的值不可能为正数6.17.(3x+y+2)(3x-y-2)原式=9x2-(y2+4y+4)=9x2-(y+2)2=(3x+y+2)(3x-y-2).8.(x-2)2原式=x2-x-3x+4=x2-4x+4=(x-2)2.9.a2+2ab+b2=(a+b)210.解(1)a3b-ab=ab(a2-1)=ab(a+1)(a-1).(2)x2-2xy+y2-9=(x2-2xy+y2)-9=(x-y)2-32=(x-y+3)(x-y-3).(3)5mx2-10mxy+5my2=5m(x2-2xy+y2)=5m(x-y)2.(4)(x2+y2)2-4x2y2=(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy)=(x+y)2(x-y)2.11.解(1)5352×4-4652×4=4×(5352-4652)=4×(535+465)×(535-465)=4×1000×70=280000.(2)1022+102×196+982=(102+98)2=2002=40000.(3)原式=(17.8-7.8)2=102=100.(4)原式=982+2×98×2+22=(98+2