《全等三角形的性质与判定的综合运用(第一课时)》教案

《全等三角形的性质与判定的综合运用(第一课时)》教案教学目标教学目标：1.引导学生分析由已知推出结论的思路，选用适当的判定方法证明两个三角形全等.2.运用三角形全等的证明，进一步培养学生的推理论证能力.教学重点：引导学生分析由已知推出结论的思路．教学难点：选用适当的判定方法证明两个三角形全等.教学过程时间教学环节主要师生活动3min复习引入同学们好，在前面的学习中，我们一起学习、探究了三角形全等的性质及判定的方法，今天，我们将综合运用三角形全等的知识解决一些几何问题.我们首先回顾全等三角形的判定方法.问题判定两个三角形全等的方法有哪些？三边对应相等的两个三角形全等.(简写成“边边边”或“SSS”）.两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等.(简写成“边角边”或“SAS”）.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.(简写成“角边角”或“ASA”）.两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.（简写成“角角边”或“AAS”）.或以上是一般三角形全等的判定方法，特殊的直角三角形，除了以上判定方法外，还有直角三角形全等特有的判定方法，即：斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等，(简写为“斜边、直角边”或“HL”).或问题要判定两个三角形全等，至少要几组条件？至少需要三组条件，并且三组条件中至少有一组边相等的关系.复习总结：以上是我们学习的三角形判定定理，解决问题时，选用哪条判定定理，需要我们同学根据题目条件和图形特点，具体问题，具体分析.15min例题练习下面让我们通过一组基础练习，熟悉三角形全等的判定方法.例如图1所示，已知∠A=∠C，∠B=∠D，要使△ABO≌△CDO，需要补充的一个条件是_____.图1图1分析：首先，我们根据题干标图在之前的学习中我们知道，判定两个三角形全等至少需要三组条件，并且三组条件中必须有一组边相等的条件，本题已知两组角相等的条件，所以添加的条件必须是边相等的关系.可以添加两角夹边相等的关系：即AB=CD,此时用的判定定理是ASA.也可以添加已知角的对边相等的关系：即：OC=OA或OD=OB,此时用的判定定理是AAS.综上，本题可以补充的条件是AB=CD或OC=OA或OD=OB.练习如图2所示，A，B，C三点在同一直线上，∠A=∠C=90°，AB=CD，请添加一个适当的条件_________________使得△EAB≌△BCD.图2图2分析：首先我们还是根据题干标图，已知一边一直角，所以可以找任一组边相等，即EB=BD，此时用的判定定理是HL，或EA=BC此时用的判定定理是SAS.还可以找任一组角相等的条件，即∠AEB=∠CBD，此时用的判定定理是AAS，或∠EBA=∠BDC,此时用的判定定理是ASA.通过以上分析，本题可以添加的条件有：EB=BD，EA=BC，∠AEB=∠CBD，∠EBA=∠BDC.通过例题和练习，我们知道，要添加的条件使两个三角形全等，首先明确已知条件，根据判定定理确定要添加的条件，特别注意的是，添加方法可能不唯一.例如图3所示，已知AD=AB,要使△ABC≌△ADC，现在已有的条件够不够用？需要添加几个条件？有几种添加的方法？图3图3分析：已知AD=AB，仔细观察图形不难发现还有一个隐含条件：AC=AC，知道两组边相等的关系之后，现在已有的条件不够用，至少需要添加一个条件，我们来看需要添加哪些条件可以判断两个三角形全等.HLHL.SSS.SAS.通过以上分析，我们知道本题有三种添加条件的方法，DC=BC或∠DAC=∠BAC或∠D=∠B=90°.遇到这类题目我们应特别注意挖掘隐含条件.练习如图4所示，AB=AC，AD=AE求证：BE=CD.图4图4分析：已知AB=AC，AD=AE，有公共角∠A，并且公共角是两边的夹角.根据题干标图，由三角形全等判定定理SAS可得△ABE≌△ACD，进而得出∠B=∠C.解：在△ABE和△ACD中，△ABE≌△ACD(SAS).BE=CD.小结：证明三角形全等是证明两线段、两个角相等的重要方法，遇到此类问题时，需要明确具体证明哪两个三角形全等，特别注意的是公共角一定是对应角，公共边一定是对应边.例.如图5所示，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE,AC=DF，BE=CF,求证∠A=∠D..图5图5分析：根据题干标图要证∠A=∠D，需证△ABC≌△DEF，根据已知条件很容易证得△ABC≌△DEF.证明：∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC.即BC=EF.在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SSS）.∴∠A=∠D.例4.如图6所示，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE，AD=AE.连接BD，CE,∠ABD=∠ACE.求证AB=AC.图6图6分析：根据题干标图∠BAC=∠DAE要证AB=AC∠BAC=∠DAE需证△BAD≌△CAE∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD又知AD=AE，∠ABD=∠ACE.已知∠BAC=∠DAE，在△BAD和△CAE中,△BAD≌△CAE(AAS).AB=AC.证明三角形全等时需要准备边相等和角相等的条件，除了公共边、公共角相等，等量相加结果相等、等量相减结果相等也是求两条边、两个角相等经常用到的方法.通过以上例题和练习，你运用三角形全等知识解决问题的能力有没有提升呢？让我们通过一道练习验证一下吧！图7练习.如图7所示，B,F,C,E在一条直线上BF=CE，AC=DF.图7在下列条件①∠B=∠E；②∠ACB=∠DFE；③AB=DE；④AC∥DF中，只添加一个条件就可以证得△ABC≌△DEF,则所有正确条件的序号是______________________.根据已知及（1）中添加的一个条件证明∠A=∠D.分析：（1）根据题干标图由BF=CE得EF+FC=CE+FC,即：BC=EF，又知AC=DF，如果添加①∠B=∠E此时，SSA不能判定两个三角形全等；如果添加②∠ACB=∠DFE此时，SAS能判定△ABC≌△DEF；如果添加③AB=DE此时，SSS能判定△ABC≌△DEF；如果添加④AC∥DF可得到∠ACB=∠DFE，所以正确条件的序号是②③④.（2）选择一种证明即可，我们这里以添加②∠ACB=∠DFE为例证明.证明：2min课堂小结通过本节课的学习，你有什么收获呢？几何解题习惯依题意标图、关注图形特征、挖掘隐藏条件.三角形全等知识巩固判定方法，根据已知条件灵活选择判定方法.几何题解题思路从结论入手，结合已知，双向推理.作业已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C.求证：(1)AD=AE;(2)BD=CE.如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DE，AC=DF，∠A＝∠D．求证：BE=CF．综合训练一、选择题1.下列说法正确的是()A.有三个角对应相等的两个三角形全等B.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等C.有两个角与其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等D.有两个角对应相等,还有一条边也相等的两个三角形全等2.如图,△ABC≌△AEF,AC与AF是对应边,则∠EAC等于()A.∠ACBB.∠CAFC.∠BAFD.∠BAC3.如图,给出下列四组条件:①AB=DE,BC=EF,AC=DF;②AB=DE,∠B=∠E,BC=EF;③∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F;④AB=DE,AC=DF,∠B=∠E.其中,能使△ABC≌△DEF的条件共有()A.1组 B.2组 C.3组 D.4组4.如图,将两根钢条AA',BB'的中点O连在一起,使AA',BB'能绕着点O自由转动,就做成了一个测量工具,则A'B'的长等于内槽宽AB,其中判定△OAB≌△OA'B'的理由是()A.SAS B.ASA C.SSS D.HL5.如图,AC=BD,AB=CD,图中全等的三角形共有()A.2对 B.3对 C.4对 D.5对6.如图,AB∥CF,DE=EF,AB=10,CF=6,则DB等于()A.3 B.4 C.5 D.67.要测量河两岸相对的两点A,B间的距离,先在AB的垂线BF上取两点C,D,使CD=BC,再定出BF的垂线DE,使A,C,E在一条直线上,如图,可以证明△EDC≌△ABC,得到DE=AB,因此测得ED的长就是AB的长.判定△EDC≌△ABC的理由是()A.SAS B.ASA C.SSS D.HL8.如图,在△ABC中,已知AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为点D,E,AD,CE交于点H.若EH=EB=3,AE=4,则CH的长是()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题9.如图,已知△ABC≌△A'B'C,点B'在边AB上,若∠A=40°,∠B=60°,则∠A'CB的度数为.

10.如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD,CE交于点H,请你添加一个适当的条件:,使△AEH≌△CEB.

11.雨伞开闭过程中某时刻的截面图如图所示,伞骨AB=AC,支撑杆OE=OF,AE=13AB,AF=13AC.当O沿AD滑动时,雨伞开闭.雨伞开闭过程中,∠BAD与∠CAD12.如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=10cm,BC=5cm,一条线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC和AC的垂线AX上移动,则当AP=cm时,才能使△ABC和△QPA全等.

三、解答题13.如图,C为线段AB上一点,AD∥EB,AC=BE,AD=BC.求证:△ACD≌△BEC.14.如图,BD平分∠ABC交AC于点D,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,AB=6,BC=8,若S△ABC=28,求DE的长.15.已知△ABN和△ACM位置如图所示,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2.求证:(1)BD=CE;(2)∠M=∠N.16.如图,已知Rt△ABC≌Rt△ADE,∠ABC=∠ADE=90°,BC与DE相交于点F,连接CD,EB.(1)图中还有几对全等三角形,请你一一列举;(2)求证:CF=EF.综合训练一、选择题1.C2.C3.C4.A5.B根据全等三角形的判定可得图中全等的三角形有:△ADB和△DAC;△ABC和△DCB;△ABO和△DCO.6.B7.B8.A二、填空题9.140°∵△ABC≌△A'B'C,∴∠A'=∠A=40°,∠A'B'C=∠B=60°,CB=CB',∠A'CB'=80°,∴∠BB'C=∠B=60°,∴∠BCB'=180°-60°-60°=60°,∴∠A'CB=∠A'CB'+∠BCB'=140°.10.AH=CB(或EH=EB或AE=CE)根据“AAS”需要添加AH=CB或EH=EB;根据“ASA”需要添加AE=CE.11.相等∵AE=13AB,AF=13AC,∴AE=AF.又OE=OF,OA=OA,∴△AOE≌△AOF(SSS).∴∠BAD=∠CAD.12.5或10三、解答题13.证明∵AD∥BE,∴∠A=∠B.在△ACD和△BEC中,∵AC∴△ACD≌△BEC.14.解∵BD平分∠ABC交AC于点D,DE⊥AB,DF⊥BC,∴DE=DF.∵S△ABC=28,AB=6,BC=8,∴12×6×DE+12×8×∴DE=DF=4.15.证明(1)在△ABD和△ACE中,AB∴△ABD≌△ACE(SAS).∴BD=CE.(2)∵∠1=∠2,∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE,即∠BAN=∠CAM.由(1),得△ABD≌△ACE,∴∠B=∠C.在△ACM和△ABN中,∠∴△ACM≌△ABN(ASA),∴∠M=∠N.16.(1)解2对,分别为△ADC≌△ABE,△CDF≌△